等比数列讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课33等比数列考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养等比数列的通项公式与前n项和公式掌握2023年新高考Ⅱ卷T2023年全国甲卷（理）T2023年全国甲卷（文）T2023年全国乙卷（理）T2023年天津卷T★★★逻辑推理数学运算等比数列的性质理解2023年北京卷T2021年新高考Ⅰ卷T★★☆逻辑推理数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，本基础课是高考的热点，命题热点是证明题或以数学文化为背景的题.预计2025年高考命题情况变化不大，但也要加强对有关探索创新和以生活实践情景为载体的试题的训练一、等比数列的有关概念定义如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的②比值都等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫作等比数列，即anan−通项公式设{an}是首项为a1等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么④G叫作a与b的等比中项，此时，⑤G二、等比数列的前n项和公式S1.通项公式的推广：an2.对任意的正整数m，n，p，q，若m+n=3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m−Sm，S3m4.在公比为q等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，a5.若a1>0,q若a1>0,06.若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则数列{c⋅an}7.由an+1=qan8.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠9.等比数列的前n项和Sn可以写成S10.Sm题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）满足an+1=qan(n（2）G为a，b的等比中项⇔G2=（3）若{an}为等比数列，bn=（4）若数列{an}的通项公式是an=an2.（易错题）若a是2与8的等比中项，a+1是−1与1−2b的等差中项，则【易错点】本题容易忽视讨论公比的正负.[解析]因为a是2与8的等比中项，所以a2=16.因为a+1是−1与1−2b的等差中项，所以2a+1题组2走进教材3.（人教A版选修②P41·T10改编）已知数列{an}为等比数列，a1=1024,公比q=14.若T[解析]依题意得，an=a1⋅当n>5时，Tn当n=5时，Tn+1Tn=1,即Tn+1=4.（多选题）（人教A版选修②P41·T8改编）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1A.an>SnC.Sn<2a[解析]由Sn=2Sn将an=Sn−1+n−所以an+1因为an=2当n=1时，当n≥2时，Sn−2所以Sn+12n题组3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=−5A.120 B.85 C.−85 D.[解析]设等比数列{an}的公比为q,首项为a1，则Sa1a1化简②得q4+q2−20=所以S8=a考点一等比数列的基本量的计算［自主练透］1.[2023·全国甲卷]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1=1A.158 B.658 C.15[解析]设等比数列{an}的公比为q则q3+q4=4q+4q2,即q32.[2023·天津卷]已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前nA.3 B.18 C.54 D.152[解析]设等比数列{an}的公比为q,由题意可得，当n=1当n=2时，a3联立①②可得a1=2,q=33.[2023·全国甲卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S[解析]设等比数列{an}的首项为a1,公比为因为8S所以8⋅即8⋅1−q6=7等比数列基本量运算的解题策略1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，若等比数列中有a1,n,q,an,2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论:当q=1时，{an}的前n项和Sn=na考点二等比数列的判定与证明［师生共研］典例1设数列{an}满足a1=2,[解析]∵a1=∴an=又a1−1∴an−等比数列的四种判定与证明方法定义法若an+1an=q(q为非零常数，n等比中项法若在数列{an}中，an≠通项公式法若数列{an}的通项公式满足an=c⋅前n项和法若数列{an}的前n项和公式满足Sn=k⋅在数列{an}中,an+12+2an+1[解析]∵a∴a即an+1+1∴a2+1a1+1=Sn考点三等比数列的性质及其应用［多维探究］等比数列项的性质典例2（1）[2024·贵阳月考]已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a3A.12 B.1 C.2 [解析]由等差中项的性质可得a3+a6+a9=3a6（2）[2023·全国乙卷]已知{an}为等比数列，a2a[解析]设{an}的公比为qq≠0，则a2a4a5=a3a6=a2等比数列前n项和的性质典例3[2024·哈尔滨校考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4A.41 B.45 C.36 D.43[解析]设S4=x因为{an}为等比数列，所以根据等比数列的性质，可得S4,S8−S4,S12−S等比数列的最值问题典例4已知在等比数列{an}中，a1=2，公比q=23，记其前n项和为SA.6 B.3 C.4 D.2[解析]由题意知，Sn=a1⋅等比数列的性质问题的解题策略1.等比数列的性质可以分为3类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.1.在等比数列{an}中，若aA.50 B.2010 C.105 [解析]∵{an}为等比数列，∴a4a7=a2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，若SA.27 B.45 C.65 D.73[解析]由等比数列前n项和的性质可得S6，S12−S6所以S12−S