人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程章末复习提升

章末复习提升

网络构建形成体系

厂［相交两直线垂直的条件

T两条直线的位置关系两直线平行的条件

直I——RM?

线审合

与

方

程

两条宜线的交点坐标

两点间的距离公式

—交点坐标与跑离公式I—

点到直线的咫离公式

两条平行直线间的距离公式

一

直

线

「T圆的标准方也与

圆

的

位

置

关

系

圆

的

位

—|圆的一|般方程|置―与圆相交|

关

系

一T圆与圆相切I

要点聚焦类型突破——•

要点一直线方程的求法及应用

求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程

的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.

K例在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1),8(3,2).

(1)若C点坐标为(1,0),求A3边上的高所在的直线方程；

(2)若点M(l,1)为边AC的中点，求边所在的直线方程.

解⑴•••A(0,1),8(3,2),

2-11

碗=3—03,

由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k=—3,

...AB边上的高所在直线方程为y—0=—3(x—1),

化为一般式可得3x+y-3=0.

(2)VM(1,1)为AC的中点，A(0,1),

AC(2,1),：.kBc=Y-^=l,

3—2

.•.边3C所在直线方程为＞一1=》-2,

化为一般式可得x—y—1=0.

K训练已知△ABC的顶点A(6,1),边上的中线CM所在直线方程2九一

厂5=0,AC边上的高8”所在直线方程为》一2厂5=0.求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线BC的方程.

解(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为今

故AC边所在的直线的斜率为一2,

则它的方程为y—1=—2(x—6),即2x+y—13=0.

f9

2x+y—13=0,

由'求得，乙

、2x一厂5=0,

J=4,

故点C的坐标为住4).

m+6n~\-1

(2)设B(〃z,n),则2，-T-

把M的坐标代入直线方程2x-y—5=0,

把点B的坐标代入直线方程%—2y-5=0,

o-m-+--6--H-+--1一

可得225=0,

m—2n-5=0,

r7

m=-/、

求得彳n故点-¥)・

l"=一Q，

9

_%—2

再用两点式求得直线BC的方程为汽4一=-T^，

------A————

3432

化简为46x—41y—43=0.

要点二两条直线的位置关系

解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线人

/2的斜率加左2存在，则/1〃/20k=依，/1_U20Z的=-1.若给出的直线方程中存

在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条

直线重合的可能性.

K例22(1)当a=时，直线/i：y=—x+2a与直线小y=(a2—2')x+2

平行；

(2)当。=时，直线A：y=(2a—l)x+3与直线加y=4x—3垂直.

K答案』(1)-1(2)|

K解析1(1)直线/|的斜率公=-1,直线/2的斜率22=/—2.

因为/1〃/2,所以/—2=-1且2a#2,解得a=-1.

所以当a=—1时，直线八：y=—x+2a与直线〃：y=(〃-2)x+2平行.

(2)直线/1的斜率Ai=2a—1,/2的斜率上=4.

因为所以怎•女2=—1,即4(2。-1)=-1,

解得a=]

3

所以当a=g时，直线小y=(2a-l)x+3与直线人：y=4x—3垂直.

K训练2》(1)已知直线小ax-3y+\=0,Z2：2x+(a+l)y+1=0.若/i_U2,则

实数。的值等于；

(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(l,1),点4—2,3),B(0,y),则y=.

K答案』(1)-3(2)—3

K解析H⑴•.•直线/i：ax-3y+1=0,

h：2x+(a+l)y+1=0,且

・・・2a—3(。+1)=0,

3—12,y—1

(2)AAC=_2_]=_§，ABC=0_[=l_y.

VZC=90°,AAC1BC,

・2八、।.1

•--3(i-y)--h-y=~2-

要点三距离问题

解决K解析1几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合.

三种距离是高考考查的热点，公式如下表：

类型已知条件公式

两点间的

A(xi,yi),8(x2,y2)\AB\=y](X2-xi)2+(”-yi)2

距离

点到直线P(xo,yo)\Axo~\-Byo+C\0

"马(寿9+日①

的距离/：Ar+Sy+C=0(A2+S2^0)

l\：Ax~\~By+Ci—0

两平行直.IC2-C1I

Z2：Ax+By+C2—0(A2+B2T^0,d~^+^

线的距离

C1WC2)

K例3』直线/在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线/的距离为36,

求直线/的方程.

I4-31r-

解当直线过原点时，设所求直线方程为日一y=0,则VT+P-3^-

铲洱7—yu.f,3Vi4》

解付k=±%-6,・-y=\±2-6k-

当直线不经过原点时，设所求直线方程为x+y=a,则

|4+3—a\I-为

=3yj2,解传。=13或。=1,

.\x~\~y—13=0或x~\~y—1=0.

综上，所求直线方程为y=(±，^亘-6,或x+y—13=0或x+y—1=0.

K训练31已知直线/在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3,1)到它的距

离为啦，求直线/的方程.

解当直线过原点时，设直线的方程为丁=依，即日一y=0.

由题意知^^=隹解得仁1或2，

所以所求直线的方程为x—y=O或x+7y=0.

当直线不经过原点时，

设所求直线的方程为5+上=1,即》一〉一。=0.

由题意知心重回=也，解得。=4或。=0(舍去).

所以所求直线的方程为x—y—4=0.

综上可知，所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x-y-4=0.

要点四对称问题

1.关于点的对称问题

⑴点关于点的对称问题：若两点A(xi,yi),8(x2,>2)关于点P(xo,yo)对称，则P

'X\+*2

xo=29

是线段A3的中点，并且〈,

y\~ry2

卜0=2.

⑵直线关于点的对称问题：若两条直线人/2关于点P对称，则：

①人上任意一点关于点尸的对称点必在/2上，反过来，/2上任意一点关于点尸的

对称点必在/|±；

②若h〃b,则点P到直线/I,/2的距离相等；

③过点P作一直线与人，〃分别交于A,8两点，则点尸是线段AB的中点.

2.关于直线的对称问题

(1)点关于直线的对称问题：若A,8两点关于直线/对称，则/是线段A3的垂直

平分线.

①直线AB与直线/垂直；

②线段AB的中点在直线I上；

③直线/上任意一点到A,B两点的距离相等.

(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线八，/2关于直线/对称，则

①人上任意一点关于直线/的对称点必在/2上，反过来，，2上任意一点关于直线I

的对称点必在/1上；

②过直线/上的一点尸且垂直于直线/作一直线与/1,/2分别交于A,8两点，则

点P是线段45的中点.

K例4》已知直线/：y=3x+3,求：

(1)点P(4,5)关于I的对称点坐标；

(2)直线y=x-2关于I的对称直线的方程；

(3)直线I关于点A(3,2)的对称直线的方程.

解(1)设点P关于直线I的对称点为P'(x',y'),则线段PP的中点M在直线I上，

且直线PP垂直于直线/,

fy+5x'+4,

=3--y-+3,

x'=-2

即S解得，r

3=7.

点坐标为(-2,7).

(x—y—2=0(59、

(2)由、.「八9得交点一5，一5•取直线》一y一2=0上一点3(0,-2),设

[3x—y+3=O,\

点B关于直线/：3x-y+3=O的对称点为夕(xo,川),

无o=-3,

则彳解得

xoyo-2jo=-1.

3-y-—2-+3=0,

故所求直线过点(一|,一当与(―3,一1)，

-1+2

斜率上=----7=-7,

—3+]

.,.所求直线方程为泻=-7G+|),

即7x+y+22=0.

(3)设直线/关于点A(3,2)的对称直线为匕

由于/〃故可设。为y=3x+b(b#3).

由占到由势出击南八十建”3—2+例|3X3—2+3]

由八、、到直线的距离A^^32+(_1>2-^2+(-J)

即由+7|=10,

解得匕=-17,或匕=3(舍去)，

二直线厂的方程为y=3x-17,

即对称直线的方程为3x—y—17=0.

K训练4U已知直线/：2x-3y+l=0,点4一1,-2).求:

(1)点A关于直线I的对称点4的坐标；

(2)直线m：3x—2y—6=0关于直线I的对称直线加的方程；

(3)直线/关于点A(—1,一2)对称的直线/，的方程.

>+22

xo+lX3--1,

解(1)设A，(xo,yo),则〈

xo~1八yo-2,八

2,23,211—0.

「33

次=一百，

解得J4"I

13,13/

(2)在直线m上取一点如M(2,0),

则M(2,0)关于直线/的对称点M必在加上.

设AT(a,b),

卜空-3.(空)+1=0,

则《

—

口―23-

f6

6_30A

解得0百13/

-2x-3y+l=0,

设加与/的交点为N,则由Lc，八得M4,3).

、3元一2厂6=0,

又：加经过点N(4,3),

...由两点式得直线方程为9x-46y+102=0,即为所求直线方程.

(3)设P(x,y)为上任意一点，

则P(x,y)关于点A(—1,—2)的对称点为P<—2—x,-4-y).

•••P在直线/上，

.•.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,

即2x-3y-9=0,即为所求直线方程.

要点五求圆的方程

求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆

的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用

几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题.

(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a,b,r,或一般式中的。，E,F,

因此需要三个独立条件建立方程组求解.

(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待

定系数法求解.

K例5》一个圆C和已知圆/+产-2x=0相外切，并与直线/：相

切于点M(3,一小)点，求圆C的方程.

解由^+丁一2x=0得(x—l)2+y2=i,故其圆心为(1,0),半径为1.

•.•圆。与圆^+/-2%=0相外切，

故两个圆心之间的距离等于半径的和，

又•圆C与直线/：x+4§y=0相切于点M(3,一5)，

可得圆心与点M(3,一5)的连线与直线x+小y=0垂直，其斜率为小.

设圆C的圆心为(a,b),半径为r,

J/小,

则<N(〃-1)2+匕2=1+r,

|〃+小例

<r=2'

解得。=4,Z?=0,r=2或q=0,/?=-4A/3,r=6,

圆C的方程为(x—4)2+V=4或x2+(y+4*\/3)2=36.

K训练51已知直线/经过两条直线2左一y—3=0和4x—3y—5=0的交点，且

与直线x+y—2=0垂直.

(1)求直线/的方程；

(2)若圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上，直线/被该圆所截得的弦长为

26，求圆C的标准方程.

\2x-y—3—0,

解⑴由。；uc解得两直线交点为(2，1),

I4x—3y—5=0

与x+y—2=0垂直，:21.

又•••/过点(2,1),

，/的方程y—1=x-2即x~y—1=0.

"(1—a)2=产，

(2)设圆C的标准方程为(x—4产+产二户口;)。)，则<(|a-llj+z,

解得a=3,r=2.

.•.圆C的标准方程为(x—3)2+V=4.

要点六直线与圆、圆与圆的位置关系

圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中

点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等.充分利用圆的几何

性质可获得解题途径，减少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画

图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路.

K例61有一个圆与直线/：4x—3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点8(5,

2),求此圆的标准方程.

解设圆心为C,则CA，/.

又设直线CA与圆的另一个交点为P.

3

VCA1Z,，直线C4的斜率为一了，

,3

故直线C4的方程为y—6=13),即3x+4y—33=0.

6—2|

又痴=>=-2,从而由平面几何知识可知.一

则直线P8的方程为x~2y~1=0.

3x+4y—33=0,x=7,

解方程组得

,x~2y—1=0,J=3,

即点P的坐标为(7,3).

•.•圆心。为AP的中点，

圆心C的坐标为(5,1半径长|CA|=|,

K训练63已知点P(0,5)及圆C：r+y2+4x—12y+24=0.若直线I过点P,

且被圆。截得的弦的长为4/，求/的方程.

解由x2+y2+4x~12y+24=0得(尤+2)2+0-6)2=42,

...圆C的圆心为C(一2,6),半径r=4.

如图所示,|A阴=4小，设0是线段A3的中点，连接CD,则CO,A3,/

“1=24,\AC\=4.

在Rt^ACO中，可得|CD|=2.…,

设所求直线I的斜率为k,则直线/的方程为y-5=kx,即kx-y

+5=0.由点C到直线A5的距离|CD|=।―点等51=2,得仁

此时直线/的方程为3x-4y+20=0,

又•；直线/的斜率不存在时，其方程为x=0,易知也满足题意.

.•.所求直线/的方程为尤=0或3x-4y+20=0.

要点七与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题包括：

(1)求圆O上一点到圆外一点尸的最大距离、最小距离：dmm=\OP\+r,dmin=\OP\

(2)求圆上的点到某条直线(相离)的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m,

则dmax=m~\~r9dmin=YYl-F；

(3)已知点的运动轨迹方程是(X—a)2+U—份2=户，求①$②£：；③f+y2等式

子的最值，一般是运用几何法求解.

K例71已知圆C：(x+2)2+/=l,P(x,>)为圆C上任一点,

(1)求E的最大、最小值;

(2)求x-2y的最