初中数学　应用全等三角形证明几种常见结论++课件+浙教版数学八年级上册

浙教版八年级上第1章三角形的初步知识专题一应用全等三角形证明几种常见结论应用一证线段相等

[2023·福建]如图，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，∠

AOD

＝∠

COB

.

求证：

AB

＝

CD

.

【方法点拨】若两条线段在两个三角形中，则证明这两条线段所在的

两个三角形全等，根据已知条件并结合全等三角形的判定方

法解题.变式1[母题教材P30课内练习T1]如图，

AB

＝

AC

，

BE

⊥

AC

于

E

，

CD

⊥

AB

于

D

，

BE

，

CD

交于点

O

，求证：

OB

＝

OC

.

应用二证角相等

如图，

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

，

BE

＝

CF

.

求证：∠

AFB

＝∠

DEC

.

【方法点拨】寻找全等三角形的对应边、对应角，可以利用标图让已

知条件图形化，必要时进行两次三角形全等.变式2已知△

ABN

和△

ACM

的位置如图，

AB

＝

AC

，

AD

＝

AE

，∠1＝∠2.求证：(1)

BD

＝

CE

；

(2)∠

M

＝∠

N

.

应用三证线段的和差关系

如图，四边形

ABCD

是正方形，

E

是

CD

边上任意一

点，连结

AE

，作

BF

⊥

AE

，

DG

⊥

AE

，垂足分别为

F

，

G

.

求证：

BF

－

DG

＝

FG

.

【证明】∵四边形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

DA

，∠

BAD

＝90°.∵

BF

⊥

AE

，

DG

⊥

AE

，∴∠

AFB

＝∠

DGA

＝90°.∴∠

DAG

＋∠

FAB

＝∠

DAG

＋∠

ADG

＝90°，∴∠

FAB

＝∠

GDA

.

∴△

ABF

≌△

DAG

(

AAS

).∴

BF

＝

AG

，

AF

＝

DG

.

∴

BF

－

DG

＝

AG

－

AF

＝

FG

.

【方法点拨】寻找全等三角形的对应边、对应角，可以利用标图让已

知条件图形化，将较长线段进行分解替换.变式3如图，

CD

∥

AB

，△

ABC

的中线

AE

的延长线与

CD

交于点

D

.

(1)若

AE

＝3，求

DE

的长度；

(2)∠

DAC

的平分线与

DC

交于点

F

，连结

EF

，若

AF

＝

DF

，

AC

＝

DE

，求证：

AB

＝

EF

＋

AF

.

应用四证线段的倍分关系

如图，已知

CE

，

CB

分别是△

ABC

，△

ADC

的中线，

且

AB

＝

AC

，∠

ACB

＝∠

ABC

.

求证：

CD

＝2

CE

.

【方法点拨】可以利用标图让已知条件图形化，通过添加辅助线构造

全等三角形，有时可以运用倍长中线法进行求解.变式4如图，在△

ABC

，△

CDE

中，点

D

在

AB

上，

AC

与

DE

交于点

F

，

AB

∥

CE

.

(1)如图①，若∠

A

＝47°，∠

DCE

＝82°，

CD

平分∠

ACB

，则∠

B

的度数为

⁠；63°

(2)如图②，若点

F

为

AC

的中点，作

DM

⊥

DA

，

DN

⊥

DC

且

DM

＝

DA

，

DN

＝

DC

，连结

MN

.

求证：

MN

＝2

EF

.

【证明】如图，∵点

F

为

AC

的中点，∴

AF

＝

CF

.

∵

AB

∥

CE

，∴∠5＝∠

E

.

又∵∠4＝∠3，∴△

ADF

≌△

CEF

，∴

DA

＝

CE

，

DF

＝

EF

，∴

DE

＝2

EF

.

∵

DM

⊥

DA

，

DN

⊥

DC

，∴∠1＋∠6＝90°，∠2＋∠6＝90°，∴∠1＝∠2.∵

AB

∥

CE

，∴∠

DCE

＝∠2＝∠1.又∵

DM

＝

DA

＝

CE

，

DN

＝

DC

，∴△

MND

≌△

EDC

，∴

MN

＝

DE

＝2

EF

.

1.

如图，

OB

平分∠

AOC

，

D

，

E

，

F

分别是射线

OA

、射

线

OB

、射线

OC

上的点，

D

，

E

，

F

与点

O

都不重合，

连结

ED

，

EF

.

若△

DOE

≌△

FOE

，则(

B

)A.

OD

＝

OE

B.

∠

ODE

＝∠

OFE

C.

OE

＝

OF

D.

∠

ODE

＝∠

OED

(第1题)B123456789102.

如图，△

ABC

的面积为7

cm2，

BP

平分∠

ABC

，

AP

⊥

BP

于点

P

，连结

PC

，则△

PBC

的面积为(

B

)A.

3

cm2B.

3.5

cm2C.

4

cm2D.

5

cm2(第2题)B123456789103.

[2024·湖州期末]如图网格是由9个相同的小正方形拼成

的，图中的各个顶点均为格点，则∠1－∠2－∠3的度数

为(

C

)A.

15°B.

30°C.

45°D.

60°(第3题)C123456789104.

如图，已知锐角∠

AOB

，根据以下要求作图.(第4题)①在射线

OA

上取点

C

和点

E

，分别以点

O

为圆心，

OC

，

OE

的长为半径画弧，分别交射线

OB

于点

D

，

F

；②连结

CF

，

DE

交于点

P

.

12345678910则下列结论错误的是(

D

)A.

CE

＝

DF

B.点

P

在∠

AOB

的平分线上C.

PE

＝

PF

D.若∠

AOB

＝60°，则∠

CPD

＝120°D123456789105.

如图，

E

是△

ABC

外一点，

D

是

AE

上一点，

AC

＝

BC

＝

BE

，

DA

＝

DB

，∠

EBD

＝∠

CBD

，∠

C

＝70°，则

∠

BED

的度数为

⁠.(第5题)35°

123456789106.

如图，在直角梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AB

⊥

BC

，

AD

＝3，

BC

＝4.过点

D

作

DE

⊥

CD

，且

DE

＝

CD

，连

结

AE

，则△

ADE

的面积为

⁠.1.5

(第6题)12345678910【点拨】如图，过点

E

作

EF

⊥

AD

，交

A

D

的延长线于点

F

，过点

D

作

DG

⊥

BC

于点

G

.

易知

BG

＝

AD

，∠

EDF

＋∠

CDF

＝90°，∠

CDF

＋∠

CDG

＝90°，∠

DGC

＝∠

DFE

＝90°，∴∠

CDG

＝∠

EDF

.

12345678910又∵

DC

＝

DE

，∴△

DCG

≌△

DEF

(

AAS

)，∴

CG

＝

EF

.

∵

AD

＝3，

BC

＝4，∴

CG

＝

BC

－

BG

＝

BC

－

AD

＝1，

123456789107.

[2023·陕西]如图，在△

ABC

中，∠

B

＝50°，∠

C

＝

20°.过点

A

作

AE

⊥

BC

，垂足为

E

，延长

EA

至点

D

，

使

AD

＝

AC

，在边

AC

上截取

AF

＝

AB

，连结

DF

.

求

证：

DF

＝

CB

.

12345678910

123456789108.

如图，在等边三角形

ABC

中，点

E

，

D

分别从点

A

，

C

出发，沿

AC

，

CB

方向以相同的速度在线段

AC

，

CB

上

运动，

AD

，

BE

相交于点

F

.

(1)求证：

BE

＝

AD

；12345678910

12345678910(2)当

E

，

D

运动时，探究∠

ADC

与∠

BEC

之间的数

量关系.【解】∵△

ABE

≌△

CAD

，∴∠

AEB

＝∠

ADC

.

∵∠

AEB

＋∠

BEC

＝180°，∴∠

ADC

＋∠

BEC

＝180°.12345678910

【证明】∵∠

BAC

，∠

ABC

的平分线

AE

，

BF

相交于点

O

，

12345678910(2)当∠

C

＝60°时，探究

AF

，

BE

与

AB

之间的数量关

系，并说明理由.

12345678910

1234567891010.

[2024·宁波奉化区期中]在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，直线

MN

经过点

C

，

AD

⊥

MN

于点

D

，

BE

⊥

MN

于点

E

.

(1)当直线

MN

绕点

C

旋转到如图①的位置时，求证：△

ADC

≌△

C