机械制图 第4版 课件 单元3 点、直线、平面的投影

工程制图与识图单元3点、直线、平面的投影单元3点、直线、平面的投影3.1点的投影3.2直线的投影3.3平面的投影3.1.4各种位置点的投影3.1点的投影3.1.1点的三面投影3.1.2点的三面投影规律3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系3.1.5两点的相对位置采用正投影法，要构成“人—物体—投影面”的关系，且点在三投影面体系中的位置不能改变。3.1.1点的三面投影点的三面投影的形成

在V面上得到的投影叫正面投影，用a’表示

在H面上得到的投影叫水平投影，用a表示

在W面上得到的投影叫侧面投影，用a”表示投影面的展开3.1.1点的三面投影3.1.2点的三面投影规律（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX

轴，即：aa’⊥OX；（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即：a’a”⊥OZ；（3）点的水平投影到OX

轴的距离等于点的侧面投影到OZ

轴的距离，即：aaX=a”aZ；【案例1】已知A点的正面投影a’和水平投影a，求点A的侧面投影a”。解法一:解法二:通过作45°转折线使：a

az=aax用圆规量取或画圆弧转角使：a

az=aax3.1.2点的三面投影规律3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系投影与坐标的关系:

点的投影与投影轴的距离，反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离。a’aZ=aaY=aXO=xAaaX=a”aZ=aYO=

yAa’aX=a”aY=aZO=

zA描述A点在三投影面体系中的位置A点到W面的距离：A点到V面的距离：A点到H面的距离：Aa”=Aa’=Aa=A（XA，YA，ZA）【案例2】己知点A到V面、H面、W面的距离分别为10、20、14，求作点A的三面投影及斜等测。XAYAZA作图步骤:1.找出三个坐标值;3.推平行线画出投影线;4.画点，并标出相应的字母。1.作点A的三面投影2.在投影图的三个投影轴上截出坐标值;3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系作图步骤:1.画出三根轴测轴及各投影面;2.在三根轴测轴上截出坐标值，得ax、ay、az;3.过ax、ay、az画出相应轴测轴的平行线，得a、a‘、a“;4.过a、a’、a”画轴测轴的平行线，得点A。2.作点A的斜等测【案例2】己知点A到V面、H面、W面的距离分别为10、20、14，求作点A的三面投影及斜等测。XAYAZA3.1.3点的三面投影与直角坐标的关系3.1.4各种位置点的投影1.空间的点三个坐标值都不为零。三个投影都不在投影轴上。有一个坐标值为零。2.投影面上的点有二个投影落在二根投影轴上。3.1.4各种位置点的投影有二个坐标值为零。3.投影轴上的点有二个投影落在同一投影轴上。3.1.4各种位置点的投影三个坐标值都为零。4.原点上的点三个投影都在原点上。3.1.4各种位置点的投影投影面上的点投影轴上的点V面上的点BH面上的点CW面上的点D—OX轴上的点E特点：一个投影与点本身重合，另两个投影在投影轴上。特点：两个投影与点本身重合，另一个投影在原点。3.1.4各种位置点的投影3.1.5两点的相对位置

空间两点的相对位置由两点的坐标值大小来确定。

比较两点的各坐标值大小，就可判定两点的相对位置。1.两点的相对位置X坐标值确定两点的左右位置：大者为左，小者为右；Y坐标值确定两点的前后位置:大者为前，小者为后；

Z坐标值确定两点的上下位置：大者为上，小者为下；结论:B点在A点的左、前、下方。ZA>ZB：A上，B下YA<YB：B前，A后XA<XB：B左，A右3.1.5两点的相对位置【案例3】已知点A的三面投影，点B在点A的右方15、后方20、上方25，求点B的三面投影。作图步骤：1、分析点B。2、求点B的三面投影。X坐标差Y坐标差Z坐标差3.1.5两点的相对位置当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，则称这两点是该投影面的重影点。ZA-ZB（）B点在A点的正下方，或说A点在B点的正上方。

2.重影点（）3.1.5两点的相对位置结论：点的一个投影不能确定其空间位置结论：点的两面投影就可确定其空间位置

在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映二对方向：XB-XAYB-YAZA-ZB

V面投影反映左右（X坐标）、上下（Z坐标）；

H面投影反映左右（X坐标）、前后（Y坐标）；

W面投影反映上下（Z坐标）、前后（Y坐标）。3.1.5两点的相对位置【案例4】已知点的两面投影，求第三投影，并判断其空间位置及两点之间的相对位置。空间V面上Y轴上A点在B点的、、方

B点在C点的、、方

A点在B点在

C点在

右

前上左后上3.1.5两点的相对位置3.2直线的投影3.2.1直线的三面投影3.2.2直线上的点3.2.3各种位置直线的投影特性3.2.1直线的三面投影

求直线AB的三面投影图时，可分别作出两端点A、B的三面投影，然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图。3.2.2直线上的点①直线上的点的投影，必在直线的同面投影。②

若点在直线上，则点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比，反之也然。AKKBa’k’k’b’=KBkbAKak=AKKBa”k”k”b”=AKKBa’k’k’b’akkba”k”k”b”===同理可得：结论——定比性【案例1】如图所示，试在直线AB上取一点C，使AC:CB=2:3，求点C的两面投影。作图步骤:①过a作任意直线

ak；②

将ak五等分，得1、2、3、4、5等分点；③连接b和5，自2作2c∥b5，则c即为所求；④由c求出c’。3.2.2直线上的点【案例2】已知M点在AB直线上,求M点的另两面投影；并判断N点是否在直线AB上。作图步骤：１、求M点：2、判断N点在不在直线上，只要看N点的第三投影在不在直线的第三投影上就行了。

已知M点在直线上，所以M点的各投影应落在直线的各个同名投影上。作直线AB的第三面投影3.2.2直线上的点3.2.3各种位置直线的投影特性直线按与投影面的相对位置不同分为三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线不平行于任一投影面的直线。与一个投影面平行，与另二个投影面倾斜的直线。与一个投影面垂直，与另二个投影面平行的直线。特殊位置直线特殊位置直线

直线与H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示投影特性:

三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。一般位置直线的三面投影3.2.3各种位置直线的投影特性投影面平行线正平线水平线侧平线——与V面平行的直线——与H面平行的直线——与W面平行的直线投影特性:（1）在平行的投影面上的投影，反映真长，且反映该直线与其他两个投影面的真实倾角。（2）在另外两个投影面上的投影，必分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。3.2.3各种位置直线的投影特性正平线投影特性:1.a’b’反映真实长度和α、γ角。2.ab//OX，a”b”//OZ，且长度缩短。3.2.3各种位置直线的投影特性水平线投影特性:1.ab反映真实长度和β、γ角。2.a’b’//OX，a”b”//OY，且长度缩短。3.2.3各种位置直线的投影特性侧平线投影特性:1.a”b”反映真实长度和α、β角。2.a’b’//OZ，ab//OY，且长度缩短。3.2.3各种位置直线的投影特性投影面垂直线正垂线铅垂线侧垂线——与V面垂直的直线——与H面垂直的直线——与W面垂直的直线投影特性:（1）在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。（2）在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴（与直线相平行的投影轴），且反映真长。3.2.3各种位置直线的投影特性正垂线投影特性:1.a’b’积聚成一点。2.ab//OY，a”b”//OY，且反映真长。3.2.3各种位置直线的投影特性铅垂线投影特性:1.ab积聚成一点。2.a’b’//OZ，a”b”//OZ，且反映真长。3.2.3各种位置直线的投影特性侧垂线投影特性:1.a”b”积聚成一点。2.a’b’//OX，ab//OX，且反映真长。3.2.3各种位置直线的投影特性侧垂线铅垂线正垂线侧平线水平线正平线3.2.3各种位置直线的投影特性侧垂线铅垂线正垂线侧平线水平线正平线3.2.3各种位置直线的投影特性侧垂线铅垂线正垂线侧平线水平线正平线当直线的二个投影与投影轴平行时：若分别平行于二根轴，则为投影面的平行线；若同时平行于一根轴，则为投影面的垂直线。3.2.3各种位置直线的投影特性

（1）作点A的侧面投影

（2）作直线AB的三面投影

（3）作直线AC的三面投影作图步骤：【案例3】过点A作下列直线的三面投影。（1）直线AB平行于V面，长度为20mm，α＝30°，点B在点A的右上方。（2）正垂线AC长度为12毫米，点C在点A的前方。3.2.3各种位置直线的投影特性3.3平面的投影3.3.1平面的表示法3.3.2各种位置平面的投影特性3.3.3平面上的直线和点3.3.1平面的表示法几何元素表示法不在同一直线上的三点一直线和线外一点两相交直线两平行直线平面图形3.3.2各种位置平面的投影特性一般位置平面投影面平行面投影面垂直面不平行于任一投影面的平面。与一个投影面平行，与另二个投影面垂直的平面。与一个投影面垂直，与另二个投影面倾斜的平面。特殊位置直线特殊位置平面

平面与H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示平面按与投影面的相对位置不同分为三类：一般位置平面投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形。3.3.2各种位置平面的投影特性投影面平行面投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映真形。正平面与V面平行，与H、W面垂直水平面与H面平行，与V、W面垂直侧平面与W面平行，与V、H面垂直2.在其他两个投影面上的投影，积聚成直线，平行于相应的投影轴。3.3.2各种位置平面的投影特性正平面投影特性：1.V面投影反映真形。2.另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴。3.3.2各种位置平面的投影特性水平面投影特性：1.H面投影反映真形。2.另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OY轴。3.3.2各种位置平面的投影特性侧平面投影特性：1.W面投影反映真形。2.另两面投影积聚成直线，分别平行于OZ、OY轴。3.3.2各种位置平面的投影特性投影面垂直面投影特性：1.在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，且反映与其他两个投影面的倾角。正垂面与V面垂直，与H、W面倾斜铅垂面与H面垂直，与V、W面倾斜侧垂面与W面垂直，与V、H面倾斜2.在其他两个投影面上的投影，为面积缩小的类似形。3.3.2各种位置平面的投影特性正垂面投影特性：1.V面投影积聚为一直线，并反映α和γ角。2.另两面投影为面积缩小的类似形。3.3.2各种位置平面的投影特性铅垂面投影特性：1.Ｈ面投影积聚为一直线，且反映β和γ角。2.另两面投影为面积缩小的类似形。3.3.2各种位置平面的投影特性侧垂面投影特性：1.Ｗ面投影积聚为一直线，且反映β和α角。2.另两面投影为面积缩小的类似形。3.3.2各种位置平面的投影特性3.3.3平面上的直线和点直线在平面上的几何条件：①如果一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该平面内。②

如果一直线通过平面上的已知点且平行于平面内的另一直线，则此直线必在该平面内。相交两直线AB、AC决定一平面P，在AB、AC上分别取点M、N，则过M、N两点的直线一定在平面P上。过点M作直线MR平行直线AC,则MR一定在平面P上。1.平面上的直线【案例1】已知直线MN在△ABC所决定的平面内，如图所示，求作其水平投影。作图步骤:①延长m’n’，分别与a’b’、b’c’交于1’和2’；②