四点共圆教学课件

第十二讲四点共圆

四点共圆的知识应用很广泛，其作用是在圆中起到角和圆塞的传递，并且在证明线段相等或角相等、

直线平行或垂直、比例或等积式中，常常可以起到化难为易、化繁为简的作用，是条件与结论之间的纽带.

我们熟练地掌握四点共圆地有关知识，能收到良好的效果.

一、基础知识

1、四点共圆的判定方法

（1）利用圆的定义，即：各点与一定点等距离（R）,则各点在

以定点为圆心，半径为R的圆上；

（2）若一线段（AB）同侧的两个点C和D,对这条线段的两点n..C

（A和B）的张角相等，则这四点A、B、C、D共圆；/K/A'、

（3）若一线段（AB）异侧的两个点C和D,对这条线段的两点

A、B的张角互补，则A、B、C、D四点共圆；

（4）两线段AB、CD交于E点，若满足AEEB=CEED,则A、

B、C、D四点共圆；

（5）两线段OAB和OCD,若满足OAOB=OCOD,贝!]A、B、

C、D四点共圆；

（6）由四点所构成的凸四边形的一个外角等于内对角，则凸四

边形四个顶点共圆.

二、例题

例1（十）通过两个相交圆得公共弦上的任一点P,引第一个圆的弦KM和第二个圆的弦LN,证明：KLMN

可内接于一圆.

【证】：二"2^

由相交弦定理：PKXPM=PAXPB；PKXPM=PNXPL

故PKXPM=PNXPLj-.'卜.f）2

故K、L、M、N四点共圆\J

例2（★）圆Oi，Ch相交于AB,P是BA延长线上一点，割线PCD交圆Oi于C、D,割线PEF交圆

于E、F,求证：C,D、E、F四点共圆.

【证】：

由割线定理：PCXPD=PAXPB；PEXPF=PAXPB

故PCXPD=PEXPF

故C、D、E、F四点共圆

例3(★)AB为圆直径，过A在AB同侧作弦AP、AQ,交B处的切线于点R、S,求证：P、Q、S、R

四点共圆；

《奥赛金牌题典，初中数学》

广西师范大学出版社，P246,例498

例4(*)A为。O外一点，AB,AC和。O分别切于B、C两点，APQ为。O的一条割线，过B作BR〃AQ

交。O于点R,连结CR交AQ于点M,试证：A、B、C^O、M五点共圆；

《奥赛金牌题典，初中数学》

广西师范大学出版社，P247,例500R

M1Q

例5(★)/ABC中，AB=AC,ZA=90°,AM为底边BC上的中线，过M、C两点的圆交AC于E,

交BE于F,求证：AF±BE；

证明：由题设条件知

AABC为等艘女除三,色彩且M为BC的中点

,'.Z4^8=90°

乂Nl=N3=NC=N2=45°/\

."=/2

A、B、M、F四点共圆~4—~~X

.•■Z4Ffl=ZAVB=9(r/

故”_LB£。

例6(★★)过已知。。的中心作OA垂直于圆外的直线MN,自垂足A作圆的割线交圆于B、C,过B、

C分别作圆的切线交MN于D、E,求证：AD=AE；

--------------^-―^―NMEADN

/

证明：连。8、0（：、0口、0£，则08_18口,0（：_1£（3，又VOA±MN

:.O、B、A、D四点共圆

.*.N1=N2,又,:O、A、E、C四点共圆

:.N3=/4,

VOB=OC:.N2=N4.\Z1=Z3.:.在等腰AODE中

VOAXDE;AD=AE

例7（**）AB、AC切。O于B、C,任作割线AEF交圆周于E、F,弦BD平分弦EF交EF于M,求

证：CD/7EF；

证明：连结OA、OB、OC、OM

•:AB±OB,OM±EF,:.A、B、O、M四点共圆.

AZl=Z2=yZBOC

,:ZD=-1-ZBOC

:.Z1=ZD

/.CD〃EF

例已知，。。与（DO,外切于P,过P点作直线交。O与。（T于A、B,AC是。O的弦，过B

点作。。，的切线交AC的延长线于D,求证：APAB=ADAC；

分析，要证等积式ARAB=AC.AD，则须证：点P、B、D、C共圆。于是连结

PC,得到四边形PBDC.又因为@0与。。'外切于P,两网相切常作它们的公切线。不

妨过点P作内公切线PE,交BD于点E.又因BD比。。'于点B,联想到切线长定理，

EB-EF,所以N1=ZBe而对顶角/I=/2,弦切角/2=/3..于是N3A

ZB,即四点P、B,D、C共圆。再由割级定理，命题得证。（证明略）下面洌均省去

证明过程。

例圆O1，。2相交于A、B,从圆O1上一点P引直线PA、PB,交圆。2于c、D,过P作PH

LCD于H,求证：PH过圆Oi的圆心；

分析：令PH交阚PAB于Q,要证PH过圆PAB的圆心，只须证PQ为海PAB的直

径。连结AQ,则证/PAQ=Rt/,在四边形AQHC中，PH_LCD,故只须证四点A、

Q、II、C共圆，于是转化为证/I=NC。两网相交常公共弦，不妨连结AB,则四点

A、B,C、D共圆，/2=ZC,在圆PAB中，N1=/2,故/1=ZC.

例•(★★)如图，AD是圆的直径，直线1是过D的切线，割线AB、AC交［于点B、C,交圆于点E、

F；(1)求证：AEAB=AFAC；(2)如果使直线1向上平行移动成为圆的割线，而AB、AC仍与1交于

点B、C,与圆仍交于点E、F,那么等式AE・AB=AF・AC是否仍成立，为什么？

分析：(1)要证AE・AB=AF.AC,则证四点B、C、F、E共圆。连结EF,证

ZI=Z2,再连转ED,则/1=/3,又因为AD为直径，1切则于D,所以，/2+

/4=90°,/3+/4=90。，N2=/3,即/1=/2.

(2)如卜.图，当1向上平移时，等式AE.AB=AF.AC是否成立，则探索四点E、

F、C、B是否共圆。因为】为平移，所以L.LAD,连结EF,DF,则+/2=Rf/,

ZD+Z2=RtZ,故N1=N。，又NE=ND,因此/j=/E,四边形BCFE内接

于圆，等式仍能成立。

例11(★★)PA、PB为。O的切线，A、B为切点，连结AB与PO交于M,QR是过M的任意一条弦,

求证：OP平分NQPR；

证明：连Q4、0B、0Q、0R,则又证：问题在于证明半线(射线)PR和PQ关于

/CMP=NOBP=90°直线PO对称，若以E表8和圆的另一交点，那

.•.0、4、P、8四点共圆么就是要证E、R两点对称于PO线，或/兄WP=

OM•MP=AM•MBNPME。

2

WAM-MB=QM•MR从直角△。加》看出PO-PM=PA

OM-MP=QM•MR又=叩•PE

:.PO-PM=PQ-PE

.•.O、R、P、Q四点共圆

又OQ与OR是00的半径.・.M、O、Q、E共圆，于是有

故N1=N2(同圆上等弦所对的圆周角相等)NRMP=Z_QMO=NQEO=NE8=NPME

即：OP平分NQPR最后从三角形MRP和MEP的全等，知道

OP平分NQPR

例12(★★)如图，P为。。上任一点,AB为任意弦，过AB作。O的两条切线相交于Q,PD_LQA于

D,PEJ_QB于E,PC_LAB于C,求证：PC2=PDPE；

证明：如图，连接PA、PB、CD、CE

则由NPZMPC4=1盼得

P、、O、A、C、四点共圆

.•.Z1=Z2,Z3=Z4

又N2=N4（弦切角度数定理）

.-.Z1=Z3

同理N5=/6

・••△PDCsAPCE

PDPC

"''K='PE

故PC"=PD•PE。

例13(★★★)如图，。。内接/ABC,AQ_LBC于D点，交。O于Q,AD是。O,的直径，。0,交AB

于M,交AC于N,AQ交MN于P,求证：AD2=APAQ；

证明:延长AO交。O于E.

连结BE,ND

VAD、AE是直径:.ZABE=ZAND=90°:.Nl+NE=90°

VAD±BCZ4=ZADN-Z2

VZ4=ZE则N2=NE=N4.连接QC,

则NQ=NABC

VZ2=Z4；.B、C、N、M四点共圆:.Z3=ZABC=ZQ

P、Q、C、N四点共圆,则AP-AQ=AN-AC

•••AD'HAN•AC(射影定理)Aiy=AP•AQ

例14(★★★)在/ABC中边AB=AC,有一个圆Oj内切于/ABC的外接圆O并且与AB、AC分别相

切于P、Q,求证：P、Q连线的中点。是/ABC的内切圆的圆心；

证明:连AOiJ；AB,A('切⑥。i于P、Q

:.AP=AQ,AO」PQ且平分FQ.AO,平分NA.

同理AO,垂直平分BC，

APQ//BC,

:.O1,O以及外接圆圆心都在AO,上・

连结BD.则NABD=NPOD=90°

:.P、B、D、O四点共圆.NAPQ=NBDO、N1=N3

V^D=dD,/4=N5,PD为公共边

.-.RtAPBOaRiAPOD

.*.Z3=ZBDP=yZBDO

VZAPQ=ZPBC

:.ZPBC=ZBDO

:.Z1=Z3=|ZBDO=1-ZPBC

即N1=N2

:.OB平分NABC故O是△ABC内心.

练习题

1.（★）锐角/ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F,H七个点中，能组成四

点共圆的组数为（）

A.4组B.5组C.6组D.7组

《奥赛金牌题典，初中数学》广西师范大学出版社，P250,506题，答案C

2.（★）在/ABC中，AB=AC,D为BC边中点，且BEJ_AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,

则PA的值为（）

A.yJ3B.2A/3C.72D.网

《奥赛金牌题典，初中数学》广西师范大学出版社，P251,508题，答案A

3.（★★,98年全国联赛）直线AB和AC与。O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，如图，P至！JAB、

AC的距离分别为6厘米，4厘米，则P到BC的距离为；

《初中数学竞赛同步辅导》尹、

第三分册，P218,例1\

答案2nA<ME4°/

4.（★★,89年全国联赛）正方形ABCD的中心为O,面积为1989cmP为正方形内一点，且NOPB

=45°,PA：PB=5：14,贝！|PB=；

连接OA.O8.易知O,P,4,B四点共圆.有

NArB=N4O8=90-.

故PJ4*+PB,-4B*-1989.

由于PAIPB=5•14.可求PB.

PB=42cm'D

5.(★)已知PA是/ABC的外接圆的切线，PD〃AC且与AB,BC分别交于点E、D,求证：EAEB

=EDEP；

《初中数学竞赛同步辅导》讣、

第三分册，P223,4题，答案P410「\二'"B

6.(★)如图，(DO】和。Ch相交于A、B两点，过A作一条直线分别交。Oi和。Ch于C、D,过C、D

分别作和。。2的切线，它们相交于E,连结BC、BD和BE,求证：ZBCD=ZBED.

分析美•证结论成立<=E、C、8、D团总共

m<=Z.BCF-NBDE.为此，连.结AB,则

Z.RCF=NBAC.从而.要证Z.BCF=^BDE

<=Z.BAC—乙BDE<=NABD+RADB=

NADB+NADE<=NABD=NADE<=r>K是

0O,的切钱.这是已为条件，故结论可证.证明

7.(★★)已知NACE=/CDE=90。，点B在CE上，CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于

点F,求证：F为/CDE的内心；

《初中数学竞赛同步辅导》