备战高考数学一轮复习讲义第46讲 第3课时　残差分析与决定系数

第3课时残差分析与决定系数一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1.在研究线性回归模型时，样本数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)所对应的点均在直线y＝－eq\f(1,2)x＋3上，用R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率，则R2等于()A.－1 B.－eq\f(1,2)C.1 D.22.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是()A.由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本中心点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系3.某种产品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间的关系如下表所示：x24568y3040605070y与x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(∧))＝6.5x＋17.5，当广告支出6万元时，随机误差的残差为()A.－5 B.－5.5C.－6 D.－6.54.某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：x2.22.64.05.35.9y3.85.47.011.612.2根据表中的数据可得经验回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法正确的是()A.第三个样本点对应的残差eq\o(e,\s\up6(∧))3＝－1，回归模型的拟合效果一般B.第三个样本点对应的残差eq\o(e,\s\up6(∧))3＝1，回归模型的拟合效果较好C.销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的D.销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5.(2022·广州模拟)某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999～2021年的GDP(国内生产总值)数据绘制出如图所示的散点图．(第5题)该小组选择了如下两个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模型一：y＝kx＋b(k>0，x>0)；模型二：y＝kex＋b(k>0，x>0)．下列说法正确的有()A.变量y与x正相关B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C.若选择模型二，y＝kex＋b的图象一定经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))D.当x＝13时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为16.(2022·济南模拟)进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．如图所示是2016～2020年中国二氧化碳排放量的统计图表(以2016年为第1年)．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，Req\o\al(2,1)＝0.9798；采用一元线性回归模型拟合时，经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(∧))＝1.58x＋91.44，Req\o\al(2,2)＝0.9833.则下列说法正确的是()(第6题)A.由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关B.由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C.利用经验回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为－0.30D.利用经验回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨三、填空题(精准计算，整洁表达)7.已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的决定系数为Req\o\al(2,1)，用eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))拟合时的决定系数为Req\o\al(2,2)，则Req\o\al(2,1)和Req\o\al(2,2)中较大的是________．(第7题)8.(2022·漳州模拟)根据下面的数据求得y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(∧))＝19.2x＋12，则这组数据相对于所求的经验回归方程的4个残差的方差为________．(注：残差是指实际观测值与预测值之间的差)x1234y324872889.(2022·武汉模拟)某工厂为研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种原材料的质量y(单位：吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)如下表所示．(残差＝观测值－预测值)x3456y2.534m根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.7x＋eq\o(a,\s\up6(∧)).据此计算出在样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m的值为________．四、解答题(让规范成为一种习惯)10.某市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(单位：吨)与相应的生产总成本y(单位：万元)的五组对照数据.产量x(单位：吨)12345生产总成本y(单位：万元)3781012(1)根据上述数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))；(2)记第(1)问中所求y与x的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\f(1,2)x2＋1.其中模型②的残差图(残差＝实际值－预报值)如图(1)所示．(第10题(1))请在图(2)中完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由；(第10题(2))(3)根据模型①中y与x的经验回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元．11.某小区物业公司决定动手解决小区“停车难”问题，并统计了近六年小区私家车的数量，以编号1对应2017年，编号2对应2018年，编号3对应2019年，以此类推，得到相应数据如下表.年份编号x123456数量y(单位：辆)4196116190218275(1)若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用经验回归模型来拟合，试用决定系数R2分析其拟合效果(R2精确到0.01)；(2)由于车辆增加，原有停车位已经不能满足有车业主的需求，因此物业公司欲在小区内对原有停车位进行改造，重新规划停车位．若要求在2023年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划多少个停车位．参考数据：yi＝936，xiyi＝4081，xeq\o\al(2,i)＝91，(yi－eq\x\to(y))2＝37586.附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－e