第十八章平行四边形单元测试卷2023-2024学年人教版八年级数学下册

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元测试卷一、单选题1．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（）A． B． C． D．2．化简二次根式除了利用二次根式的运算法则外，还可以借助图形解译和验证．如化简，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（）A．分类讨论思想 B．从一般到特殊思想C．数形结合思想 D．类比思想3．下列命题是假命题的是（）A．有一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．有一组邻边相等的四边形是菱形4．如图，在ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长是（）A．18 B．19 C．20 D．215．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE+∠ACD=（）A．60° B．75° C．90° D．105°7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（）A． B． C． D．8．已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（）A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④9．如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（）A．， B．，C．， D．，10．如图，在边长为1的正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H.在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论是（）

A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③④二、填空题11．如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小军在池塘的一侧选取一点P，测得PA，PB的中点分别是D、E，且DE的长为16米，则A，B间的距离为米．12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为．13．如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．（1）EF的长为．（2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为．14．如图，菱形的对角线长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为.三、解答题15．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．（1）求证：∠ANC=∠ABE．（2）应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ=．16．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形，为什么？17．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．18．在△ABC中，为AC边上一点，过点作交ED延长线于点.（1）求证：.（2）连结BE，若是AC中点，，求BE的长.四、综合题19．如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．20．如图，已知平行四边形中，.（1）求平行四边形的面积；（2）求证：.21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.（1）若AB＝4，BC＝6，求EC的长；（2）若∠EAD＝50°，求∠BAE和∠D的度数.22．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．23．如图，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？答：（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．方法1：方法2：（3）仔细观察图b，写出下列三个代数式之间的等量关系．代数式：(m+n)2，(m－n)2，4mn答：（4）根据（3）题中所写的等量关系，解决如下问题．若a+b=8，ab=5，则(a－b)2=．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C【解析】【解答】由图可知：

面积为8的正方形的边长等于面积为2的正方形边长的2倍，

即

显然，在题目描述过程中，构造了相应边长的正方形，将数字变化为图像来研究，这样的方法体现了数形结合思想。

故答案为：C。【分析】理解并熟练运用数形结合思想3．【答案】D【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；

C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确，此命题是真命题，故此选项不符合题意；

D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，是假命题，故此选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据正方形、平行四边形、矩形及菱形的判定方法逐项判断可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，，，∴的周长是：．故答案为：D．

【分析】利用平行四边形的性质可得，，，再利用三角形的周长公式计算即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该不符合题意；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该不符合题意；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该不符合题意；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该不符合题意；所以其中正确的有（1）和（4）．故答案为：C．

【分析】矩形的判定定理：①三个角为90°的四边形四矩形；②有一个角为90°的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；且矩形既是轴对称图形也是中心对称图形.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，∴BC=2CE=，∵AB=2，AC=1，∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2，∴∠ACB=90°，∵tan∠A==，∴∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∴∠DCE=60°，∵DE=CE，∴∠CDE=60°，∴∠CDE+∠ACD=90°，故选C．【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE=，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论．7．【答案】A【解析】【解答】解：矩形ABCD中

且互相平分

(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和)故答案为：A

【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质，得到等边，再根据等边对等角、外角定理可求。8．【答案】C【解析】【解答】解：A、①④可以说明，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确．B、③可以说明四边形是平行四边形，再由①，一组临边相等的平行四边形是菱形，故B正确．C、①②，只能说明两组邻边分别相等，可能是菱形，但菱形不一定是正方形，故C错误．D、③可以说明四边形是平行四边形，再由②可得：对角线相等的平行四边形为矩形，故D正确．故答案为：C.【分析】根据正方形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；根据矩形的判定定理可判断D.9．【答案】A【解析】【解答】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，、、、分别是、、、的中位线，，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形是菱形；当时，，即，菱形是正方形；故答案为：.【分析】根据三角形中位线定理得出，，，，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，当时，，根据四边相等的四边形是菱形得出：平行四边形是菱形，当时，，即，根据有一个角的直角的菱形是正方形得出结论.10．【答案】C【解析】【解答】解：①四边形是正方形，，，，在和中，，，①正确；②在和中，，，，②正确；③由①得，，由②得，，，，，③正确；④，，平分，，在和中，，，，又，，，，，，，，④正确；∴正确的有①②③④，故答案为：C．【分析】①根据正方形的性质和全等三角形的判定可证；②根据全等三角形的判定SAS可证出；③根据全等三角形性质和角的关系证出；④先根据全等三角形的判定证明，进而得到，，再证得，得到DF=DG即可．11．【答案】12．【答案】【解析】【解答】解：连接AC，BD由题意得，四边形ABCD是菱形，∴AO=1，AC⊥BD.由勾股定理得，，.【分析】连接AC，BD。由题意易证得四边形ABCD是菱形，由菱形的性质用勾股定理可求得OB的长，则BD=2OB即可求解。13．【答案】（1）3（2）2或或【解析】【解答】解：（1）∵在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6∴BC=AD=6，CD=AB=9，AB//CD∵∠DAB的平分线AE∴∠DAE=∠EAB∵AB//CD∴∠DEA=∠DAB∴∠DEA=∠DAE∴DE=AD=6同理：CF=BC=6∴EF=CF+DE-CD=6+6-9=3故答案为3．（2）分两种情况：①当E、F在CD上时a.如图3：当E在F的左侧时同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴AB=3DE∴；b.如图4：当E在F的右侧时同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴AD=2DF，AB=3DF∴；②如图5所示：点E、F在线段CD延长线上时同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE∴AB=CD∴＝2．综上所述，的值为2或或．【分析】（1）先求出∠DAE=∠EAB，再利用平行线的性质求解即可；

（2）分类讨论，结合图形求解即可。14．【答案】【解析】【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接ON，由题意可知：

，，，

∴，

∵N为MD中点，O为AC中点，

∴ON∥BM，

∵BM⊥DM，

∴∠OND=90°，

取OD的中点E，连接CE、NE，

则，

，，

∵CN≤CE+NE，

∴当N、C、E三点共线时，CN长度最长为：，

故答案为：.

【分析】本题考查菱形的性质、中位线定理，首先根据中位线定理以及菱形的性质可以得出∠DNO=90°，再取OD的中点E，分别连接CE、NE可得出OE、CE、NE的值，当N、C、E三点共线时，CN长度最大为.15．【答案】（1）证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，∴∠NAC=∠BAE，在△ANC和△ABE中∴△ANC≌△ABE（SAS），∴∠ANC=∠ABE．（2）3【解析】（2）解：应用：∵四边形NABM是正方形，∴∠NAB=90°，∴∠ANC+∠AON=90°，∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，∴∠ABP+∠BOP=90°，∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，∵Q为BC中点，BC=6，∴PQ=BC=3，故答案为：3．【分析】（1）根据正方形的四条边相等和四个角是直角得出△ANC和△ABE全等的条件，根据SAS判定△ANC≌△ABE，根据全等三角形的对应边相等即可求解.

（2）根据第一问的结论和正方形的四个角是直角得出∠BPC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.16．【答案】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AE⊥CD于点E

∴∠AFB=∠AED=90°

∵两张等宽的纸条交叉重叠在一起

∴AE=AF

AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD是平行时四边形，

∴∠ABF=∠ADE

在△ABF和△ADE中

∠ABF=∠ADE∠AFB=∠AEDAF=AE

∴△ABF≌△ADE（AAS）

∴AB=AD

∴【解析】【分析】根据已知条件：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，可证得四边形ABCD是平行四边形及AF=AE，再利用AAS证明△ABF≌△ADE，可证AB=AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论。17．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF．

在△BOE和△DOF中，

∵，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形．【解析】【分析】根据ASA先证明△BOE≌△DOF，从而得出OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论。18．【答案】（1）证明：(等腰三角形三线合一)又(对顶角相等)；（2）解：过点E作EM⊥BC于M，.又，点是AC中点

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=8，又，EM⊥CD

∴BM=8+4=12，【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，由二直线平行，内错角相等，可得∠DBF=∠DCE，结合对顶角相等，用角边角可证△BDF≌△CDE，根据全等三角形的对应边相等可求解；

（2）过点E作EM⊥BC于M，由（1）中的全等三角形可得CE=BF=5，在Rt△ACD中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=5，用勾股定理可求得DC的值，根据等腰三角形的三线合一可得DM=DC=4，BD=CD=8，于是在Rt△DEM中，用勾股定理可求得EM，再在Rt△BEM中，利用勾股定理算出BE即可.19．【答案】（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′∴EG=ME=ME′=MM′同理可证：FH=NF=N′F=NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′∴ME=NF=EG=FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD∴四边形EFNM是矩形（2）解：∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵，∠2=∠DAB∴∠3+∠2=90°在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴AD==5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，∴∠2=∠5由（1）知GE=NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG=CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE=DE，ME=EG∴△DME≌△DGE∴DG=DM∴DM+CN=DG+AG=AD=5∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF=MN=4【解析】【分析】（1）过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H，先利用角平分线的性质可证得EG=ME=ME′=MM′，FH=NF=N′F=NN′，就可得出ME=NF=EG=FH，再由MM′∥NN′，MM′⊥CD，可证得结论。

（2）根据已知条件先证明△DEA是直角三角形，利用勾股定理求出AD的长，证明△GEA≌△CNF，可得出AG=CN，再证明△DME≌△DGE，得出DG=DM，就可证得DM+CN=DG+AG=AD=5，由MN=CD﹣DM﹣CN，求出MN的长，然后利用矩形的性质，可求得结果。20．【答案】（1）解：作，交的延长线于，设，在中：……①在中：……②联立①②解得：，平行四边形的面积为（2）证明：如图：作，垂足为，≌，，在中：，，又，【解析】【分析】（1）平行四边形面积等于底乘以高，把AB看做底，若能求出其边上的高则面积可求。过C作AB边上的高，分别在Rt△CEB和Rt△CEA中，利用勾股定理列关系式，两式联立则高可求。代入面积公式即可。

（2）若求BD⊥BC，本题给出了有关线段的长度，运用勾股定理验证即可。BC、DC边已知，只要求出BD的长度，作DF垂直AB，构造直角三角形，利用勾股定理。易求△ADF和△BCE全等，则DF和BF的长度可求。从而BD长度也可求。最后用勾股定理验证即可。21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE＝4，∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2；（2）解：∵∠EAD＝50°，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝50°，∴∠BAD＝100°，∵AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠AEB＝∠BAE，进而得出AB＝BE，由此即可求得EC的长；（2）利用角平分线定义和平行线的性质即可解答.22．