不等式、圆锥曲线全章教案 人教版

第六章不等式

不等式的性质（）

教学目的：

.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；

.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小.

教学重点：比较两实数大小.

教学难点：差值比较法：作差一变形一判断差值的符号

教学过程：

一、引入：

世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。过去我们已经接触过许多不等

式的问题，本章我们将较系统地研究有关不等式的性质、证明、解法和应用.

二、讲解新课：

.判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数、，在〉，，〈三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数

大小的充要条件是：

a>b<^>a-b>0

a=boa-b=O

a<b<^>a—b<0

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了.

.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式.

说明：（）不等号的种类：>、<、>（市）、<（左）、*.

（）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）

。不等式研究的范围是实数集.

.同向不等式与异向不等式

同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：>>>,是同向不等式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：>,<,是异向不等式.

三、讲解范例：

例比较（十）（一）与（+）（-）的大小.

例已知X,比较（+）与++的大小.

引伸：在例中，如果没有■这个条件，那么两式的大小关系如何？

结论：例，例是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差一一变

形一一判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差

本身是多少，在此无关紧要

例已知>>,>,试比较小”与2的大小。

a+ma

例4设a,。>0,〃wN*,且x,比较（a+加（/+力"）与2（。川+加田）的大小.

例5已知〉，且w,比较二与的大小。

y

例6比较与的大小.

例已知、均为正数，设知=,+_1,%+/一.，试比较和的大小。

xyx+y

四、课堂练习：

.在以下各题的横线处适当的不等号：

()(V3+V2)6+而；

()(V3—5/2)(V6—)；

V5-2V6-V5'

()当>>时，,r

22

・选择题

若V,一VV,则有()

>>>>>>>>

.比较大小：

()(+5)(+7)与(+6)；

23

,如果>,比较(«一)与(J7+)的大小.

.已知工，比较(+V^+)(—V2+)与(++)•(—F)的大小.

五、作业：习题.

补充：

.已知2x+4y=l,比较，+9与A的大小

.比较。与。的大小(<0<兀)

.设a>0且。/1,r>0,比较：log“t与log。彳!■的大小

.设。>0月比较log“("+1)与log//+1)的大小

不等式的性质()

教学目的：

.理解不等式的性质定理一及其证明；

.理解证明不等式的逻辑推理方法.

.通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周

密的习惯.

教学重点：掌握不等式性质定理、、、及推论，注意每个定理的条件.

教学难点：理解定理、定理的证明.这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实

数运算的符号法则.

教学过程：

一、复习引入：

.判断两个实数大小的充要条件是：

同向不等式与异向不等式

.()如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么？

()如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么？

二、讲解新课：

不等式的性质：

定理：如果〉，那么<,如果<,那么>.(对称性)

即：>=><;<=>

证明：•••>.••>

由正数的相反数是负数，得()<

即<.*.<(定理的后半部分略).

点评：定理即a>bb<a；

定理:如果〉,且〉，那么>.(传递性)

即〉,>=»

证明：•••>,>>

根据两个正数的和仍是正数，得

0()>即>

点评：()根据定理，定理还可以表示为：<,<=><

()不等式的传递性可以推广到个的情形.

定理:如果〉，那么〉.

即>=>

证明：•；>,

••.()()>即〉

点评：()定理的逆命题也成立；

0利用定理可以得出：如果〉，那么〉，也就是说，不等式中任何一项改

变符号后，可以把它从一边移到另一边.

推论:如果〉，且〉，那么>.(相加法则)

即>，>=>>.

证法一：

a>b=>a+c>b+c

c>d=>b+c>b+d

证法二:

a>b=>a-b>0

=>a-b+c—d>0=>>

c>d=>c-d>0

点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或

者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

例已知〉，<,求证：>.（相减法则）

证明：•••>,<

->

...（1）一（一）

=（一）+（一）>（两个正数的和仍为正数）

故一>一.

定理：如果〉，且〉，那么〉；

如果〉，且<,那么<.

证明：•••=（）

,:>...>

当〉时，（）〉即〉.

当〈时，0〈即<.

推论如果>>,且>>,那么>.（相乘法则）

证明：a>b,c>0:.ac>bc①

又c>d,b>0,be>bd②

由①、②可得ac>bd.

说明：（）所有的字母都表示正数，如果仅有a>Z?,c>。，就推不出ac>加/的结论.

（）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这

就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式

与原不等式同向.

例已知>>，求证：

ab

ab

例已知>><<,求证:

cd

四、作业：习题

不等式的性质（）

教学目的：

1.熟练掌握定理，，，的应用；

2.掌握并会证明定理推论；

3.掌握反证法证明定理.

教学重点：定理推论，定理的证明.

教学难点：定理的应用.

教学过程：

一、复习引入：

.同向不等式与异向不等式.

.不等式的性质：定理，，，及定理、推论.

二、讲解新课：

定理推论若a>Z?>0,贝必”>b"(neN且〃>1)

说明：()推论是推论的特殊情形；

()应强调学生注意G且"〉1的条件.

如果>>,那么>(e,且>)。

定理若贝！］标>杨("cN且〃>1)

点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反".我们用反证法

来证明定理，因为反面有两种情形，即板(物和标=扬，所以不能仅仅否定了

布〈赈，就"归谬”了事，而必须进行"穷举

证明：假定储不大于赤，这有两种情况：布〈扬，或者狼=物.

由推论和定理，当标时，有。<6；当后=好时，显然有a=b

这些都同已知条件a>人>0矛盾所以标>物.

点评：反证法证题思路是：反设结论-找出矛盾1肯定结论.

三、讲解范例：

例已知>>,<,求证：->-

ah

例已知，，，是正数，且>求证：‘一>」•

ab'x+ay+b

例已知函数0,4()4,4()4,求0的取值范围。

分析：利用/⑴与/(2)设法表示、，然后再代入/(3)的表达式中，从而用了⑴与

/(2)来表示/(3),最后运用已知条件确定/(3)的取值范围。

四、小结

不等式的基本性质

()a>bcb<a；a〈b=b>a(定理，对称性)

()a>b,b>c=>a>c(定理，传递性)

()a>h^>a+c>h+c(定理，加法单调性)

()a>b,c>d=a+c>b+d(定理推论，同向不等式相加)

()a>b,c<d=>a-c>h-d(异向不等式相减)

()a.>b,c>0=>ac>be

()a>b,c<0=>ac<bc(定理，乘法单调性)

()a>b>O,c>d>0=>ac>bd(定理推论，同向不等式相乘)

()a>b>O,O<c<d^>—>—(异向不等式相除)

cd

*11

()a>/?,a》>0=—<一(倒数关系)

ab

()=>)〃(〃£Z,月刀>1)(定理推论，平方法则)

()a>b>Q^>y[ci>e>1)(开方法贝I)

五、作业：

一选择题：

1.如果>>>>,则下列不等式中不正确的是[]

ab

•>・—>—.>・>

dc

.如果、为非实数，则不等式成立的充要条件是[]

ab

.>且<.<且>.><或<.<

.当>>时，下列不等式恒成立的是]

.>.()1I>.II>II.II>I

.已知、为实数，则">"是"中至少有一个大于"的[]

.充分不必要条件.必要不充分条件

.充要条件.不充分也不必要条件

.>的充要条件是[]

.>>或>>>.»>.>>或>>>或>>>;.»

二填空题：

.若<<<，则,，—>一,V的大小关系为

xy

.设角a、B满足-则邓的取值范围为。

.若实数〉，则.(填上不等号)

.已知>>,且，则-的值的符号为。

三解答题

h

.如果〉求证：一

不等式的性质()

教学目的：熟练掌握不等式的基本性质；

教学重点难点：不等式的基本性质的应用.

教学过程：

一、复习引入：

不等式的基本性质.

二、例题：

例.已知。>6>0,c<d<Q,e<0,求证：—-—>—-—

。一ch-d

例.若(2力£R,求不等式同时成立的条件

ah

例.设a+h+c=O,ahc<0求证,+'+'>0

ahc

例.2>0,|。|>|加比较,与；的大小

ab

例.若<<«,分别求，/的范围.

b

例.^a>b>0,c<d<0求证：1°细t%>2曳吧"

a-cb-d

例.设函数()的图象为一条开口向上的抛物线，已知、均为正数，>>且，求证()<()().

三、作业同步练习

算术平均数与几何平均数O

教学目的：

.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.

.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号’2”取等号的条件是：当且仅当

这两个数相等.

.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问

题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.

教学重点：均值定理证明

教学难点：等号成立条件

教学过程：

一、复习引入：不等式的基本性质.

二、讲解新课：

.重要不等式：

如果a,。eR,那么/+"222,以当且仅当/=。时取"="号)

.定理：如果是正数，那么等之痛(当且仅当。=b时取"="号).

说明：i)我们称包心为。力的算术平均数，称点为aS的几何平均数，因而，

2

此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

ii)a?+/22ab和j2点成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而

2

后者要求都是正数.

iii)"当且仅当”的含义是充要条件.

B

aCb

D'

.均值定理的几何意义是"半径不小于半弦

以长为的线段为直径作圆，在直径上取点，使.过点作垂直于直径的弦，，那么

CD2=CACB,即。。=旅

这个圆的半径为空显然，它不小于，即巴吆2疝，其中当且仅当点与圆心

22

重合；即时，等号成立.

三、讲解范例：

例已知都是正数，求证：

()如果积是定值，那么当时，和有最小值2户；

()如果和是定值，那么当时，积有最大值,52.

4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件:

i)函数式中各项必须都是正数；

ii)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

iii)等号成立条件必须存在.

例已知：>,求证：-+->2.当且当时等号成立.

ab

反思：由本例可以得出什么结论？

例已知都是正数，求证

当且当时等号成立.

(介绍个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”的概

念及它们的关系)

四、课堂练习：

.已知、、都是正数，求证(+)(+)(+)N8

.已知、都是正数，求证：(+)(+)(+)>8.

I.,a+b、ci~+h~

.求证：(-----)<--------.

22

五、作业：习题、、；

补充

()“+32旅”是“木，£十”的()

.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.即不充分也不必要条件

()设>>,且+=,则此四个数；，，十,中最大的是()

+C.-

2

()设，w,且声，+=,则必有()

2222

vv+b'<a+b<a+b<<

—2T2'-I-

()已知，七+且+=,则下列各式恒成立的是（）

.±>1.—I—>C.Vab>_L_<1

ab2ab~~'a2+b2~4

（）若>>,则下面不等式正确的是（)

laba-\-br-ra+blab

------<-------<y/ab-----<-----<y[ab

a+b22a+b

labr-ra+br-rlaba-\-b

.------<yjab<-------Zab<------<-------

a+b2a+h2

（）若，£且#,在下列式子中，恒成立的个数为（）

①+>②5+5>+③+之（——）@-->

b+a

C

（）设，，是区间（，）内的三个互不相等的实数且=生心_lo&a+log.Z?

22

110&管，则，，的大小关系是（）

>><<<<<<

算术平均数与几何平均数O

教学目的：

.进一步掌握均值不等式定理；

•会应用此定理求某些函数的最值；

.能够解决一些简单的实际问题.

教学重点：均值不等式定理的应用

教学难点：解题中的转化技巧

教学过程：

一、复习引入：

.重要不等式：

2

（）如果a力wR,那么/+b>为/当且仅当=b时取'="号）

（）如果都是正数，那么-l-<4ab<—<

-H---2

ab

当且当时等号成立.

.上课时中"例"的条件、结论及注意事项.

二、讲解新课：

定理:如果a,反CGR+,那么323a比（当且仅当时取

推论：如果a,"ceH',那么“+；4(当且仅当时取"")

三、例题

例已知都是正数，求证：(ab+cd)(ac+bd)N4abed

例求下列函数的最小值，并求相应的值.

(l)y=x+^—(x>0);

x+\

(2)y="+5)(—2)(%>_]).

x+1

例某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为，如果池底每的造价为

元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

四、课堂练习：

•已知九当取什么值时，+斗的值最小?最小值是多少？

X

.一段长为上的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少

时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

四、作业：习题、；

补充：

()求函数=+巳(>)的最小值.

x

()求函数=+4(>)的最小值.

X

()求函数=一(<<|)的最大值.

()求函数=(一)(<<)的最大值.

()设>，>,且+[=，求Vi仔的最大值.

算术平均数与几何平均数()

教学目的：

.进一步掌握均值不等式定理；

•会应用此定理求某些函数的最值；

.能够解决一些简单的实际问题.

教学重点：均值不等式定理的应用

教学难点：解题中的转化技巧

教学过程：

一、复习引入：

.重要不等式：

()如果a力eR,那么/+反22a优当且仅当=b时取"="号)

O如果都是正数，那么

鼻皿陪尸.

--1--

ab

当且当时等号成立.

()如果〉，那么2+色22.当且当时等号成立.

ab

()如果〃也C£/T,那么"+"+。323。/7c(当且仅当时取“")

()如果a,仇ceR+,那么"+,匕痂(当且仅当时取"”)

.利用"均值不等式"求最值.

二、例题

例()已知，求L+L的最小值；

龙y

()已知＞＞，且，求的最大值；

()已知＜＜，求()的最大值.

例求下列函数的最大值：

⑴y=4x-2+1(x＜；);

小、x+2/〜、

(2)y=------U＞-2).

x+x+\

例()已知＞＞，求a+的最小值.

(a-b)h

()已知0＜x＜g,求/(1一3幻的最大值.

9

例求函数y=sinx+---(0＜x＜%)的最小值.

sinx

例从一块半径为的半圆铁板上剪一块矩形，当矩形的长和宽各取多少时矩形的

面积最大，并求这个最大面积.

三、作业

.填空

()如果＞＞，则的大小顺序是.

16

()函数fix')=4x2+的最小值是

(J+1/

()当时，函数/(x)=f(4-2/)(0＜%＜痣)取得最大值

()若〉，/(x)=18-6x一一的最大值是

x

O若，则当时取得最小值

()设。20出20,/+匕=1,则〃仄^的最大值是

2

/+5

()/(x)的最小值是

yjx2+4

。若()(),则的取值范围是

。若〉,则的最小值为

.已知。>。>0,求/+」—的最小值.

b(a-b)

.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽米的无

盖长方体的沉淀箱，污水从孔流入，经沉淀后从孔流出，设

箱体的长度为米，高度为米，已知流出的水中该杂质的质量

份数与、的乘积成反比.现有制箱材料平方米，问、各为多少

米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(、孔面积

忽略不计).

.如图，在△中，NC=9。，=,C=,一条直线分△。的面积为相等的两部分,

且夹在与之间的线段最短，求此线段长.

不等式的证明()

教学目的：

不等式的常用证明方法之一一比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较

法证明不等式。

教学重点：比较法的应用

教学难点：常见解题技巧

教学过程：

一、复习引入：

.判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数、，在〉，，〈三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数

大小的充要条件是：

a>boa-b>0

a=boa—b=O

a<ha-h<0

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了.

.若>>,则a>Z?=q>l;a<b=g<1.

bb

二、讲解新课：

.比较法之一(作差法)步骤：作差一一变形一一判断与的关系一一结论

.比较法之二(作商法)步骤：作商一一变形一一判断与的关系一一结论

三、讲解范例：

例求证：>

例已知，都是正数，并且w,求证：>

a+b

例G,求证：aabh>(ab)^>ahba

例甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另

一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果

中、问：甲、乙两人谁先到达指定地点？

思考：若，结果会怎样？

例证明函数/。)=九+,在xw[l,+oo)上是增函数.

X

四、作业：习题，，.

补充：.已知非零且不相等的实数、，求证()()>().

.已知2,^^1正Ja+1-y[ci<Vfl-Ja—1

.已知>>>，求证：a2ub2bc2c>ah+(bc+aca+b.

不等式的证明()

教学目的：

.掌握综合法证明不等式；

.熟练掌握已学的重要不等式；

.增强学生的逻辑推理能力.

教学重点：综合法

教学难点：不等式性质的综合运用

教学过程：

一、复习引入：

重要不等式：

()如果a,beR,那么22a优当且仅当"。时取="号)

()如果都是正数，那么

当且当时等号成立.

()如果>，那么幺+022.当且当时等号成立.

ab

()如果a,"cwK,^a3+hi+c3>3abc(当且仅当时取“”)

()如果a,"cw/?+,那么"+；+%9(当且仅当时取"")

二、讲解新课：

.综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)

和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.

.用综合法证明不等式的逻辑关系是：A=>B]nB2n=>B“=>B

.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学

定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

三、讲解范例：

例已知，，是不全相等的正数，求证：

a(b2+c2)+b(c2+«2)+c(«2+b2)>6abe

例已知，G,证明：(+)>a+b+2.

2

例若，，e+,且++=,

七F1,1,1、9

求1止：---7+-----1-----N-.

a+hb+cc+a2

例设,，G，

求证：7a2+b2++c~+Jc'~+a-Ny[^2.(a+b+c)

例已知，，都是正数，且，，成等比数列，

求证：a1+b2+c2>(a-b+c)2

提示：先用比较法，左一右(一)再用综合法证明.

四、作业：习题

补充：.已知《8),且，求证：()()()>；

.已知均为正数，求证+4)(。2+年)2J他2；

.已知()()>(),求证：-~-+-^—^>2;

a-bx-y

1i25

.已知x,ye7?+,且x+y=1,求证：(xH•一)(y+—)>―;

xy4

.若，求证：Ja+g+J匕+；<2；

111Q

.若，，e,求证：(a+b+c)(——-+----+------)>-

a+bb+cc+a2

不等式的证明（）

教学目的：.掌握分析法证明不等式；.理解分析法实质一一执果索因；

.提高证明不等式证法灵活性.

教学重点：分析法

教学难点：分析法实质的理解

教学过程：

一、复习引入：

.重要不等式.

.比较法之一（作差法）步骤：作差一一变形一一判断与的关系一一结论

比较法之二（作商法）步骤：作商一一变形一一判断与的关系一一结论

.综合法证不等式：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证

明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.

用综合法证明不等式的逻辑关系是：An4n为n=B“=B

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性

质和公式，推出结论的一种证明方法。

二、讲解新课：

.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等

式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

.用分析法证明不等式的逻辑关系是：ud<=A

.分析法的思维特点是：执果索因。

.分析法的书写格式：

要证明命题为真，

只需要证明命题4为真，从而有……

这只需要证明命题名为真，从而又有......

这只需要证明命题为真.

而已知为真，故命题必为真。

三、例题：

例求证+石

例2证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.

例3已知是正数，求证"C+C。2abc.

a+b+c

例若是不全等的正数，求证馆号+怆容+lg宇

4>IgQ+lgb+lgC.

例5若e,求证：2("；"-43("+：+°一~V"c).

四、作业：

・选择题

()若为整数，且：>北,那么下列四个结论中正确的个数是()o①L>加)②

b

③<<<④

()设和是方程的两个不相等的实数根，则()

>且>><且

()若C,且左则下列四个数中最小的一个是()

'2(x+'x+y.而'^2(x2+y2)

()若>>，且6+6^7^工^成立,则的最小值是()

2

0已知邑则下列各式中成立的是()

夕夕<()夕。•>()

e-eP-e>

()设w,且则有()

>(V2)<>(V2)<(V2)

.已知求证+/)(。2+孑)

.若>>，求证^c1-ab«7c2-ab

习题，.

不等式的证明()

教学目的：能较熟练地利用换元法解决某些不等式证明问题。

教学重点：三角换元和代数换元

教学难点：三角换元

教学过程：

一、引入：换元法是一种基本的数学方法，也是证明某些不等式的较常用的方法,

用换元法证明不等式主要有三角换元和代数换元.

二、讲解范例：

例求证：-L4xyjl-x2<—

22

分析：原命题等价于|尤71二7|«g，用综合法证明.

分析：用换元法，V-l<x<l...令。，。乩用

例已知〉，〉,,求证：—I—>3+2^2

xy

分析："乘"，-+-(2x+y)=用综合法证明.

I》y)

分析：用换元法.由〉，〉,，可设x=gsin2a,y=cos2a

例若V+Vwi,求证：*+2孙一产区血

提示：=rsina,y=rcosa,(0<r<1),

例若>，>,求证：y[xy>l+7u-l)(y-l)

提示：设了=$82(1,y=sec2P，(0<a,P<-^)

提示：不妨设a=sec2a/?=tan20,(0<0<^)

小结：若44,则可令o(o<o<^IT)^o(-7^r<e<-i)ro

若丁+丁2=1,则可令。，e(O<0<27r)o

若一一y2=i,则可令ae(o<0<2n)o

jr

若2,则可令e(o<e<-)o

若G,则可令9(-^<0<^)o

例证明：若>,则,〃+:—血之&+：-2

提不：设冗=。H—■,y=Ja~+—

三、作业

1.a2+h2=1,求证：asinx+hcosx<\

2.若<,<,贝J(1—区］

3.若4,求证：(l+x)"+(l—x)"<2"

4.求证：0<yj\+x-->fx<1

5.已知4,<,求证：\a^\-h2-b^\-a2|<1

不等式的证明()

教学目的：

要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式；

教学重点：放缩法

教学难点：反证法

授课类型：新授课

教学过程：

一、引入：

前面我们学习了几种不等式证明的基本方法.有些不等式的证明直接利用不等式的

性质、重要不等式或不等式中的解析式进行变换难以得证，需要把不等式中某一

边适当“放大”或“缩小”，或者与某个中间量比较，根据不等式的传递性达到证明的

目的，这种方法称为“放缩法”.

反证法是重要数学方法之一，也是不等式证明的一种方法.

下面我们共同探讨如何用放缩法和反证法证明不等式.

三、讲解范例：

例若,,,e,求证：

a+b+db+c+ac+d+bd+a+c

例当>时，求证：log,,(n-1)log,,(w+1)<1

例求证：-^-+—y+—7-4F-T-<2

I22232n2

提示：用放缩法，［<—!—=」一-1

nn（n-V）n-1n

例设<，求证：（-0（-）,（-c）,不可能同时大于L

4

提示：用反证法

例已知>,>,>,求证：，，>

提示：用反证法.

四、课后作业：

证明下列不等式：

•设>,>,a=x+）',8=一^+二一，求证：<

1+x+yl+x1+y

.•<

•若>>,则」y+」一+」一NO

a-bb-cc-a

1111,

・一+----1---------1----1--->1（zneRn+>2）

nn+1〃+2n~

1,111।

2n+1〃+22n

.设<，求证：（一）,（—）,（—）,不可能同时大于

.若，>，且>,则3和上匕中至少有一个小于

xy

不等式的证明（）

教学目的：

要求学生逐步掌握利用函数与方程等数学思想法证明不等式。

教学重点：利用函数与方程思想法证明不等式。

教学难点：巧妙地构造函数或构造方程.

教学过程：

一、引入：函数与方程等数学思想是重要的数学思想，函数、方程、不等式有密

切的联系；通过构造函数或构造方程，利用函数的单调性等性质或简单的方程论

可以有效地解决一些不等式的证明问题.

二、讲解范例：

例已知>，求证：X+—+一^―>-

元,12

X4---

X

提示：构造函数/（〃）=〃+',H=X+—>2,判断（）在［2,+8）上单调性，问题便

UX

可得证.

例

若〃1，°2，。3,…，％6凡优力2，打…，2£尺则

(+%仇+a$3+•,•+。〃”〃)2<(〃]+a：+a；+,,,+ci^)(力：++bg+,*,h^)

当且仅当"="="=•••=2时取等号

4外b3bn

提示：对于任意实数，总有()>(,...,)，即>

当，…，时，将上面个不等式相加，有

(a；+a；++ci~)x?—2(6Z|/?|+a2bt++aQjx+(b；+/?；++b；)NO.

由于a；+G++a；>,且上面不等式是绝对不等式，因而判别式△2,不等式得证.

说明：该不等式为著名的柯西不等式.

例已知实数,，，满足和，求证：，，中至少有一个不小于。

提示：由题设显然,，中必有一个正数，不妨设>,

b+c=­a

则％2,于是可以构造以为两实数根的一元二次方程.

DC——

同•、-r1sec20-tan0小,兀,,、

例求证：一4一---------<3(eBE+-,ZeZ)

3sec20+tan02

2

+s—、几sec0-tan0

提不：设^=—7--------,则(一)。()0(-)

sec_0+tan0

分当时，和当H时，关于e的方程有实数根的条件命题即可获证.

三、课后作业：

证明下列不等式：

■IJ-x+k

3x~+x+1

.已知关于的不等式(-)-(-)-<(e),对任意实数恒成立，求证：-

.若>,>,，则"：卜+；卜司

.若0<“<』伙22,ZeN*),且<—,则匕<—^

kk+l

%2+1010

.求证:——>——

3

不等式的证明()

教学内容：不等式证明综合练习

教学目的：

系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透"化归""类比""换元"等数学思想方法。

重点难点：培养发散思维，一题多解的能力.

教学过程：

一、简述不等式证明的几种常用方法

比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造

二、例题：

例一、已知<<,<<>试比较和|k»g〃(l+x)|的大小。

22

解一:|loga(l-x)|-Iloga(l+X)|=[logfl(1-JC)+loga(l-x)][log/1-x)-loga(l+x)]

2

=log„(l-x)loga1^

1+x

1_Y]—X

,*><-<,o<-——<1/.log„(l-x2)log-——>0

1+Xl+x

/.|loga(l-x)|>|log„(l+x)|

g

解二：一刈=(丁匚=山

:l0og„d(l+xY)Tog”*l—x)=log*xl-xlog7\^-x4

2

=l-logI+/l-x)

2

,•><<>>,-log1+J.(1—x)>0

2

，l-logl+x(l-x)>l，Ilog“(1一x)|>Ilog”(l+x)I

解三：<,<<,

...log„(l-x)>0,log„(l+x)<0

左一右1。或1—x)+l。窟1+X)=1O£1-Y)

2

<<，且<<Alogo(l-x)>0

/.|loga(1-X)|>Iloga(1+X)I

变题：若将的取值范围改为>且w,其余条件不变。

例二、已知，，且所有字母均为正，求证：>

证一：(分析法)•••，，，，，都是正数

，要证：2

只需证：()2()

即：()()2

展开得：>

即：>由基本不等式，显然成立

证二：（综合法）7«2+b2yjc2+d2=y/a2c2+b2c2+a2d2+b2d2

>\crc2+2abcd+h2d2='（ac+bd）?=ac+hd

证三：（综合法）根据柯西不等式，

(ac+Ad)?«(/+b1)(c2+d?),

a,b,3dGR

/.ac+hd<y/a2+h2-\lc2+d2

艮［J孙>QC+bd.

证四：（三角代换法）

•/，，不妨设a,a

B，P

Aapap（a-p）<

例三、已知，均为正数，求证：g*

证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

1+X；+1+x2~+2J1+XJ+x2~〉］X,"+X2"+2X］》2

-4_+4~

22

即：依+X1)(1+%2)>1+X］X2

2222

再平方：(1+^)(1+%2)>1+2X,X2+xtx2

化简整理得：才+才1%々（显然成立）

二原式成立

证二：（等价转化）由于均为正数，原不等式等价于：

2

1+X；+1+》2,+2jl+Xj-Jl+X2>[+Xj+%2-+2内％2

-4_+4~

J（1+X：）（1+.~）-1+玉（1+XJ）（1+X；）2（11+玉马）~.

根据柯西不等式，原不等式成立.

证三：（反证法）假设J1+X「丁1+武<+

化简可得：玉2+/2<2取2（不可能）

.,•原式成立

三、作业：.已知,，>，且，求证：<（>,e*）

.已知实数满足〃求证：<.

.已知f（x）=A/1+X2,a2H从求证：|/（a）-/（/?）\<\a-b\.

.设,求证：不可能同时大于

.已知〃eN+，求证8+逐++1)<"("；2),

I17

.已矢U>>.求证：ab+一>一.

ab4

不等式的解法举例O

教学目的：掌握不等式组、整式不等式和分式不等式的基本解法.

教学重点：用数轴标根法解整式不等式

教学难点：分式不等式向整式不等式的转化

教学过程：

一、复习引入：

(-)复习已学过的不等式：

.一元一次不等式〉

h

0若〉时，则其解集为{>2}.

a

h

()若〈时，则其解集为{<2}.

a

()若时〉，其解集为S其解集为0.

.一元二次不等式ax?+bx+c>伊)

0若判别式1-4ac>,设方程ax2+bx+c的二根为(<),则

①>时，其解集为{<，或>};②〈时，其解集为{<<}.

()若4则有：

①>时，其解集为存2金}；②〈时，其解集为0.

a

()若/<,则有:

①〉时，其解集为；②(时，其解集为0.

类似地，可以讨论a/+bx+c<(力的解集.

.不等式〈与〉(>)的解集

<(>)的解集为:{<<},几何表示为：

00

>(>)的解集为:{>或<},几何表示为:

-s05

(二)不等式的有关概念

同解不等式:两个不等式如果解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式.

.同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等

式，那么这种变形就叫做同解变形.

.绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式.

二、讲解新课：

.转化为一元不等式组问题.

例解不等式》?-5X+5<.

.一元整式不等式的解法.(根轴法)

步骤：正化，求根，标轴，穿线，定解.

例解不等式x3+3x2>2x+6

例解不等式：㈠㈠㈠㈠〉

.分式不等式的解法.

先移项通分标准化，再转化成整式不等式：

用>O=/(x)g(x)〉O;阴川0疗”》。

g(x)g(x)[g(x)。。

例解不等式《-3"+2<0

x2-2x-3

例解不等式生4x-l

x