2024重庆市乌江新高考协作体高三下学期模拟监测（二）数学及答案

重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（二）数学试题（分数：150分，时间：120分钟）8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“ab2，且1”是“A．充分不必要条件C．充要条件a1b1，且”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件i42izi1i32．复数A．1的实部为（B．3）C．2D．13．2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文6万平方米.该遗址延续时间长､4000年的中心性聚落.､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（）A．96B．144C．240D．360PABC的棱长为23M为棱PAMABC的外接球的体积最小时，4三棱锥MABC的体积为（）463A．B．42C．43D．83xnx,y,x,y,,x,y5．假设变量与变量Y的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型1122nnYbx,nˆQb).要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计b2iibx2取最小值EeDei1时的b的值，则（）nniiiiˆˆA．bi1B．D．bi1nni2i2i1i1nniixyyiiˆbˆbi1i1C．nnnn2x2ii2ix2iyi1i1i1i1116．设a，bln1.21，c10sin，则（）10100A．abcB．bacC．cabD．cbax2y3的取值范围是（24，过点4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，B两点，则7．已知圆C：CPCACB）A．0,1B．0,1C．0,2D．2BC223128．设O是△퐴퐵퐶的外心，点D为AC的中点，满足DOABAC,R，若，则ABC面积的最大值为（）A．2B．4C．42D．3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U为全集且元素个数有限，xSxU对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数SxS若,B,C，则（）xUSf(x)fxfx是定义域的子集）.表示M中所有元素所对应的函数值x之和（其中M注：MA(x)A(x)A．AUB．AB(x)1(x)1(x)ABAAB(x)1(x)1(x)1(x(x)C．D．ABABUUU(x)11(x)11(x)11(x)ABC(x)ABCUUU10．已知圆O:x2y21，圆C:(xa)2(yaR，则（2）A．两圆的圆心距OC的最小值为1B．若圆O与圆C相切，则a22C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则22a22D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为22x8,mR,xAB，若有且仅有个不同元AxZx2Bx9xm11．已知集合，集合3m素，则实数的值可以为（）A．0B．1C．2D．3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在四边形ABCD中，BC2AD，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足ts,tPA10PBPC10PD0.设分别为四边形ABCD与PAB的面积，则.sxxmelnmexx有解，则实数m的最大值为x13．若关于的方程.e14PABCD的底面ABCD为正方形，PA平面ABCDPA2，AB1PABCD的各个顶点均在球O的表面上，Bl，lOB，则直线l与平面所成夹角的范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x15．已知函数fx．x(1)求曲线yfx在点fe处的切线方程；xax1，求a的取值范围．(2)当x1时，216．在△퐴퐵퐶中，内角,B,C所对的边分别为a,b,c，且bc2acosC0.(1)求角A；(2)射线AB绕A点旋转90交线段于点E，且AE1，求ABC的面积的最小值.17．某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统A和系统B），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统A和B分别进.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次.若系统A不出现故障且系统B出现故障，则系统A得1分，系统B得-1分；若系统A出现故障且系统B不出现故障，则系统A得-1分，系统B得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0､和，一轮试验中系统A的得分为X分.分.系统AB出现故障的概率分别记为(1)求X的分布列；A(2)若系统A和B在试验开始时都赋予2分，ii2,3,4“系统的累计得分为ipp1p，ii1ii1i2,3A比系统B更稳定”的概率，则，其中04aPX1,bPX0,cPX1.p现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪2p0.12p0.92，则先启动系统A；若0.1p20.9，则随机启动两个个系统，若，则先启动系统B；若p2系统中的一个，且先启动系统A的概率为.)22①证明：p2；22)2)20.002p0.82②若，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.y22x2218C:a,b0)的焦点为F,F（F1在F2F2yA且垂直于12ab轴的直线l交双曲线于点P（P在第一象限），与直线AF1交于点B，记△ABF的周长为m,△BPF的周长21n,mn4为．(1)若C的一条渐近线为y2x，求C的方程；xyM,N两点，Q为线段MN(2)已知动直线l与C相切于点T，过点T且与l垂直的直线分别交轴，轴于上一点，设MQMN,为常数．若||QF||QF||b为定值，求的最大值．1219．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空x22y22z22间直角坐标系下，椭球面Γ:1abc0，这说明椭球完全包含在由平面abcxa,yb,zca,b,c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半所围成的长方体内，其中x2轴．某椭球面与坐标面z0的截痕是椭圆E:y21.2x22y22a2yy0b2在其上一点Qx,y处的切线方程为1ab001．过椭圆E的左焦点F1(1)已知椭圆00ab作直线l与椭圆E相交于,B两点，过点,B分别作椭圆的切线，两切线交于点，求△퐴퐵푀面积的最M小值．(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当bcΓ围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．重庆乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（二）数学答案（分数：150分，时间：120分钟）1-4．BBCA5-8．ABDB9．BCD10．AD11．AB212．11113．/e1eπ414．．1115．（1）由于fe，则切点坐标为，ee1x因为fx，所以切线斜率为；fe0，x21e故切线方程为yxxax时，2等价于xax，2（2）当x，x，gxax2令12ax21恒成立，则恒成立，gx2ax，xax21gx0xxgxg10，不符合题意；当a0时，gx0，函数gx在上单调递减，1，11当0a时，由gx0，得x22a1xg10gxgxg10单调递减，，不符合题意；时，，函数2a12当a时，a1，因为x1，所以2ax2gx0，1≥0，则gxg10，符合题意．gx所以函数在上单调递增11综上所述，aa，所以的取值范围为[,)．222sinBsinC2sinAcosC，16．（1）bc2acosC，由正弦定理得2sinACsinC2sinAcosC则，即2sinAcosC2cosAsinCsinC2sinAcosC则2cosAsinCsinC0，122πsinC0且Aπ2πA，，cosA；32πππ（2）由BAC和ABAE，可知CAE，3326SSAEBSAEC因为，ABC111所以bcsinBACcAEsinBAEbAEsinCAE，222又因为AE1，2πππ31所以bcsinsinbsin，即bccb，32622311又bccb2cbbc，222143233当且仅当cb，即b,c时，等号成立，238所以bc，3118bcsinBAC23323所以SABC，223233所以△퐴퐵퐶的面积的最小值为.17．（1）X的所有可能取值为0,1.,PXPX1111，1PXPX01PX111112，所以X的分布列为-1X0111（2）①由题意，1Ppi1i11111pi1，所以得i11i111pi1i111pi1i所以i1,i2,3，1pp1又，04111p01所以p2111p11111p2131111111p2p21[11211p,2111111pp23p411所以[112111p211p21111，1)22所以p2，22)2)2“该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统”为事件T“该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动系统A”为事件C，0.002,p20.80.9，因为PC，1p20.2p2PC所以由题意，得10.002P∣C11P∣C1，PTPCP∣CPCP∣C所以0.810.0010.210.0020.9988，即该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率为0.9988.18．（1）依题意，|mn|||AB||BF||AF|BP||PF||BF|)|1221||AB|BP||PF|)|AF|BP||PF||AB||AF|)|2111ab||PF||PF2a4，解得a2，又双曲线的一条渐近线为y2，即b2，2x，则21y2x2所以双曲线的方程为1.42y2x22(x,y)（2）由（1）知a2，则双曲线方程为1，设，004byykxxyy0my0，显然k0，0过T的直线l的方程为，即，令000222b2by4x由消去y得b2k24)x2b2mkxb2m2b20，显然b22k40，ym(2b2mk)24(b2k4)(b2m2b2)0，2由直线l与双曲线只有一个公共点，得my020222xyky2040，化简得b2k2m240，代入k得b)k0000y0y2020402xk1，于是由直线l与双曲线相切，得，而，b202b2by04b2y0b2y0yy0(xx)，0过点T且与l垂直的直线的直线斜率为，方程为4040b24)0b24)0b24)y04b24)y04令y0，得x，即M(,0)，令x0，得y，即N(0,)，b2b2b24)b2xy0xx20b24)b设Q(,y)，由MQMN(0，得，即，b24)4y0y0x4b4)2y2x2y204x20212代入1得2b24)2)2b24)，b4b2y2x222b24)2)2b24)2依题意，该双曲线与双曲线1共焦点，则b4，24b4b24b24)4]b20，于是，化简得b42b1b1，当且仅当b2，时取等号，b242b422所以b的最大值为1.x219．（1）椭圆E的标准方程为y1，则F1,0．122当直线l的倾斜角为0时，,B分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直线l的倾斜角不为0,2l:xtyAx,y,Bx,y,设直线1122xy12t2yty10t由2,得22，xty11Δt28yy,yy122则，122t2t2AB1t2yy1t2yy241y2所以1