线性代数及应用（第2版）课件 1-6 线性方程组的解_第1页
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文档简介

第1章矩阵及应用1.6线性方程组的解线性方程组的解例如齐次线性方程组总是有解的，因为至少有零解．高斯消元法解线性方程组线性方程组的解线性方程组的矩阵形式问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解，如何求出全部解？齐次线性方程组一定有解，这个解称为齐次线性方程组的零解.如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解.当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解.非齐次线性方程组可能有无穷多解，唯一解，无解.线性方程组的解求解线性方程组解对应方程组为回顾线性方程组的解解例1解方程组对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得：原方程组等价于最后一个方程为矛盾方程，所以原方程组无解.线性方程组的解01OPTION02OPTION03OPTION对于

n元非齐次线性方程组，下列命题成立：该线性方程组有解的充要条件是首元不出现在的最后一列；该线性方程组有唯一解的充分必要条件是首元不出现在的最后一列，且首元的个数等于未知量的个数；该线性方程组有无穷多解的充分必要条件是首元不出现在的最后一列，且首元的个数小于未知量的个数.线性方程组的解定义123定理矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．证明思路（1）证明

A

经过一次初等行变换变为

B，则

R(B)≤R(A)；（2）B

也可经由一次初等行变换变为

A，则

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变；（4）设

A

经过初等列变换变为

B，则

AT

经过初等行变换

变为

BT

，从而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．线性方程组的解推论下列命题成立12345——西尔维斯特不等式线性方程组的解线性方程组的解(1)有解的充要条件是

R(A)=R(A,b)；n

元线性方程组

Ax

=b(3)有无穷多解的充要条件是

R(A)=R(A,b)<n．(2)有唯一解的充要条件是

R(A)=R(A,b)=n；定理1n

元齐次线性方程组

Ax

=0

有非零解的充要R(A,0)=R(A)将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断方程组是否有解；若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解．定理2条件是

R(A)<n．线性方程组的解04OPTION以首元为系数的未知量作为固定未知量，留在等号的左边，其余的未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未知量为任意常数，从而求得线性方程组的解.写出线性方程组的增广矩阵

；01OPTION02OPTION对

实施初等行变换，化为行最简形矩阵

；03OPTION写出以

为增广矩阵的线性方程组；解

n元线性方程组的具体步骤为：线性方程组的解注线性方程组无解的充要条件是R(A)<R(A,b)．令xr+1,…,xn

作自由变量，则若R(A)=R(A,

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