人教版数学九年级教学案212 解一元二次方程

21.2解一元二次方程

1、熟悉因式分解的多种方法。

2、会与一元二次方程结合综合应用。

因式分解方法

因式分解主要有十字相乘法，待定系数法、待定系数法、双十字相乘法。求

根公因式分解没有普遍适用的方法，主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解

法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法、长除法、短除法。

提公因式法

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式

化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都

是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母,

而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数

的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系

数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以

公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多

项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号,

变形看奇偶。

公式法

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用

来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

分解公式：

1、平方差公式：a2-Z?2=(a-t>)(a+b)

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

2、完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+bf；a2-2ab+b2=(a-Z?)2

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或

差)的平方。

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能

写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号

前。

推广：

(1)即三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。

(2)即四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。

(3)即几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。

(4)推论：(a+8)2-2ab=a2+Z>2；(a+b)2-4ab-a2,-b2

3、立方和公式：(a+6)3=(a2+2ab+♦)(a+6)=不+3a2Z?+3ab2+b3

23223

4、立方差公式：(己-6)3=(a-2ab+Z?2)(a—b)=a—3ab+3ab—b

即两数之和(差)的立方等于这两个数的立方和(差)与每一个数的平方乘以另

一个数3倍的和(和与差)。

uxg—tx21/—b+—4<3C、/_b_J62_4<3C、

?、怅八：ax+bx+c=a\x------------)------------)

2a2a

十字相乘法

对于V++°型的式子如果q分解为分解为数a、bo且有a+b=p时(即〃

与力和是一次项的系数)，那么x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；或对于丘2+叽+”型

的式子如果有k=M,”=)，且有"+人=»»时，那么+*+”=(nx+c)(bx+d)这

种分解因式的方法叫做十字相乘法。

具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘

再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)

特点：

(1)二次项系数是1；

(2)常数项是两个数的乘积；

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

基本步骤：

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数；

(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数；

(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果；

(4)检验。

分组分解法

通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，

这种分解因式的方法叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项,

一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

拆项补项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于

提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解，这种分解因式的方法叫做拆项补

项法。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再

利用平方差公式，就能将其因式分解，这种分解因式的方法叫做配方法。属于拆

项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

换元法

选择多项式中的相同的部分换成另一个换元法，然后进行因式分解，最后再

转换回来，这种分解因式的方法叫做换元法。注意，换元后勿忘还元。

待定系数法

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但

这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数。由

于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应

该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方

程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法。

知识点一：十字相乘法

Q1、解方程：2x2_4x-30=0.

【解答】解：•••2X2-4X-30=0,

.♦.x2-2x-15=0,

（x-5）（x+3）=0,

.,.xl=5,X2=-3.

。2.（2019•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，

则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

【解答】解：设参加酒会的人数为x人，

根据题意得：yx（x-1）=55,

整理，得：x2-x-110=0,

解得：X1=11,X2=-10（不合题意，舍去）.

答：参加酒会的人数为11人.

故选：C.

^^1.（2019•铜仁）关于X的一元二次方程x2-4x+3=0的解为（）

A.xi=-l,X2=3B.XI=1,X2--3C.XI=1,X2-3D.XI=-1,X2=-3

【解答】解：X2-4X+3=0,

分解因式得：（x-1）（x-3）=0,

解得:X1=1,X2=3,

故选：C.

03.（2019•台湾）若一元二次方程式x2-8x-3X11=0的两根为a、b,且a

>b,则a-2b之值为何？（）

A.-25B.-19C.5D.17

【解答】解：（x-11）（X+3）=0,

x-11=0或x-3=0,

所以X1=11,X2=-3,

即a-11,b=-3,

所以a-2b=11-2X(-3)=11+6=17.

故选：D.

04.(2019•安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两

根，则该等腰三角形的周长是()

A.12B.9C.13D.12或9

【解答】解：X2-7X+10=0,

(x-2)(x-5)=0,

x-2=0,x-5=0,

xi=2,X2=5,

①等腰三角形的三边是2,2,5

'：2+2<5,

•••不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长

是2+5+5=12；

即等腰三角形的周长是12.

故选：A.

05.(2019•黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-

10x+21=0的根，则三角形的周长为16

【解答】解：解方程x2-10x+21=0得xi=3、X2=7,

丁3〈第三边的边长＜9,

•••第三边的边长为7.

•••这个三角形的周长是3+6+7=16.

故答案为：16.

@2.(2019•黔南州)三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-

6x+8=0的解，则此三角形周长是13.

【解答】解:X2-6X+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

x-2-0,x-4=0,

xi=2,X2=4,

当x=2时，2+3V6,不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，

当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13,

故答案为：13.

^^3.已知关于％的一元二次方程(a+c)%2+2Z?%+(a—c)=0,其中a,b,c分别

为△A5C的三边的长.

(1)如果％=—1是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△A5C的形状，并说明理由；

(3)如果△A3。是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

【答案】：7.(1)Z\45C是等腰三角形.理由略.(2)4ABC是直角三角形.理

由略.(3)%i=0,X2=—1.

6：如图，在△ABC中，NB=90。，AB=5,BC=7,点P从A点开始沿AB

边向点B点以lcm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s

的速度移动.

(1)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，APBQ的面积等

于4?

(2)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5?

解：(1)设经过x秒钟，4PBQ的面积等于4,

则由题意得AP=x,BP=5—x,BQ=2x,

由5BPBQ=4,得5(5-X)-2x=4,

解得，X]=l,X2=4.

当x=4时，BQ=2x=8>7=BC,不符合题意。故x=l

(2)由BP2+BQW52得(5-x)2+(2x)2=52,

解得xl=O(不合题意)，x2=2.

所以2秒后，PQ的长度等于5。

(2019•荆门)已知x=2是关于x的一元二次方程kx?+(卜2-2)x+2k+4=0

的一个根，则k的值为-3.

【角军答】角军：把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0,

整理得k2+3k=0,解得ki=0,k2=-3,

因为kWO,

所以k的值为-3.

故答案为-3.

知识点二：提公因式

£^8.(2019•资阳)已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一个根

为0,则m=2.

【解答】解：,关于X的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一个根为0,

m2-2m=0且m#0,

解得，m=2.

故答案是：2.

©4.关于％的一元二次方程(左一1)_?+6%+3—左=0的一个根是0,则上的值是

【答案】：0

^^5.(2019•淮安)一元二次方