2019年-2021年北京重点校初二（下）期末数学试卷汇编：菱形

1/12019-2021北京重点校初二（下）期末数学汇编菱形一、单选题1．（2020·北京·人大附中八年级期末）在菱形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形正确的结论的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2020·北京·人大附中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12，13)，则点B的坐标为()A． B． C． D．3．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是()A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断4．（2020·北京·人大附中八年级期末）在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若，则四边形是矩形B．若垂直平分，则四边形是矩形C．若，则四边形是菱形D．若平分，则四边形是菱形5．（2020·北京·北大附中八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为(12，13)，则点的坐标是()A．(0，-5) B．(0，-6) C．(0，-7) D．(0，-8)6．（2020·北京·人大附中八年级期末）下列说法中正确的是()A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形B．四个角都相等的四边形是矩形C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形D．对角线垂直相等的四边形是正方形二、填空题7．（2020·北京·101中学八年级期末）如图，在菱形中，，点是边的中点，是对角线上的一个动点，若，则的最小值是_____.8．（2020·北京·101中学八年级期末）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论：①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．以上所有错误说法的序号是_____．三、解答题9．（2020·北京·人大附中八年级期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．10．（2020·北京·北大附中八年级期末）在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是，与的位置关系是；（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).(3)如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若,,求四边形的面积.

参考答案1．D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC，BD交于O，四边形ABCD是菱形，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；

②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；

③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；

④如图，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，

故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．2．D【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】∵A（12，13），

∴OD=12，AD=13，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=CD=AD=13，

在Rt△ODC中，OC=，

∴OB=13-5=8．

∴B（0，8）．

故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．B【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先证四边形ABCD是平行四边形.再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四边形ABCD是菱形.【详解】如图，作DF⊥BC,BE⊥CD,由已知可得，AD∥BC,AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形.在Rt△BEC和Rt△DFC中∴Rt△BEC≌Rt△DFC，∴BC=DC∴四边形ABCD是菱形.故选B【点睛】本题考核知识点：菱形的判定.解题关键点：通过全等三角形证一组邻边相等.4．D【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【详解】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．5．A【分析】根据点A的坐标为(12，13)，可求出菱形的边长及OD的长，然后在Rt△COD中，利用勾股定理求出OC的长，即可求出点C的坐标.【详解】∵点A的坐标为(12，13)，∴CD=AD=13，OD=12，∴OC=,∴C（0，-5）.故选A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键.6．B【分析】分别根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的对称性、正方形的判定逐项判断即得答案．【详解】解：A、一组对边平行、一组对边相等的四边形是不一定是平行四边形，如等腰梯形，所以本选项说法错误，不符合题意；B、四个角都相等的四边形是矩形，所以本选项说法正确，符合题意；C、菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，所以本选项说法错误，不符合题意；D、对角线垂直相等且平分的四边形是正方形，所以本选项说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形和正方形的判定以及菱形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键．7．【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【详解】连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE==．∴PB+PE的最小值为．故答案为．【点睛】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．8．②④．【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．【详解】解：①如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，故选项①正确；②如图2，四边形AECF不是矩形，故选项②错误．③如图3，当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确．④如图4，如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．9．（1）证明见解析；（2）PQ的长是．【分析】⑴先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论.⑵根据三角形中位线的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，解得BE=10，得到，设，则，，计算得出，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得，由即可求解.【详解】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，解得x=8，BE=18﹣x=10，∴OB=BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，PO=，∴PQ=2PO=．10．（1）BP=CE；CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）.【详解】【分析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出，即可证得CE⊥AD；（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得，的长，再根据，进行计算即可得.【详解】（1）①BP=CE，理由如下：连接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；②CE⊥AD，∵菱形对角线平分对角，∴，∵△ABP≌△ACE，∴，∵，∴，∴，∴，∴CF⊥AD，即CE⊥AD；（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：连接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°＋∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE＋∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD，∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；(3