2024年安徽省省各地市中考数学一模压轴题

第=page22页，共=sectionpages7979页2024年安徽省省各地市中考数学一模压轴题精选温馨提示：本卷共45题，题目均选自2024年安徽省各地市一模试题。本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。本卷难度较大，适合基础较好的同学。第一部分代数部分1.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点(3,1)在该直线上，设m=3k-b，则m的取值范围是(

)A.0<m<1 B.-1<m<1 C.1<m<2 D.2.(2024·安徽省六安市)已知a，b，c是互不相等的三个实数，且a=2b-c，则下列结论正确的是(

)A.b2-ac>0 B.b2-ac=03.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知a，b，c为实数，且b-a=c2+2c+1，b+a=3c2-4c+11，则A.b≥a>c B.b≥c>a C.4.(2024·安徽省滁州市)如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是______．

5.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO=90°，BO=2，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且B'为OA6.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(2,2)在对角线OB上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知▱OABC的面积是5，则点B7.(2024·安徽省亳州市)如图，一次函数y=32x+3的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于点A．

(1)若点A坐标为(a,4)，则k=______；

(2)若

8.(2024·安徽省宿州市)如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，过点A作AD⊥x轴于点D.连接BD．

(1)△BOD的面积为______；

(2)9.(2024·安徽省合肥市蜀山区)在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)上任意两点．

(1)若对于x1=1，x210.(2024·安徽省芜湖市)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；

(3)当自变量x满足m≤x≤m+1(m≥

11.(2024·安徽省宿州市)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为顶点的抛物线与直线AB相交于A(-3,94)，B(1,14)两点．

(1)求该抛物线和直线AB的函数表达式；

(2)点M位于直线OA下方的抛物线上，MN⊥x轴，交直线AB于点N，求线段MN的最大值；

(3)若点P，Q分别是该抛物线和线段AB上的动点，设线段AB与y轴交于点C，以O12.(2024·安徽省六安市)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为原点)，A(4,0)两点，已知二次函数图象经过点(-2,6)．

(1)求二次函数的表达式；

(2)已知y轴上一点B(0,4)，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接PA，PB，AB.设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S．

①求AB直线表达式；

②当

13.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；

(3)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接

14.(2024·安徽省亳州市)已知抛物线y=-18x2+bx+c经过点(-5,-52)和(3,32)．

(1)试确定该抛物线的函数表达式；

(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．

①求证：△OBC是直角三角形；

②在

15.(2024·安徽省滁州市)如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M.DE⊥BC于E．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段DE长度的最大值；

(3)连接AC，是否存在点D

16.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与y轴相交于点C(0,5)．

(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；

(2)如图2，点A，B在x轴上(B在A的右侧)，且OA=t(0<t<3)，AB=1，过点A，B分别作x轴的垂线交抛物线于点D，E，连接CD，CE，DE，并延长AD交CE于点F．

①求DF的长(用含t的代数式表示)；

②若△CDF的面积记作S1，△EDF

17.(2024·安徽省合肥市经开区)如图(1)是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形(杯体厚度不计)，点P是抛物线的顶点，杯底AB=23cm，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm.以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系(1个单位长度表示1cm)．

(1)求杯体CPD所在抛物线的解析式；

(2)将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图(2)，过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b，求k的取值范围；

(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处(DQ//l)，如图(3

①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标：

第二部分几何部分18.(2024·安徽省滁州市)如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG=4，CF=3，则AEA.3 B.4 C.5 D.719.(2024·安徽省宿州市)如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点.若AB=4，BC=5，则BG的长为(

)A.4 B.32 C.220.(2024·安徽省六安市)如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则下列结论中不正确的是A.BF平分∠ABC B.∠CAF=∠BAC-∠DFA

21.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF/​/AC，PE+PF=m，下列结论错误的是(

)A.若BE=2，则m的最小值为4

B.若m的最小值为4，则BE=2

C.若BE=0.5，则m的最小值为5

D.若m的最小值为5，则BE=0.522.(2024·安徽省芜湖市)如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E，F分别在AD，CD上，且BC=2CF，连接BE，BF，∠EBF=12∠ABC，连接AC交BE于点M，交BF于点A.∠BEA+∠BFC=135° B.CA⊥BF23.(2024·安徽省宿州市)如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=30°，点P为AC边上一动点，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，连接DE，则以A.8 B.83 C.16-

24.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点A.36 B.325 25.(2024·安徽省亳州市)已知，如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC.点D，E分别是边BC，AC上的点(点D不与点B，C重合)，且∠ADE=∠ABC，AD与BG相交于点F.有下列结论：①△ABG∽△ACB；②若AB=12，AG=8，则BC=15；③若AB=12，AG=8，且BF=2CEA.①② B.①③ C.②③ D.①②③26.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD=AD，BE=5，AE=2，则DE=______．

27.(2024·安徽省六安市)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD.则：

(1)∠ABE______∠C(填“>”或“=”或“<”)；

(2)若BD：BC=2：5，AD=1228.(2024·安徽省合肥市经开区)在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处．

(1)当点F落在矩形对角线AC上时，则BE的长为______；

(2)当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，则BE的长为______．29.(2024·安徽省滁州市)在矩形ABCD中，AB=4，点E为边AD上一点，AE=3，F为BE的中点，

(1)EF=______；

(2)若CF⊥BE，CE、DF相交于点O，则OCCE=30.(2024·安徽省芜湖市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．

(1)当点D是AB的中点时，DQ的最小值为______；

(2)当CD⊥AB，且点Q在直线

31.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B'，C'处，且点C'在线段AD上(不与两端点重合)．

(1)若C'为线段AD的中点，则CN=______；

(2)折痕MN32.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO．

(1)求证：DI=DB；

(2)若BD=2，IO⊥BI，求AI33.(2024·安徽省宿州市)如图，⊙O中的两条弦AB⊥CD于E，点F在⊙O上，BD=BF.连接AF交CD于G，交BC于H．

(1)若AE=2，BE=4.BC=BA，求BH的长；

(2)分别连接DF

34.(2024·安徽省滁州市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．

(1)求证：DF为⊙O的切线；

(2)若AE=3，EF=1，求⊙O的半径及35.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、DE，恰好∠ADC=∠BDE，过点E作CD的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G．

(1)设∠ADC=α，用含α的代数式表示∠CEG为______；

(2)求证：△BDE∽

36.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F交⊙O于点H，DB交AC于点G．

(1)求证：AF=DF；

(2)若AF=5，tan∠37.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．

(1)求证：∠CEB=∠ABD+∠CDB；

(2)如图2，连接OE、AD，若OE/

38.(2024·安徽省芜湖市)四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC．

(1)如图1，若∠BAC=α，求∠ADC的度数；

(2)如图2.连接BD交AC于点E．

①求证：AE2=AE⋅AB-BE⋅DE；

39.(2024·安徽省滁州市)如图，在△ACB中，BA=BC，∠ABC=90°，点D为BC边的点，点F是AC边上的点，AF：FC=2：1，连接DF，且∠AFB=∠CFD．

(1)求证：BD=CD；

(2)求证：BF+DF=AD；

(3)连接CE，求

40.(2024·安徽省六安市)如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB=AC，AD=AE，∠EAC=∠DAB，点E恰好落在边BC上(与B、C不重合)，连接BD．

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB与DE相交于点F，求证：CE⋅BE=CA⋅BF；

(3)若∠41.(2024·安徽省亳州市)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，在BC延长线上取点F，使EF=ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，连接CM，EN，EG．

(1)求证：△CNF∽△CED；

(2)若正方形ABCD的边长为2．

①求CNDN的值；

42.(2024·安徽省合肥市经开区)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AC上一点，连接BD，点E是AB的中点，连接CE，交BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G．

(1)求证：△CFG∽△BFE；

(2)如图②，连接GE，解决以下问题：

①求∠

43.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．

(1)求证：DA=DB；

(2)如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF

44.(2024·安徽省宿州市)在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD．

(1)如图1，若AD=BC，求证：AB/​/CD；

(2)已知∠AOB=120°．

①如图2，若BC=CD，求证：OA=2OD；

②如图3，分别取AD，BC的中点M，N，连接MN，求MNAC

45.(2024·安徽省芜湖市)已知在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AD，CD上，且DE=DF，连接BE，BD．

(1)如图1，连接AF交BD于点G，若CF=2DF，求证：BG=3DG；

(2)如图2，连接EF，BF，若∠EBF=30°，求EF的长；

(3)如图3，连接BF，过点E作EM⊥BF，垂足为M，交BD于点N

参考答案1.【答案】B

【解析】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=-3k+1，

因为直线y=kx+b经过第一、二、三象限，

所以k>0，b>0，即-3k+1>0，

所以k的范围为0<k<13，

因为m=3k-b=3k-(-3k+1)=6k-1，

所以m的范围为-1<m<1．

故选：B．

先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=-3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k>0，b>0，则2.【答案】A

【解析】解：∵a=2b-c，

∴b=a+c2．

∴b2-ac=(a+c2)23.【答案】A

【解析】解：∵b-a=c2+2c+1=(c+1)2≥0，

∴b≥a，

∵(b-a)-(b+a)=c2+2c+1-(3c2-4c+11)，

∴2a=2c2-6c+10，4.【答案】4

【解析】解：由题意可得：设C(2,a)，则E(1,a+2)，

可得：2a=1×(a+2)，

解得：a=2，

故C(2,2)，

∵反比例函数y=kx的图象经过点C，

∴2=k2，

∴k=4．

故答案为：4．

根据正方形的性质以及结合已知表示出5.【答案】-4【解析】解：连接BB'，作A'E⊥x轴于点E，

由题意可得：OB=OB'，B'是OA的中点，

∠AOB=∠A'OB'，OA=OA'，

∴BB'=12OA=OB'，

∴△BOB'是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴OA=2OB=4，∠A'OE=60°，

∴OA'=4，

∴OE=12OA'=2，

∴A'6.【答案】(3,3)

【解析】解：过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则BN过点C，

∵点D(2,2)在反比例函数y=kx的图象上，

∴k=2×2=4，

∴S△CON=12|k|=2，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC=AB，BC/​/OA，

∴BM=ON，

在Rt△ONC与Rt△BMA中，

∵OC=BA，ON=BM，

∴Rt△ONC≌Rt△BMA(HL)，

∴S△CON=2=S△BAN，

由于OB是▱OABC的对角线，且D(2,2)，于是可设B(b,b)(b>0)，

∴正方形OMBN的面积为是b2=S△CON+S△BAM+S▱OABC，

即7.【答案】83

3【解析】解：(1)∵点A在一次函数y=32x+3的图象上，

∴4=32a+3，解得a=23，

∴A(23,4)，

∵A(23,4)在反比例函数图象上，

∴k=23×4=83．

故答案为：83；

(2)若k=12，则反比例函数解析式为y=12x，联立方程组y=12xy=32x+3，解得x=2y=6，或x=-4y=8.【答案】8

-9【解析】解：(1)∵经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，

∴点AB关于原点成中心对称图形，

∴OA=OB，

∴S△BOD=S△AOD，

∵k=16，

∴2S△BOD=16，

∴S△BOD=8，

故答案为：8．

(2)连接CO，

∵AC=BC，OA=OB，

∴OC⊥AB，

∵ACAB=58，

∴ACAO=54，

∴AOCO=9.【答案】3

h≤2【解析】解：(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，

得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称，

则h=(1+5)÷2=3；

故答案为：3；

(2)由抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)开口向下，

对于0<x1<1，4<x2<5，即x1<x2都有y1>y2，

得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y10.【答案】解：(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)，

1-b+c=09+3b+c=0，

解得：b=-2c=-3，

该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)x=0时y=-3，

∴C(0,-3)，

∵AB=4，

∴S△ABC=12×4×3=6；

(3)当12≤m<1时，

x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2-2(m+1)-3=m2-4，

x=1时，此函数的最小值为q=1【解析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式；

(2)求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；

(3)分两种情况当12≤m<1时，当m≥1时讨论即可．

本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k

(a,k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当11.【答案】解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，

将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：

94=-3k+b14=k+b，解得：k=-12b=34，

则一次函数的表达式为：y=-12x+34；

二次函数表达式为：y=ax2，

将点B的坐标代入上式得：14=a，

则二次函数表达式为：y=14x2；

(2)设点N(x,-12x+34)，则点M(x,14x2)，

则MN=(-12x+34)-(14x2)=-14(x+1)2+1≤1【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由MN=(-12x+34)-(14x12.【答案】解：(1)由题意，∵抛物线过点O，

∴c=0．

∴抛物线的表达式为：y=ax2+bx．

∵抛物线过A(4,0)，(-2,6)，

∴16a+4b=04a-2b=6．

∴a=12b=-2．

∴抛物线的表达式为：y=12x2-2x．

(2)①设直线AB的表达式为：y=kx+4，

将点A的坐标代入上式得：0=4k+4，

∴k=-1．

∴直线AB的表达式为：y=-x+4．

②过点P作PH/​/y轴交AB于点H，

∵点P的横坐标为t，

∴【解析】(1)依据题意，用待定系数法即可求解；

(2)①依据题意，设直线AB的表达式为：y=kx+4，将点A的坐标代入上式得：0=4k+4，求出k，即可判断得解；

②依据题意，可得S=S△PHB+13.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-x1)(x-x2)，

即y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；

(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，

即x=a-2和x=a+1不可能在抛物线对称轴两侧；

当a+1≤1时，即a≤0，

则x=a+1时，抛物线取得最小值，

即y=(a+1-1)2-4=5，

解得：a=3(舍去)或-3，

即a=-3；

当x=a-2≥1时，即a≥3，

则x=a-2时，抛物线取得最小值，

即y=(a-2-1)2【解析】【分析】

(1)用待定系数法即可求解；

(2)当a+1≤1时，即a≤0，则x=a+1时，抛物线取得最小值；当x=a-2≥1时，即a≥3，则14.【答案】(1)解：由题意得：32=-18×9+3b+c-52=-18×25-5b+c，

解得：b=14c=158，

则抛物线的表达式为：y=-18x2+14x+158；

(2)①证明：令y=-18x2+14x+158=0，则x=-3或5，

即点A、B的坐标分别为：(-3,0)、(5,0)，

则抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=-18x2+14x+158=2，

则点C(1,2)，

由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)①由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，即可求解；

②A，D，P为顶点的三角形与△15.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，

∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，

将C(0,3)代入，得：a×(0+1)×(0-3)=3，

解得a=-1，

∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)设D(m,-m2+2m+3)，且0<m<3，

在Rt△BOC中，BO=3，OC=3，BC=32+32=32，

设直线BC的解析式为y=kx+n，将B(3,0)，C(0,3)代入，

得3k+n=0n=3，

解得k=-1n=3，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

∴M(m,-m+3)，

∴DM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，

∵DE⊥BC，

∴∠DEM=∠BOC=90°，

∵DQ⊥x轴，

∴DQ//y轴，

∴∠DME=∠BCO，

∴△DME∽△BCO，

∴DEDM=BOBC，即DE-m2+3m=332，

∴DE=-22m2+322m=-22(m-32)2+928，

∴当m=32时，DE取得最大值，最大值是928；

(3)存在点D，使得△【解析】(1)根据题意可得y=a(x+1)(x-3)，将C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3)，解方程即可；

(2)设D(m,-m2+2m+3)，先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；

(3)△CDE中有一个角与16.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，

∴设抛物线的顶点式为y=(x-2)2+h，

将点C(0,5)代入得4+h=5，解得h=1，

∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5；

(2)①∵抛物线y=x2-4x+5，OA=t(0<t<3)，AB=1，

∴D(t,t2-4t+5)，OB=t+1，

∴E(t+1,t2-2t+2)，

设直线CE的解析式为y=kx+5，

∴(t+1)k+5=t2-2t+2，解得k=t-【解析】(1)由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，设抛物线的顶点式为y=(x-2)2+h，将点C(0,5)代入即可求解；

(2)①由抛物线y=x2-4x+5可得D(t,t2-4t+5)，E(t,t2-2t+2)，利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=(t-3)x+5，则F(t,17.【答案】解：(1)∵OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm．

∴P(0,6)，D(3,15)，

设抛物线的解析式为y=ax2+b，

∴9a+b=15b=6，

解得a=1b=6，

∴抛物线的解析式为y=x2+6．

(2)∵抛物线的解析式为y=x2+6，

∴平移后的解析式为y=(x-2)2+6=x2-4x+10．

∴抛物线的对称轴为直线x=2，E(0,10)，

∴E(0,10)的对称点为F(4,10)，

∵(3,15)，

∴平移后D(5,15)，

设直线DE的解析式为y=kx+10，

∴15=5k+10，

解得k=1；

∴y=x+10；

设直线DF的解析式为y=px+q，

∴5p+q=154p+q=10，

解得p=5q=-10；

∴y=5x-10，

根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，

∴1<k<5．

(3)①根据题意，建立直角坐标系如下，设DQ与y轴的交点为M，直线l与y轴的交点为S，

∵CD=6，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm．

∴DT=CT=12CD=3，OT=15，

∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，

∴∠ABS=60°，∠OSB=30°，

∵DQ//l，

∴∠TMD=∠OSB=30°，

∴TM=TDtan30∘=33，

∴OM=OT-TM=15-33，

∴M(0,15-33)．

②∵抛物线的解析式为y=x2+6，

设点N是抛物线上的一点，且N(n,n2+6)，0≤n≤3；

过点N作NG//y轴，交DM于点G，

∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，

∴∠【解析】(1)根据题意，得到P(0,6)，D(3,15)，设抛物线的解析式为y=ax2+b，代入计算即可；

(2)先确定平移后的解析式为y=(x-2)2+6=x2-4x+10，再计算直线DE的解析式和直线DF的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，确定范围即可．

(3)①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设DQ与y轴的交点为M，计算OM的长即可得到坐标．

②设点N是抛物线上的一点，且N(n,n2+6)，0≤n≤3；过点N作NG//y轴，交DM于点G，过点G作GE⊥y轴于点E，确定18.【答案】C

【解析】解：如图，连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

在△ABE和△CBE中，

AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，

∴△ABE≌△CBE(SAS)，

∴AE=CE，

∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD=90°，

∴四边形CFEG是矩形，

∴EF=GC=4，∠EFC=90°，

∴CE=19.【答案】C

【解析】解：连接BF，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，

∵BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，

∴BE是CF的中线，即BF=BC=5，

∴AF=BF2-AB2=52-42=3，DF=2，

CF=FD2+CD2=22+42=25，CG=5，

∵∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90°，

∴∠DCF=∠EBC，

∴tan∠20.【答案】C

【解析】解：∵点D是AB的中点，∠AFB=90°，

∴DF=12AB=AD=BD，

∴∠DBF=∠DFB，

∵点D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE/​/BC，DE=12BC，

∴∠CBF=∠DFB，

∴∠DBF=∠CBF，

∴BF平分∠ABC，故选项A不符合题意；

∵DF=DA，

∴∠DAF=∠DFA，

∴∠CAF=∠BAC-∠DAF=∠BAC-∠DFA，选项B不符合题意；

∵DE/​/BC，DE=12BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADES△ABC=(12)2=14，

∴S△ADES四边形DBCE=13，

∴S△ADE=13S四边形DBCE，选项C符合题意；

延长AF交BC于点G，

∵∠ABF=∠GBF，BF=BF，21.【答案】D

【解析】解：作点E关于AC的对称点E'，连接EE'，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

∴点E'在AD上，

∵点P在对角线AC上，

∴PE=PE'，

∴当点E，P，E'在一条直线上时，PE+PF=m取得最小值．

∵EF/​/AC，

∴∠BEF=∠BAC=45°，

∴△BEF为等腰直角三角形，

∴BE=BF．

∵若BE=2，AB=4，

∴BF=2，AE=AE'=2，

∴点E，P，E'在一条直线上，PE+PF=m取得最小值，这时，四边形ABFE'为矩形，

∴PE+PF=m=E'F=AB=4，

∴若BE=2，则m的最小值为4，

∴A的结论正确，不符合题意；

∵m的最小值为4，

∴此时点E，P，E'在一条直线上，且E'F=AB=4，

∴四边形ABFE'为矩形，

∴AE'=BF，

∴AE=BE=12AB=2．

∴B的结论正确，不符合题意；

∵BE=0.5，

∴BF=0.5，AE=AE'=3.5，

∴EF=122，EE'=722．

∵△AEE'，△BEF为等腰直角三角形，

∴∠AEE'=∠BEF=45°，

∴∠E'EF=90°．

∴点E，22.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，

∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠EBF+∠CBF=∠CBF+∠CFB=90°，

∵∠EBF=12∠ABC=45°，

∴∠ABE+∠CBF=45°，

∵∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，

∴∠BEA+∠BFC=135°，故A正确，不符合题意；

∵BC=2CF，AB=2AD=2BC，

∴BCCF=ABBC=2，

又∵∠ABC=∠BCF=90°，

∴△ABC∽△BCF，

∴∠BAC=∠CBF，

∵∠ABF+∠CBF=90°，

∴∠ABN+∠BAN=90°，

∴∠BNA=90°，即CA⊥BF，故B正确；

在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=5BC，

∵∠ANB=∠ABC=90°，∠BAC=∠NAB，

∴△ABC∽△ANB，

∴BNAB=BCAC=55，即BN=55AB，故C正确；

设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=455x，AC=223.【答案】D

【解析】解：过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15°，交DM于R．

设AP=x，则PC=8-x，

∵∠DAP=30°，

∴DP=12AP=12x，

∴AD=3DP=123x，

∴BD=8-123x，

∵AB=AC，AN⊥BC，

∴∠BAN=12∠BAC=15°，

∵AN⊥BC，DM⊥BC，

∴DM//AN，

∴∠BDM=∠BAN=15°，

∴∠BRM=30°，

∴设BM=m，则BR=2m，

∴DR=BR=2m，

∴RM=3BM=3m，

∵BM2+MD2=BD2，

∴m2+(3m+2m)2=(8-123x)2，

∴8m2+43m2=(8-123x)2，

∴2m2(4+23)=(8-123x)2，

∴2m2(3+2324.【答案】C

【解析】解：连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，

∴∠BEP=∠BFP=90°，

∴EG=GF=BG=12BP，

∴∠BEG=∠EBG，∠BFG=∠FBG，

∴∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG=2(∠EBG+∠FBG)=2∠B=2×45°=90°，

∴△EGF为等腰直角三角形，

∴EF=EG2+FG2=(12BP)2+(1225.【答案】D

【解析】解：∵BG平分∠ABC，

∴∠ABG=∠CBG=12∠ABC，

∵∠ABC=2∠C，

∴∠C=∠ABG=∠CBG，

又∵∠BAG=∠BAC，

∴△ABG∽△ACB；故①正确；

∴AGAB=ABAC=BGBC，

∴812=12AC，

∴AC=18，

∴CG=10，

∵∠C=∠ABG=∠CBG，

∴BG=CG=10，

∴812=10BC，

∴BC=15，故②正确；

∵∠ADE=∠ABC，∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，

∴∠BAD=∠CDE，

又∵∠ABG=∠C，

∴△ABF∽△DCE，

∴CEBF=CD26.【答案】32【解析】解：如图，过点D作DN⊥DE交BE于点N，

∵高AD，BE相交于点H，

∴∠BDH=∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠DAC+∠AHE=∠DBH+∠BHD=90°，

∵∠AHE=∠BHD，

∴∠DAC=∠DBH，

即∠NBD=∠EAD，

∵DN⊥DE，

∴∠NDE=90°=∠ADB，

∴∠BDN=∠ADE，

在△ADE和△BDN中，

∠NBD=∠EADBD=AD∠BDN=∠ADE，

∴△ADE≌△BDN(ASA)，

27.【答案】=

4

【解析】解：(1)∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDE，

∴∠AEB=∠ADC，

∴∠ABE=∠C．

故答案为：=；

(2)由(1)得∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠ADC，

∴△ABE∽△ACD，

∴AEAD=BECD，

∵BD：BC=2：5，

∴BDCD=23，

∵BE=BD，

∴BECD=23=28.【答案】3

23或【解析】解：(1)矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=10，

根据折叠的性质，得AB=AF=6，∠ABC=∠AFE=90°

∴CF=AC-AF=4，

设BE=EF=x，则CE=BC-BE=(8-x)，

∴(8-x)2=x2+42

解得x=3．

故答案为：3．

(2)当DF=CF时，

如图，过点F作FM⊥DC于点M，FG⊥AD于点G，

∴四边形DMFG是矩形，DM=MC=12CD=3，

根据折叠的性质，得AB=AF=CD，∠BAE=∠FAE，

∴FG=DM=MC=12AF=3，

∴∠GAF=30°，

∴∠BAE=∠FAE=∠GAF=30°，

∴BE=ABtan∠BAE=6×33=23；

当DF=DC时，

如图，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点29.【答案】52

32【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=90°，

∴BE=AB2+AE2=42+32=5，

∵F为BE的中点，

∴EF=BF=12BE=52，

故答案为：52；

(2)如图，过点F作FG/​/BC交CE于点G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴AD//BC//FG，

∴△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，

∵CF⊥BE，

∴∠CFB=90°，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∵∠CBF+∠EBA=∠ABC=90°，

∴∠BCF=∠EBA，

∴△BCF∽△EBA，

∴BCEB=BFEA，

即BC5=523，

解得：BC=256，

∴AD=BC=256，

∴DE=AD-AE=256-3=76，30.【答案】32

1305【解析】解：(1)当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C，交CD于点Q，则DQ为最小值，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=AC2+BC2=32+42=5，

又∵D是AB的中点，

∴CD=12AB=52，

又∵CQ=CP=1，

∴DQ=CD-CQ=52-1=32，

故答案为：32；

(2)如图：

∵CD⊥AB，

∴S△ACD=12AC⋅BC=12AB⋅CD，

∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，

∴AD=AC2-CD2=32-(125)2=95，

∴点C、D、Q31.【答案】(1)7316；

(2)6<MN<【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．

(1)设CN=x，则C'N=x，DN=CD-CN=AB-CN=8-x，运用勾股定理计算即可．

(2)根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，当C'与点A重合时，MN取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．

【解答】

解：(1)∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，沿着MN折叠矩形ABCD，C'为线段AD的中点，

∴AB=CD=8，C'D=12BC=3，∠D=90°,CN=C'N；

设CN=x，则C'N=x，DN=CD-CN=8-x，

∴C'N2=DN2+C'D2，

∴x2=(8-x)2+32，

解得：x=7316，

故答案为：7316．

(2)根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，

∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，MN⊥CD，

∴四边形BCNM是矩形，

∴MN=BC=6；

当C'与点A重合时，MN取得最大值，

∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，沿着MN折叠矩形ABCD，

∴AB=CD=8，AD=BC=6，∠D=90°，CN=C'N=AN；

设CN=x，则C'N=AN=x，DN=CD-CN=AB-CN=8-x，

∴AN2=D32.【答案】(1)证明：∵I是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.∠ABI=∠CBI，

∴∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI=∠IBD．

∴DI=DB；

(2)解：过O作OH⊥AD于点H，

∴AH=HD，

∵点O为AB的中点，

∴OH=12BD=1，

∵AB为直径，

∴∠D=90【解析】(1)根据I是△ABC的内心，以及圆周角定理可得∠BAD=∠CAD=∠CBD，∠ABI=∠CBI，从而得到∠BID=∠IBD，即可求证；

(2)过O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得33.【答案】(1)解：∵BD=BF，

∴∠DCB=∠A．

∵AB⊥CD，

∴∠AEC=90°，

∴∠A+∠AGD=90°．

∵∠CGF=∠AGD，

∴∠DCB+∠CGH=90°，

∴∠CHG=90°，

∴∠AHB=∠CEB=90°．

在△AHB和△CEB中，

∠AHB=∠CEB=90°∠B=∠BAB=CB，

∴△AHB≌△CEB(AAS)，

∴BH=BE=4；

(2)证明：连接CF，BF，如图，

∵BD=BF，

∴∠A=∠C，

∵∠B=【解析】(1)利用圆周角定理，垂直的定义，三角形的内角和定理∠AHB=∠CEB=90°，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；

(2)连接CF，BF，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到CECB=CH34.【答案】(1)证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠C=∠ODB，

∴OD/​/AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD是⊙O的半径，

∴DF为⊙O的切线；

(2)解：连接DE，AD，

∵四边形ABDE是圆内接四边形，

∴∠ABC+AED=180°，

∵∠DEF+∠AED=180°，

∴∠DEF=∠ABC，

∵∠ABC=∠C，

∴∠DEC=∠C，

∴DE=DC，

∴△DEC是等腰三角形，

又∵DF⊥EF，

∴DF是△DEC的中线，

∴EF=FC=1，AF=4，

∴AC=AF+CF=5，

∴AB=5，

∴⊙O的半径为2.5；【解析】(1)由AB=AC，得∠B=∠C，即可得∠C=∠ODB，故OD/​/AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；

(2)连接DE，AD，由∠DEF=∠ABC，可得∠DEC=∠C，DE=DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF=FC=1，AF=4，AC=AF+CF=5，即得AB=5，35.【答案】135°-【解析】(1)解：∵∠A=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∵∠ADC=α，

∴∠ACD=90°-α，

∵EG⊥CD，

∴∠ACD+∠CGF=90°，

∴∠CGF=90°-∠ACD=α，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

在△CGE中，∠GCE=45°，∠CGE=α，

∴∠CEG=180°-∠CGE-∠GCE=180°-α-45°=135°-α，

故答案为：135°-α；

(2)证明：由(1)得，∠CGE=∠ADC，

∵∠ADC=∠BDE，

∴∠CGE=∠ADC=∠BDE，

又∵∠GCE=∠DBE=45°，

∴△BDE∽△CGE；

(3)解：如图，过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，

∴∠MCA=∠CAB=∠ABM=90°，

∴四边形ABMC是矩形，

∵AB=AC，

∴四边形ABMC是正方形，

∴∠DBE=∠PBE=45°，AC//BM，AB=BM，∠M=90°，

∴∠CGE=∠BPE=∠BDE，

在△BDE和△BPE中，

∠DBE=∠PBE∠BDE=∠BPEBE=BE，

∴△BDE≌△BPE(AAS)，

∴BD=BP，

∵AB=BM，

∴AB-BD=BM-BP，

∴AD=MP，

∵∠MCN=∠CNP=M=∠90°，

36.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，

∴AD=CD，

∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，

∴AD=AH，

∴CD=AH，

∴∠ADH=∠CAD，

∴AF=DF．

(2)∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°-∠DAE=∠ABD，

∵tan∠ABD=12，

∴tan∠ADE=AEDE=12，

设AE=x，DE=2x【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．

(2)根据tan∠37.【答案】(1)证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，

∴∠BAC=∠CDB，

∵∠CEB=∠ABD+∠BAC，

∴∠CEB=∠ABD+∠CDB；

(2)解：∵OE/​/AD，点O为AB的中点，

∴OE为△ADB的中位线，

∴DE=BE=12BD=4，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，

∴AD=AB2-BD2=102-82=6，

∴AE=AD2【解析】(1)根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；

(2)由OE/​/AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，∠ACB=90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC=x38.【答案】(1)解：∵AB=AC，若∠BAC=α．

∴∠B=∠ACB=180°-α2，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC=180°-∠B=180°-180°-α2=90°+12α；

(2)①证明：∵∠ADB=∠ACB，∠CAD=∠CBD，

∴△ADE∽△BCE，

∴AEBE=DECE，

∴AE⋅CE=BE⋅DE，

∴AE⋅(AC-AE)=AE⋅AC-AE2=BE⋅DE，

∵AB=AC，

【解析】(1)根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；

(2)①先证明△ADE∽△BCE，得AE⋅CE=BE⋅DE，再根据AE⋅(AC-AE)=AE⋅AC-AE2=BE⋅DE即可得出结论；②设39.【答案】(1)证明：过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，

∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠BCA=45°，

∴∠GCF=45°，

∵∠AFB=∠CFG，∠AFB=∠CFD，

∴∠CFG=∠CFD，

又∵CF=CF，

∴△DCF≌△GCF(ASA)，

∴CD=CG，

∵∠ABC=∠BCG=90°，

∴AB/​/CG，

∴△ABF∽△CGF，

∴ABCG=AFCF=2，

∴AB=2CG，

又∵AB=CB，

∴BC=2CG=2CD，

∴BD=CD；

(2)证明：∵△DCF≌△GCF，

∴DF=FG，

∵BD=CD=CG，∠ABD=∠BCG=90°，AB=BC，

∴△ABD≌△BCG(SAS)，

∴AD=BG，

∵BG=BF+FG，

∴AD=BF+DF；

(3)解：过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M【解析】(1)过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，证明△DCF≌△GCF(ASA)，得出CD=CG，证明△ABF∽△CGF，由相似三角形的性质得出ABCG=AFCF=2，则可得出结论；

(2)证明△ABD≌△BCG(SAS)，由全等三角形的性质得出AD=BG，则可得出结论；

(3)过点C作CM⊥BF40.【答案】(1)证明：在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD=CE；

(2)证明：∵∠EAC=∠DAB，

∴∠EAC+∠EAB=∠DAB+∠EAB，

即∠BAC=∠DAE，

∵AB=AC，AD=AE，

即AB：AD=AC：AE，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠AED=∠C，

∵∠AED+∠BEF=∠C+∠CAE，

∴∠BEF=∠CAE，

∵∠EBF=∠C，

∴△BEF∽△CAE，

∴BE：CA=BF：CE，

∴CE⋅BE=CA⋅BF；

【解析】(1)证明△ABD与△ACE全等得到BD=CE；

(2)先证明△ABC∽△ADE得到∠AED=∠C，再证明△BEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和比例性质得到结论；

(3)先证明△ABC为等腰直角三角形得到∠ABC=∠C=45°，BC=2AC=42，所以CE=41.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，

∴∠NCF=18