2024年四川省泸州高中附中中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年四川省泸州高中附中中考数学三模试卷一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）实数﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B． C．3 D．﹣2．（3分）“学习强国”学习平台是立足全体党员、面向全社会的优质平台．一平台爱好者的学习积分为76600分，76600用科学记数法表示为（）A．7.66×103 B．7.6×104 C．7.66×104 D．0.766×1053．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝2a6 B．3﹣2÷30×32＝54 C． D．a2⋅（﹣a）3⋅a4＝﹣a95．（3分）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，则∠ADB的度数是（）A．45° B．30° C．36° D．50°6．（3分）去年体育测试中，从某校初三（1）班中抽取男、女生各15名进行三项体育成绩复查测试，在这个问题中，下列叙述正确的是（）A．该校所有初三学生是总体 B．所抽取的30名学生是样本 C．所抽取的15名学生是样本 D．所抽取的30名学生的体育成绩是样本7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（）A．2.4＜x≤4 B．2.4≤x≤4 C．2.4＜x＜4 D．2.4≤x＜48．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣39．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．11．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t＜3 B．3＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t＜412．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二.填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）因式分解：﹣ax2﹣ay2+2axy＝．14．（3分）函数中自变量x的取值范围是．15．（3分）若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0，及9b2+2024b+5＝0，则的值是．16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是．三.解答题（共3个小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：3tan30°+（）﹣1﹣（2020﹣π）0+|﹣2|．18．（6分）先化简，再求值：，其中x2﹣3x+2＝0．19．（6分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF．四、（共2个小题，每小题7分，共14分）20．（7分）张老师将“校园诗词大赛”所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如下：（1）本次比赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为，频数分布直方图中“94.5～99.5”这一组的人数为；（2）赛前规定，成绩由高到低，前55%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为86分，试判断他能否获奖，并说明理由；（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为全区“诗词大会”重点培训对象，试求恰好选中1男1女的概率．21．（7分）某乡镇果蔬生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，利民超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元，求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的取值范围．五、（共2个小题，每小题8分，共16分）22．（8分）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人机以北偏西90°﹣β方向飞行米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：，，，，，tanβ＝2，23．（8分）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E．（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．六、（共2个小题，每小题12分，共24分）24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE延长ED，BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长和⊙O的半径．25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB，PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是抛物线上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q，点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求出的最大值．

2024年四川省泸州高中附中中考数学三模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）实数﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B． C．3 D．﹣【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．【解答】解：实数﹣3的绝对值是：3．故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．2．（3分）“学习强国”学习平台是立足全体党员、面向全社会的优质平台．一平台爱好者的学习积分为76600分，76600用科学记数法表示为（）A．7.66×103 B．7.6×104 C．7.66×104 D．0.766×105【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：76600＝7.66×104，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有3个正方形，第三横行中间有一个正方形．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝2a6 B．3﹣2÷30×32＝54 C． D．a2⋅（﹣a）3⋅a4＝﹣a9【分析】运用单项式加法、乘法、除法法则进行逐一计算、辨别．，【解答】解：∵a3+a3＝2a3，∴选项A不符合题意；∵3﹣2÷30×32＝1；∴选项B不符合题意；∵（﹣ab2）•（﹣2a2b3）＝a3b5，∴选项C不符合题意；∵a2⋅（﹣a）3⋅a4＝﹣a9，∴选项D符合题意，故选：D．【点评】此题考查了单项式加法、乘法、除法的运算能力，关键是能运用以上运算法则进行正确地计算，特别是符号、指数的准确确定．5．（3分）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，则∠ADB的度数是（）A．45° B．30° C．36° D．50°【分析】设∠ADB＝x°，则∠BDC＝2x°，再由AD∥BC得出∠DBC＝∠ADB＝x°，根据三角形内角和定理得出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵∠ADB：∠BDC＝1：2，∴设∠ADB＝x°，则∠BDC＝2x°．∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝x°，∵∠C＝30°，∠C+∠DBC+∠BDC＝180°，即30+x+2x＝180，解得x＝50，∴∠DBC＝∠ADB＝50°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形的内角和定理，注意运算的准确性．6．（3分）去年体育测试中，从某校初三（1）班中抽取男、女生各15名进行三项体育成绩复查测试，在这个问题中，下列叙述正确的是（）A．该校所有初三学生是总体 B．所抽取的30名学生是样本 C．所抽取的15名学生是样本 D．所抽取的30名学生的体育成绩是样本【分析】根据总体、样本、样本容量的定义即可判断．【解答】解：该校初三的三项体育成绩是总体，故A错误；抽取的30名学生的三项体育成绩是样本，故B、C是错误，D正确．故选：D．【点评】本题考查了总体、样本、样本容量的定义，总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；个体是把组成总体的每一个考察对象叫做个体；样本是从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（）A．2.4＜x≤4 B．2.4≤x≤4 C．2.4＜x＜4 D．2.4≤x＜4【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM＝EF＝AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．【解答】解：连接AP．∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝36+64＝100，BC2＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝×6×8＝×10×AP，AP＝4.8，即AP的范围是AP≥4.8，∴2AM≥4.8，∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．当P和C重合时，AM＝4，∵P和B、C不重合，∴x＜4，综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．故选：D．【点评】本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，关键是求出AP的范围和得出AM＝AP．8．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】直接利用根与系数的关系得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，进而求出答案．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，则x1+x2﹣3x1x2＝5，﹣b﹣3×（﹣3）＝5，解得：b＝4．故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，正确得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3是解题关键．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D（9，2）．故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．11．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t＜3 B．3＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t＜4【分析】根据二次函数的对称轴求得b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根可以看作y＝x2﹣4x+3与函数y＝t有交点，再由﹣1＜x＜4时的临界函数值及对称轴处的函数值得出t的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看作y＝x2﹣4x+3与函数y＝t有交点，∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝8；当x＝4时，y＝3；当x＝2时，y＝﹣1；∴t的取值范围是﹣1≤t＜8．故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．12．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确，∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，∴++＝0，∴＝1﹣，故③正确，∵﹣1+m＝﹣，∴﹣a+am＝﹣b，∴am＝a﹣b，∵am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，故④正确，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．二.填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）因式分解：﹣ax2﹣ay2+2axy＝﹣a（x﹣y）2．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：﹣ax2﹣ay2+2axy＝﹣a（x2+y2﹣2xy）＝﹣a（x﹣y）2，故答案为：﹣a（x﹣y）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．14．（3分）函数中自变量x的取值范围是x＜4且x≠﹣3．【分析】根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由题意得，4﹣x＞0，x+3≠0，解得，x＜4且x≠﹣3．故答案为：x＜4且x≠﹣3．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．15．（3分）若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0，及9b2+2024b+5＝0，则的值是．【分析】方程9b2+2024b+5＝0两边同时除以b2，等式仍成立，a和可看作方程5x2+2024x+9＝0的两根，由此可解答．【解答】解：∵9b2+2024b+5＝0，∴5×（）2+2024×+9＝0．∵ab≠1，即a≠，∴a和可看作方程5x2+2024x+9＝0的两根，∴a•＝，即＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系和解的定义，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是4﹣4．【分析】AP+PQ中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段DC上，想到将军饮马，Q在以BC为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题．【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°，∴∠BQC＝90°，∴点Q在以BC为直径的圆上运动，∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP，∴△ADP≌△EDP（SAS），∴AP＝EP，∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON＝﹣2＝﹣4＝4﹣4，∴AP+PQ的最小值为4﹣4，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查了轴对称——最短路线问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．三.解答题（共3个小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：3tan30°+（）﹣1﹣（2020﹣π）0+|﹣2|．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝3×+2﹣1+2＝+2﹣1+2＝3+1．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）先化简，再求值：，其中x2﹣3x+2＝0．【分析】原式先计算括号内的，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝，∵x2﹣3x+2＝0，∴解得x＝1或2，∵x+1≠0，∴x≠1，∴当x＝2时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（6分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF．【分析】先利用等角的补角相等得到∠DCE＝∠CDF，则可判断CE∥DE，所以∠EDC＝∠FCD，然后根据“AAS”可判断△ADE≌△BCF．【解答】证明：∵∠ACE＝∠BDF，∴∠DCE＝∠CDF，∴CE∥DE，∴∠EDC＝∠FCD，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．四、（共2个小题，每小题7分，共14分）20．（7分）张老师将“校园诗词大赛”所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如下：（1）本次比赛选手共有40人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为45%，频数分布直方图中“94.5～99.5”这一组的人数为4；（2）赛前规定，成绩由高到低，前55%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为86分，试判断他能否获奖，并说明理由；（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为全区“诗词大会”重点培训对象，试求恰好选中1男1女的概率．【分析】（1）用“69.5～99.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“79.5～89.5”这一组人数占总参赛人数的百分比即可；（2）求出“84.5～89.5”分数段的人数，进而求出84.5分以上的人数占总参赛人数的百分比为百分比为55%即可判断他不能获奖；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）8÷20%＝40（人），所以本次比赛参赛选手共有40人，频数分布直方图中“94.5～99.5”这一组的人数为40×10%＝4（人），“79.5～89.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为×100%＝45%，故答案为40，45%，4；（2）他能获奖．理由如下：∵“84.5～89.5”这一组人数为40×45%﹣10＝8（人），84.5分以上的人数占总参赛人数的百分比为（4+10+8）÷40＝55%，即84.5分以上的选手可获奖；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（7分）某乡镇果蔬生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，利民超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元，求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的取值范围．【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，得：，解得：．答：m的值为10，n的值为14．（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，依题意，得：，解得：58≤x≤60．∵x为正整数，∴x＝58，59，60，∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，解得：a≤1.8．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，找出利润最大的购物方案．五、（共2个小题，每小题8分，共16分）22．（8分）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人机以北偏西90°﹣β方向飞行米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：，，，，，tanβ＝2，【分析】（1）根据题意可得∠ACM＝β，AC＝100米，根据锐角三角函数即可得无人机的飞行高度AM；（2）根据题意可得∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，作BG⊥MC于点G交AC于点H，由△HBA∽△HGC，可得AB：GC＝BH：HG，即30：GC＝60：140，解得GC的长，根据锐角三角函数即可求出标志物DE的高度．【解答】解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β，∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC，∴AB：GC＝BH：HG，∴30：GC＝60：140，解得GC＝70，∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握方向角和仰角俯角定义．23．（8分）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E．（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．【分析】（1）首先确定点C坐标，再根据中点的定义求出点E坐标即可；（2）先作出辅助线判断出Rt△MEG∽Rt△BGF，再确定出点E，F坐标进而EG＝8﹣，GF＝4﹣，求出BD，最后用勾股定理建立方程求出k即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形OACB是矩形，OB＝4，OA＝3，∴C（4，3），∵CF＝FB，∴F（4，），∴k＝6，点E在y＝上，当y＝3时，3＝，解得x＝2，∴E（2，3）．（2）如图，设将△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上的G点处，∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF，∴∠MGE+∠FGB＝90°，过点E作EM⊥OB，∴∠MGE+∠MEG＝90°，∴∠MEG＝∠FGB，∴△MEG∽△BGF，∴＝，∵点E（，3），F（4，），∴EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，∴EG＝EC＝4﹣，GF＝CF＝3﹣，∵EM＝3，∴∴GB＝，在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2，即：（3﹣）2＝（）2+（）2，∴k＝，∴反比例函数表达式为y＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，点（m，n）在函数y＝的图象上，则mn＝k的利用是解本题的关键．六、（共2个小题，每小题12分，共24分）24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE延长ED，BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长和⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA＝90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE＝90°，则CB⊥AB，从而