2025届安徽省合肥市一中、六中、八中高一下数学期末考试试题含解析

2025届安徽省合肥市一中、六中、八中高一下数学期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线，，的斜率分别为，，，如图所示，则（）A． B．C． D．2．已知集合A={x︱x>－2}且，则集合B可以是（）A．{x︱x2>4} B．{x︱}C．{y︱} D．3．已知点在第二象限，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，则角的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如图，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角是（）A． B． C． D．5．已知函数在区间上恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．6．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台7．已知数列的通项公式是，则该数列的第五项是（）A． B． C． D．8．已知变量x，y的取值如下表：x12345y1015304550由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归直线的方程为，据此可预测：当时，y的值约为（）A．63 B．74 C．85 D．969．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（）A． B． C． D．10．在数列中，若，，，设数列满足，则的前项和为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，那么__________．12．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则________.13．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．14．如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则__________.15．已知圆锥的高为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是，则该圆台的高为_______.16．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数；（2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．18．已知不等式.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围．19．在中,为上的点,为上的点,且.（1）求的长;（2）若,求的余弦值.20．已知向量，其中．函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为1．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）计算的值；（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间[0，3]上的零点个数．21．已知数列满足，，其中实数.（I）求证：数列是递增数列；（II）当时.（i）求证：；（ii）若，设数列的前项和为，求整数的值，使得最小．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据题意可得出直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系得出结果.【详解】解：设三条直线的倾斜角为，根据三条直线的图形可得，因为，当时，，当时，单调递增，且，故，即故选A.【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性.2、D【解析】

A、B={x|x＞2或x＜-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合题意；

B、B={x|x≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；

C、B={y|y≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；

D、若B={-1，0，1，2，3}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x＞-2}=A，与题意相符，

故选D．3、C【解析】

根据点的位置，得到不等式组，进行判断角的终边落在的位置．【详解】点在第二象限在第三象限，故本题选C．【点睛】本题考查了通过角的正弦值和正切值的正负性，判断角的终边位置，利用三角函数的定义是解题的关键．4、D【解析】

如图，平移直线到，则直线与直线所成角，由于点都是中点，所以，则，而，所以，即，应选答案D．5、D【解析】

直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果.【详解】函数,由因为，所以，即，当时，函数的最大值为，由于在区间上恒成立，故，实数的最小值是.故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值，需熟记公式与三角函数的性质，同时考查了不等式恒成立问题，属于基出题6、C【解析】

试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．7、A【解析】

代入即可得结果.【详解】解：由已知，故选：A.【点睛】本题考查数列的项和项数之间的关系，是基础题.8、C【解析】

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可．【详解】由题得，．故样本点的中心的坐标为，代入，得．，取，得．故选：．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．9、B【解析】

，，分别为，，的根，作出，，的图象与直线，观察交点的横坐标的大小关系．【详解】由题意可得，，分别为，，的根，作出，，,的图象,与直线的交点的横坐标分别为，，，由图象可得，故选：．【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题．10、D【解析】

利用等差中项法得知数列为等差数列，根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，由此可得出数列的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列的通项公式，并得知数列为等比数列，利用等比数列前项和公式可求出.【详解】由可得，可知是首项为，公差为的等差数列，所以，即．由，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，数列的前项和为，故选D.【点睛】本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2017【解析】，故，由此得.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将变换为含有的式子.也可以令.等比数列求和公式为.12、【解析】

由题意得出，结合诱导公式，二倍角公式求解即可.【详解】，则角的终边可能在第一、二象限由图可知，无论角的终边在第一象限还是第二象限，都有故答案为：【点睛】本题主要考查了利用二倍角的余弦公式以及诱导公式化简求值，属于基础题.13、①③【解析】

∵f（x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；∵T=，故②不正确；令x=﹣代入f（x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，故y=f（x）的图象关于点对称，③正确④不正确；故答案为①③．14、【解析】根据题意，可得OA⊥OC，以O为坐标为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则有C（1，0），A（0，1），B（cos30°，-sin30°），即.于是.由，得：，则：，解得.∴.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15、【解析】设该圆台的高为，由题意，得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥体积是，则，解得，即该圆台的高为3.点睛：本题考查圆锥的结构特征；在处理圆锥的结构特征时可记住常见结论，如本题中用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面的面积之比是两个圆锥高的比值的平方，所得两个圆锥的体积之比是两个圆锥高的比值的立方．16、0.72【解析】

根据对立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.【解析】试题分析：（1）根据比例关系式求出关于的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为，得到关系式，根据二次函数的性质求出的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：，解得：；（2）设该正四棱柱的表面积为．则有关系式，因为，所以当时，，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为.点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求的最小值，那么可以看成是数轴上的点到和的距离之和，易知最小值为2、求导法等.18、（1）；（2）【解析】

（1）不等式为，解得（2）不等式的解集非空，则，求解即可【详解】（1）当时，不等式为，解得，故不等式的解集为；（2）不等式的解集非空，则，即，解得，或，故实数的取值范围是．【点睛】二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．19、(1);(2).【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用．（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出．试题解析：（1）由题意可得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，解得：．故的长为．（2）在中，由正弦定理得，即所以，所以．因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以．20、（Ⅰ），；（Ⅱ）2028；（Ⅲ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f（x），由题意求得ω，再由函数f（x）的图象过点B（2，2）列式求得．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，可得f（x）是周期为2的周期函数，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．得到f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．进一步可得结论；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），∴f（x）cos2（ωx+）＝2﹣cos2（ωx+）），∴f（x）max＝2，则点B（2，2）为函数f（x）的图象的一个最高点．∵点B与其相邻的最高点的距离为2，∴，得ω．∵函数f（x）的图象过点B（2，2），∴，即sin2φ＝2．∵0＜，∴．∴f（x）＝2﹣cos2（）＝2+sin，由，得，．的单调递减区间是，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，∴f（x）是周期为2的周期函数，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．∴f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．而2027＝2×502+2，∴f（2）+f（2）+…+f（2027）＝2×502+2＝2028；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m＞2或m＜﹣2时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣2≤m＜0或m＝2时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m＜2时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m＞2或m＜﹣2时，函数g（x）在[0，3]上无零点；②当﹣2≤m＜0或m＝2时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点；③当0≤m＜2时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结