新九年级数学时期讲义第10讲反比例函数-提高班(学生版+解析)

第10讲反比例函数1反比例函数的定义一、反比例函数的定义函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．【例题精选】例1(2023秋•揭阳期末）下列函数中，属于反比例函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝kx﹣1 C．y＝ D．y＝例2(2023秋•澧县期末）下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（）A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．【随堂练习】1．(2023•余干县模拟）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝3x B．y＝3x+1 C． D．y＝3x22．(2023•广西模拟）下列函数中，属于反比例函数的是（）A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝5﹣3x D．y＝﹣x2+13．(2023秋•龙岗区期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0的一切实数 D．x取任意实数2反比例函数的图象与性质反比例函数的图象反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．反比例函数的性质反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．注意：⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．这是由于，即或的缘故．如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．【例题精选】例1(2023•瑶海区二模）已知点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，则（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m、n的大小无法确定例2(2023春•常熟市期中）已知反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，则k的取值范围是（）A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5【随堂练习】1．(2023春•吴中区期中）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣4） B．它的图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象关于原点中心对称2．(2023•中原区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．它的图象在第一、三象限 C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上 D．函数图象关于原点中心对称3k的几何意义反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为【例题精选】例1(2023•武汉模拟）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4例2(2023•安阳模拟）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【随堂练习】1．(2023•市中区一模）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．82．(2023•曹县校级模拟）如图，点P、Q是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，记S△ABP＝S1，S△QMN＝S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法判定4反比例函数的实际应用【例题精选】例1(2023秋•靖远县期末）当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（）A． B． C． D．例2(2023•莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝【随堂练习】1．(2023秋•沧州期末）一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为（）A． B． C． D．2．(2023秋•阜阳期末）如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．3．(2023秋•黄岩区期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为__________．综合应用一．选择题1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y32．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（）A．9 B．18 C．25 D．95．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（）A．1 B． C．2 D．3二．解答题6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．（1）求直线的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．（1）求m和一次函数解析式；（2）求△AOB的面积．8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．第10讲反比例函数1反比例函数的定义一、反比例函数的定义函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．【例题精选】例1(2023秋•揭阳期末）下列函数中，属于反比例函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝kx﹣1 C．y＝ D．y＝分析：根据反比例函数的定义逐一判断可得答案．【解答】解：A．y＝﹣2x是正比例函数，不符合题意；B．y＝kx﹣1只有当k≠0时才符合反比例函数定义，不符合题意；C．y＝﹣是反比例函数，符合题意；D．y＝不是反比例函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．例2(2023秋•澧县期末）下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（）A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．分析：根据反比例函数的定义可以判定．【解答】解：根据反比例函数的定义可知x＝是反比例函数，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．【随堂练习】1．(2023•余干县模拟）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝3x B．y＝3x+1 C． D．y＝3x2【解答】解：A、y＝3x是正比例函数，故此选项不合题意；B、y＝3x+1是一次函数，故此选项不合题意；C、y＝是反比例函数，故此选项符合题意；D、y＝3x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．(2023•广西模拟）下列函数中，属于反比例函数的是（）A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝5﹣3x D．y＝﹣x2+1【解答】解：A、该函数属于正比例函数，故本选项错误；B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；C、该函数属于一次函数，故本选项错误；D、该函数属于二次函数，故本选项错误．故选：B．3．(2023秋•龙岗区期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0的一切实数 D．x取任意实数【解答】解：函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠0，故选：C．2反比例函数的图象与性质反比例函数的图象反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．反比例函数的性质反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．注意：⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．这是由于，即或的缘故．如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．【例题精选】例1(2023•瑶海区二模）已知点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，则（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m、n的大小无法确定分析：根据a、b与0的大小关系利用反比例函数的性质确定答案即可．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，∴在每一象限内y随着x的增大而增大，∵点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，∴当a＞b＞0时，m＞n＞0，当0＞a＞b时，m＞n＞0，当a＞0＞b时，m＜0＜n，∴m、n的大小无法确定，故选：D．【点评】考查了反比例函数的应用，解题的关键是了解反比例函数的性质，难度不大．例2(2023春•常熟市期中）已知反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，则k的取值范围是（）A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5分析：根据反比例函数的性质可得k﹣5＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，∴k﹣5＞0，解得，k＞5．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，函数图象分别位于一、三象限；当k＜0时，函数图象分别位于二、四象限．【随堂练习】1．(2023春•吴中区期中）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（1，﹣4） B．它的图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象关于原点中心对称【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴当x＝1时，y＝﹣4，即图象经过点（1，﹣4），故选项A正确；它的图象在第二、四象限，故选项B错误；当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；图象关于原点中心对称，故选项D正确；故选：B．2．(2023•中原区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．它的图象在第一、三象限 C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上 D．函数图象关于原点中心对称【解答】解：∵反比例函数y＝，∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确；在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项A错误；当x＝﹣3时，y＝﹣1，即点（﹣3，﹣1）在它的图象上，故选项C正确；函数图象关于原点中心对称，故选项D正确；故选：A．3k的几何意义反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为【例题精选】例1(2023•武汉模拟）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4分析：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，依据S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，即可得到k的值．【解答】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，设A（k，1），B（2，k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，∵S△ABO＝8，∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2＝8，解得k＝±6，∵k＜0，∴k＝﹣6，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，正确理解△AOB的面积的计算方法是关键．例2(2023•安阳模拟）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8分析：连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．【随堂练习】1．(2023•市中区一模）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．故选：B．2．(2023•曹县校级模拟）如图，点P、Q是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，记S△ABP＝S1，S△QMN＝S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法判定【解答】解；设p（a，b），Q（m，n），则S△ABP＝AP•AB＝a（b﹣n）＝ab﹣an，S△QMN＝MN•QN＝（m﹣a）n＝mn﹣，∵点P，Q在反比例函数的图象上，∴ab＝mn＝k，∴S1＝S2．故选：C．4反比例函数的实际应用【例题精选】例1(2023秋•靖远县期末）当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（）A． B． C． D．分析：根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【解答】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．例2(2023•莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝分析：先求得路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．【解答】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．【随堂练习】1．(2023秋•沧州期末）一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为（）A． B． C． D．【解答】解：∵xy＝2，∴y＝（x＞0，y＞0）．故选：C．2．(2023秋•阜阳期末）如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：依题意，得电压（U）＝电阻（x）×电流（y），当U一定时，可得y＝（x＞0，y＞0），∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．故选：B．3．(2023秋•黄岩区期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为__________．【解答】解：由题意可得：1200×0.5＝Fl，故F＝．故答案为：F＝．综合应用一．选择题1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，∴y1＜y3＜y2．故选：A．2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴xy＝﹣2，∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，故选：B．3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，可知函数解析式为y＝﹣，则xy＝﹣2，A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；故选：B．4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（）A．9 B．18 C．25 D．9【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，∴a•a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），解得：a＝3或a＝5．当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，∴a＝5舍去．∴点D（3，3），∴k＝3×3＝9．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（，0），B（0，﹣2）．设C（x，），∵点A为线段BC的中点，∴，解得．故选：C．二．解答题6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．（1）求直线的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，解得：，∴直线的解析式为：y＝x+1．（2）设直线AB与y轴交于点C．在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，∴C（0，1）．∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝