人教版九年级数学上册《正多边形和圆》教学学案

24.3正多边形和圆（1）

第一课时

敬惮&棕

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、

中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形.

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中盼多边形为引题引入正多边形

和圆这一节间的内容.

fcs关键

1.重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之

间的关系.

2.难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心

距、边长之间的关系.

教学4连

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫正多边形？

2.从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称

吗?其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

2.实例略.正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；

Ap

正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边对应顶点的连线XyV

交点•

C-D

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，

能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边

形ABCDEF,连结OD、CF交于一点，以0为圆心，0A为半径作圆，那么肯定B、

C、D、E、F都在这个圆上.

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就

可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

我们以圆内接正六边形为例证明（略）.

为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个

多边形的中心.

外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.ED

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.尸

例L已知正六边形ABC—DEF,如图所示，其外接圆的半MB

径是n,求正六边形的周长和面积.

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因

此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接0A,过0点作OMLAB垂于M,

在RtaAOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是

由六块正三角形面积组成的.

例2.利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形.

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求

边长为3的正五边形的半径.

三、巩固练习教材P115练习1、2、3,P116探究题、练习.

四、应用拓展

例3.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形

的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内

接于4ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上，如图的设计方案是使AC=8,

BC=6.

（1）求aABC的边AB上的高.（2）设DN『，且与产=翳当z取何值时，水池

DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一

棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在，/平卜

为了保护大树，请设计出另外的ADGEB

方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初

中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值，（3）的设计要有新意，应用圆的

对称性就能圆满解决此题.

五、归纳小结（学生小结，点评）

本节课应掌握：

1.正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形

的中心角，正多边的边心距.

2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等

量关系.

3.画正多边形的方法.

4.运用以上的知识解决实际问题.

六、布置作业教材PUT复习巩固1综合运用5、7Pus的8

正多边形和圆

教学目标：

(1)使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定

理；

(2)通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系

定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

(3)进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思

想.

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理.

教学难点：

对定理的理解以及定理的证明方法.

教学活动设计：

(一)观察、分析、归纳：

观察、分析：

1.等边三角形的边、角各有什么性质？

2.正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点.

教师组织学生进行，并可以提问学生问题.

(二)正多边形的概念：

(1)概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多

边形有n(nN3)条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正

方形有四条边叫正四边形.

(2)概念理解:

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形.(正三角形、正方

形、正六边形，…….)

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等.菱形不是正多边形，因为角

不一定相等.

（三）分析、发现：

A

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同

心圆.

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分.要

将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n（nZ3）等份：

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的

外切正n边形.

我们以n=5的情况进行证明.

已知：。0中，AB=BC=CD=DE=EA,TP、PQ、QR、RS、ST分别是

经过点A、B、C、D、E的G）0的切线.

求证：（1）五边形ABCDE是。O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是。O的外切正五边形.

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弦相等

][多边形各边相等

n圆周角相等n多边形是正多边形

多边形各角相等

弧相等弦切角相等

说明：（1）要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可

以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n（叱3）等分点，所得的多边

形是正多迫形；②经过圆的n（nN3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的

多边形是正多边形.

⑵要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件.

⑶此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正

多边形或根据它作正多边形.

（五）初步应用

P157练习

1、（口答）矩形是正多边形吗?菱形是正多边形