高等数学教案第四章不定积分

授课章节第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质目的要求原函数与不定积分概念重点难点原函数与不定积分的关系及不定积分的性质。复习…………………3分钟第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数定义定义１（原函数定义）：若在区间I上存在，则称为在区间I上的原函数。如：原函数存在条件原函数存在定理：如果函数在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数，使对任意都有成立，即连续函数一定有原函数。不定积分分析：（同一函数的原函数之间的关系）定义２（不定积分）：函数的所有原函数所构成的集合称为不定积分，记（积分号；积分变量x；被积表达式；被积函数）注：１只是一个符号，不是乘积关系。２若设是的任意一个原函数，则（C为任意常数）。３分析：举例求求求（分别讨论时的情况。）设曲线通过点（１，２），且曲线上任意一点处的切线斜率等于这点横轴坐标的两倍，求该曲线方程。………………………４２分钟基本公式表p186求求不定积分的性质设原函数存在，则性质１性质２求求求求………………………42分钟内容小结：原函数与不定积分的关系及不定积分的性质思考题：偶函数的原函数一定是奇函数对吗？.作业：１要求学生回家背三角的和差化积与积化和差公式，下次课用；２P1901(3)(5)(7)(9)(11)(13)(15)(17),2备注：………………………３分钟授课章节第四章不定积分第二节换元法（第一讲）目的要求用换元法计算不定积分重点难点用两类换元法被积函数的特点。复习……………………3分钟第二节换元法（第一讲）第一类换元法分析：设是的原函数，则注：说明何时加C。定理１：设具有原函数，可导，则由换元公式称为第一类换元法。注：１所谓换元，即设。这里是一个整体符号，由于第一类换元法，用“换元”方法理解并计算其结果是对的。所以第一类换元法也称为“凑微分法”。２利用第一类换元法时，关键是“凑微分。３积分结果不是唯一的，这是由于的选取不一致而导致的，结果的正确与否可对结果进行求导来验算。求求求求求…………………………42分钟求求求求求求求求求求提示：………………………42分钟内容小结：用换元法计算不定积分思考题：换元法在引入积分变量时应注意什么作业：P2052(1)～(28)单数备注：………………………３分钟授课章节第四章不定积分第二节换元法（第二讲）目的要求用换元法计算不定积分重点难点用两类换元法被积函数的特点。复习……………………3分钟第二节换元法（第二讲）第二类换元法回顾第一类换元法，反过来，即称为第二类换元法。定理２：设具有原函数，且是单调可导的，（以保证反函数的存在），则注：１无论是第几类换元，最后都要把结果换成积分变量所表示。２利用第二类换元时，一般被积函数是无理函数。求求……………………42分钟求提示：讨论当和时两种情况。求求求做几道作业题。………………………42分钟内容小结：用换元法计算不定积分思考题：换元法在引入积分变量时应注意什么作业：P2052(29)～(40)备注：………………………３分钟授课章节第四章不定积分第三节分部积分法第四节有理函数积分法目的要求利用分部积分法求积分重点难点１利用分部积分法时被积函数的特点及得设法；２掌握待定系数法分解有理函数为最简真分式的和复习……………………3分钟第三节分部积分法回顾：得：，称为分部积分法。（也可写成）求求求求求整理利用分部积分法被积函数的特点及得设法（共五种）。（利用两次分部积分法）“”的规律：求求求求提示：另：做几道作业题。…………………………42分钟第四节有理函数积分法有理函数有理函数形式假分式化成真分式如把真分式化成最简真分式的和由于任意一个多项式都可因时分解成若干个一次和二次多项式的乘积，即其中二次多项式是不在可再因式分解的，都是正整数。用待定系数法把有理函数分解成若干最简真分式的和。如………………………42分钟内容小结：利用分部积分法时被积函数的特点及得设法；掌握待定系数法分解有理函数为最简真分式的和思考题：使用分部积分所要注意那些问题作业：P210单数备注：………………………３分钟授课章节第四章不定积分第四节有理函数积分法（续）第五节积分表的使用目的要求掌握简单的几种有理函数类型的积分方法重点难点有理函数假分式化成真分式及简单的几种有理函数类型的积分方法复习……………………3分钟有理函数的不定积分（共三种类型，举例说明）举例求求求可化为有理函数的积分举例三角函数的有理化万能公式：设，则；；例４．求提示：…………………………42分钟无理函数的有理化（举例说明）求提示：求提示：求提示：求提示：第五节积分表的