新八年级数学讲义第12讲.整体复习测评2(学生版+解析)

整体复习测评一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）(2023秋•长白县期末）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x≠1或x≠﹣2 D．x≠1且x≠﹣22．（2分）(2023秋•郯城县期末）用科学记数法表示：0.000000109是（）A．1.09×10﹣7 B．0.109×10﹣7 C．0.109×10﹣6 D．1.09×10﹣63．（2分）(2023•新都区模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2分）(2023•新华区校级一模）下列运算正确的是（）A．2﹣2＝﹣4 B．（a﹣3）4+（a3）4＝a0 C．32+32+32＝36 D．（﹣a）（﹣a）2＝﹣a35．（2分）(2023•长春模拟）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．36° B．54° C．60° D．72°6．（2分）已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．7．（2分）(2023•望花区二模）已知AD是⊙O的直径，甲、乙两人想在圆上找B、C两点，作一个等边三角形ABC，他们的作法如下：甲：作OD的垂直平分线，交圆于B、C两点，连接AB、AC，得到△ABC；乙：以D为圆心，以OD长为半径画弧，交圆于B、C两点，连接AB、BC、AC，得到△ABC．则下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误8．（2分）(2023秋•和平区期中）点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（）A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1）二．填空题（共8小题，满分18分）9．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，最长的边是．10．（2分）(2023春•沙坪坝区校级月考）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y﹣2＝．11．（2分）(2023秋•芜湖期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为．12．（2分）(2023•崇明区二模）因式分解：a3﹣9a＝．13．（2分）(2023秋•璧山区期中）已知m＝，n＝，则代数式（m﹣2n）（m+2n）+（m+2n）2﹣4mn的值．14．（2分）(2023秋•浏阳市期末）如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝度（用含x的代数式表示）．15．（3分）(2023秋•福清市期末）如图，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，若BE＝7，AB＝3，则AD的长为．16．（3分）(2023秋•平潭县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，则BC＝．三．解答题（共11小题，满分66分）17．（4分）(2023秋•唐县期末）（1）化简：（2）符号“||”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：||＝ad﹣bc．请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：＝1．18．（5分）(2023秋•襄州区期末）化简：（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（﹣xy）；（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2．19．（5分）(2023秋•孝昌县期末）解下列方程：（1）（2）20．（6分）(2023秋•淮滨县期末）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）AB∥CD．21．（6分）(2023秋•朝阳县校级期末）已知在平面直角坐标系中有A（﹣2，1），B（3，1），C（2，3）三点，请回答下列问题：（1）在坐标系内描出以A，B，C三点为顶点的三角形．（2）求△ABC的面积．（3）画出△ABC关于x轴对称的图形．22．（6分）(2023秋•肥城市期末）求证：有两条边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等．要求：写出已知、求证、证明并画出正确图形．23．（6分）(2023秋•临西县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：AE+BF＝BC．24．（6分）(2023秋•无为县期末）为了响应习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，芜湖市对境内24km长江干流岸线环境进行集中专项整治，全部工程由甲乙两家施工队共同分别从上、下游同时进行，已知乙施工队的平均整治速度是甲施工队的1.5倍，原计划用若干天完成，后来为了提前完工，两家施工队都将施工速度提高20%，结果比原计划提前两天完成全部整治任务，求甲施工队原计划平均每天整治多少m？25．（7分）(2023•福建模拟）如图，AD是△ABC的中线，延长AD，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．求证：DE＝DF．26．（7分）(2023•武侯区模拟）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上27．（8分）(2023•道里区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，点C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB匀速运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜3），△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q作RQ⊥AB交y轴于点R，连接AD，点E为AD中点，连接OE，求t为何值时，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．整体复习测评一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）(2023秋•长白县期末）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x≠1或x≠﹣2 D．x≠1且x≠﹣2分析：根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，（x+2）（x﹣1）≠0，解得，x≠1且x≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．2．（2分）(2023秋•郯城县期末）用科学记数法表示：0.000000109是（）A．1.09×10﹣7 B．0.109×10﹣7 C．0.109×10﹣6 D．1.09×10﹣6分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法表示：0.000000109是1.09×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2分）(2023•新都区模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．分析：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．4．（2分）(2023•新华区校级一模）下列运算正确的是（）A．2﹣2＝﹣4 B．（a﹣3）4+（a3）4＝a0 C．32+32+32＝36 D．（﹣a）（﹣a）2＝﹣a3分析：根据负整数指数幂a﹣n＝（a≠0）；合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解：A、2﹣2＝，故本选项错误；B、（a﹣3）4与（a3）4不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、32+32+32＝33，故本选项错误；D、（﹣a）（﹣a）2＝﹣a3，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（2分）(2023•长春模拟）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．36° B．54° C．60° D．72°分析：根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：如图：由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，∴∠G+∠EDG＝90°，∵，DG平分正五边形的外角∠EDF，∴，∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．故选：B．【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．6．（2分）已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：1＜x＜3，然后在数轴上表示出来即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，1，2，∴x的取值范围是1＜x＜3，故选：A．【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．7．（2分）(2023•望花区二模）已知AD是⊙O的直径，甲、乙两人想在圆上找B、C两点，作一个等边三角形ABC，他们的作法如下：甲：作OD的垂直平分线，交圆于B、C两点，连接AB、AC，得到△ABC；乙：以D为圆心，以OD长为半径画弧，交圆于B、C两点，连接AB、BC、AC，得到△ABC．则下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误分析：如图，连接OB，OC，BD，CD．证明，△OBD和△ODC都是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接OB，OC，BD，CD．甲：∵BC垂直平分线段OD，∴OB＝BD，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，同法可证△ODC是等边三角形，∴ACB＝∠BDO＝60°，∠ABC＝∠ODC＝60°，∴△ABC是等边三角形，乙：由作图可知，△OBD是等边三角形，△ODC是等边三角形，可得△ABC是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2分）(2023秋•和平区期中）点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（）A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1）分析：根据关于直线x＝m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等解答．【解答】解：点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标为（2m﹣1，2m﹣1），故选：D．【点评】考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分18分）9．（2分）(2023秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，最长的边是AB．分析：根据图形即可得到结论．【解答】解：在△ABC中，最长的边是AB，故答案为：AB．【点评】本题考查了三角形，正确的识别图形是解题的关键．10．（2分）(2023春•沙坪坝区校级月考）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y﹣2＝16．分析：由5x﹣3y﹣2＝0得5x﹣3y＝2，再根据同底数幂的除法法则解答即可．【解答】解：由5x﹣3y﹣2＝0得5x﹣3y＝2，∴25x÷23y﹣2＝25x﹣（3y﹣2）＝25x﹣3y+2＝22+2＝24＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减．11．（2分）(2023秋•芜湖期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为2m+4．分析：设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．【解答】解：设另一边长为x，根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2，解得x＝2m+4．则另一边长为2m+4，故答案为：2m+4．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积的两种表示方法列出等式是解题的关键．12．（2分）(2023•崇明区二模）因式分解：a3﹣9a＝a（a+3）（a﹣3）．分析：原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3），故答案为：a（a+3）（a﹣3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（2分）(2023秋•璧山区期中）已知m＝，n＝，则代数式（m﹣2n）（m+2n）+（m+2n）2﹣4mn的值．分析：直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案．【解答】解：（m﹣2n）（m+2n）+（m+2n）2﹣4mn＝m2﹣4n2+m2+4n2+4mn﹣4mn＝2m2，∵m＝，∴原式＝2×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．14．（2分）(2023秋•浏阳市期末）如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝（180﹣3x）度（用含x的代数式表示）．分析：根据等腰三角形的性质表示出∠C的度数后即可利用三角形的内角和定理表示出∠ABC．【解答】解：∵∠A＝x°，AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠CDB＝2∠A＝2x°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝（180﹣3x）°，故答案为：（180﹣3x）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及列代数式的知识，解题的关键是了解等边对等角的性质，难度不大．15．（3分）(2023秋•福清市期末）如图，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，若BE＝7，AB＝3，则AD的长为4．分析：根据同角的余角相等求出∠ACD＝∠E，再利用“角角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，AC＝BE，然后求解即可．【解答】解：∵∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵BE⊥AC，∴∠CBE＝90°，∠E+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠E，且∠DAC＝∠CBE＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BEC（AAS），∴AD＝BC，AC＝BE＝7，∵AB＝3，∴BC＝AC﹣AB＝7﹣3＝4＝AD，故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．16．（3分）(2023秋•平潭县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，则BC＝6．分析：根据含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，∴AC＝6，∴BC＝，故答案为：6．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据含30°的直角三角形的性质得出AC＝6．三．解答题（共11小题，满分66分）17．（4分）(2023秋•唐县期末）（1）化简：（2）符号“||”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：||＝ad﹣bc．请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：＝1．分析：（1）将式子通分可得原式═＝；（2）由题意可得，+＝1，解分式方程即可．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝；（2）由＝1，可得2×﹣＝1，∴+＝1，∴x＝4，经检验：x＝4是原方程的解．【点评】本题考查分式的加减法，新定义；熟练掌握分式的加减运算和分式方程的解法是解题的关键．18．（5分）(2023秋•襄州区期末）化简：（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（﹣xy）；（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2．分析：（1）原式利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝4xy•（﹣xy）＝﹣x2y2；（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4xy﹣2y2．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（5分）(2023秋•孝昌县期末）解下列方程：（1）（2）分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x﹣3）（x﹣1）≠0，∴原方程的解为x＝﹣3；（2）去分母得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，∴x＝1不是原方程的解，∴原方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．（6分）(2023秋•淮滨县期末）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）AB∥CD．分析：（1）由HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可；（2）由全等三角形的性质得出∠C＝∠A，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．又∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．在Rt△ABF与Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠C＝∠A，∴AB∥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21．（6分）(2023秋•朝阳县校级期末）已知在平面直角坐标系中有A（﹣2，1），B（3，1），C（2，3）三点，请回答下列问题：（1）在坐标系内描出以A，B，C三点为顶点的三角形．（2）求△ABC的面积．（3）画出△ABC关于x轴对称的图形．分析：（1）根据点的坐标，直接描点即可得到以A，B，C三点为顶点的三角形；（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，点C到线段AB的距离3﹣1＝2，根据三角形面积公式求解；（2）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点A'、B'、C'，然后顺次连接即可得到△ABC关于x轴对称的图形．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）由题意得，AB∥x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，∴S△ABC＝×5×2＝5；（3）如图，△A'B'C'即为所求．【点评】本题考查了根据轴对称作图以及点的坐标的表示方法，解决问题的关键是根据点的坐标表示三角形的底和高．22．（6分）(2023秋•肥城市期末）求证：有两条边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等．要求：写出已知、求证、证明并画出正确图形．分析：先写出已知：AD和A′D′分别为△ABC和△A′B′C′中线，且AD＝A′D′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，画图，再证明利用“SSS”证明△ABD≌△A′B′D′得到∠B＝∠B′，然后根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′．【解答】已知：AD和A′D′分别为△ABC和△A′B′C′中线，且AD＝A′D′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，如图，求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：∵AD和A′D′分别为△ABC和△A′B′C′中线，∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，而BC＝B′C′，∴BD＝B′D′，在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（SSS），∴∠B＝∠B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），即有两条边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．23．（6分）(2023秋•临西县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：AE+BF＝BC．分析：（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B＝∠ACB＝72°，由角平分线定义得出∠ACD＝∠BCD＝36°，由三角形的外角性质即可得出答案；（2）由（1）得∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，得出AD＝CD，证出∠ADC＝∠EDF，得出∠ADE＝∠CDF，证明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE＝CF，即可得出结论．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝72°+36°＝108°；（2）证明：由（1）得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，∴AD＝CD，∵∠EDF＝108°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵CF+BF＝BC，∴AE+BF＝BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（6分）(2023秋•无为县期末）为了响应习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，芜湖市对境内24km长江干流岸线环境进行集中专项整治，全部工程由甲乙两家施工队共同分别从上、下游同时进行，已知乙施工队的平均整治速度是甲施工队的1.5倍，原计划用若干天完成，后来为了提前完工，两家施工队都将施工速度提高20%，结果比原计划提前两天完成全部整治任务，求甲施工队原计划平均每天整治多少m？分析：设甲施工队原计划平均每天整治xm，则乙施工队平均每天整治1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提高施工速度后提前两天完工，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲施工队原计划平均每天整治xm，则乙施工队平均每天整治1.5xm，依题意，得：﹣＝2，解得：x＝800，经检验，x＝800是原分式方程的解，且符合题意．答：甲施工队原计划平均每天整治800m．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．（7分）(2023•福建模拟）如图，AD是△ABC的中线，延长AD，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．求证：DE＝DF．分析：根据中线的定义可得BD＝CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．26．（7分）(2023•武侯区模拟）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上分析：（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再证AE＝DE，即可得出四边形AEDF是菱形；（2）（i）连接EF交AD于点Q，证△AEG≌△EFH（SAS），得出∠AEG＝∠EFH，证∠ENH＝∠EAG，证明△AEG∽△NEH，得出＝，即可得出结论；（ii）连接FM'，证△EDM≌△FDM'，得出∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，得出∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，证出∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝180°，即可得出结论．【解答】（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠A