江苏省南京师大附中2024届高三2月寒假测试（新结构）数学试题及答案

2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试

数学2024.2

本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=｛2|2=『+",〃€^）,则A的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.用数学归纳法证明：/（«）=1+|+|+（〃eN*）的过程中，从"=%至！］

〃=k+1时，/（%+1）比/优）共增加了（）

A.1项B.2上-1项C.2皿项D.2上项

3.已知函数"x）=f+依-%,若°,6都是区间［0,4］内的数，则使得“1）2。成立的概

率是（）

A.-B.-C.-D.-

8888

4.已知正三棱台ABC-ABC1的上，下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,以下底面顶

点A为球心，2近为半径的球面与侧面BCq片的交线长为（）

2兀4兀

A.—B.兀C.—D.2兀

33

13

5.设4=sin0.2,/?=0.16,。=—In—,则（）

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

6.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重

要功能：用其逼近实数求近似值.例如，把方程炉-*-1=0改写成尤=1+，①，将x再代

X

11x=l+―

入等式右边得到Y—1-I--------1-----,继续利用①式将X再代入等式右边得到1+：1……反

X1+一

X

.J_1+—^-j-

复进行，取X=1时，由此得到数列1,1+彳，二］，1+—\，L,记作｛%｝,则当

111+；

“足够大时，。.逼近实数上手.数列｛%｝的前2024项中，满足。“-笥^<0.0。5的4,

的个数为（参考数据：上至*1.618）

2

A.1007B.1009C.2014D.2018

7.如图，已知椭圆和双曲线G具有相同的焦点耳（-c，。），E（G。），A、B、C、。是它

们的公共点，且都在圆/+r=。2上，直线A5与X轴交于点P,直线CP与双曲线G交于

点。，记直线AC、A。的斜率分别为人、Z2,若椭圆C］的离心率为半，则匕•42的值为

4

C.-D.4

3

2222

8.若椭圆C］和C?的方程分别为j+R=l(a>b>0)和=+与=2(。>6>0">0且

abab

2222

/Ul)则称G和c?为相似椭圆.己知椭圆G：Y+(=1,C2：?+\=2(0</1<1),过C2

上任意一点尸作直线交Cl于M,N两点，且PM+PN=O，则△A/ON的面积最大时，2

的值为（）

A.-B.1C.-D.且

3242

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

已知当尤时，（）

9.>0-!-<lnl+-<-,则()

1+xXX

10I9B.In9<1+—+4-i<lnl0

AA.——<e9<-

9829

C.（—）9<9!

e

22

10.已知椭圆c：上+上=1上有一点尸，耳、鸟分别为左、右焦点，/耳「8=。,4P4心的

169

面积为S,则下列选项正确的是（）

A.若6=60。，则S=3也

B.若S=9,贝1］，=90°

C.若△尸片区为钝角三角形，则Se0,于

D.椭圆C内接矩形的周长范围是（12,20］

11.在平面直角坐标系中，定义d（平B）=max｛归-即-力,为两点A（4％）、3（孙％）

的“切比雪夫距离”，又设点P及I上任意一点Q,称〃（尸，Q）的最小值为点P到直线I的“切比

雪夫距离”，记作d（P,/）,给出下列四个命题，正确的是（）

A.对任意三点AB,C,都有d（C,A）+d（C,B）Nd（A,B）；

Q

B.已知点P（2,l）和直线/:x-2y-2=0,则d（R/）=§；

C.到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.

D.定点爪-c,。）、鸟（。,0）,动点P（x,y）满足|d（P,居）-d（P，K）|=2a（2c>2a>0）,

则点尸的轨迹与直线>=左（左为常数）有且仅有2个公共点.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12

12.若事件A,B发生的概率分别为P（A）=5，P（8）=§，且A与B相互独立，贝I

尸（4J8）=.

13.已知集合/={尤€M2了-3<2},则/的非空子集的个数是.

14.如图，在四棱柱ABCD-ABIGA中，底面A3C。为正方形，AB=4,=BCi.

BBX±BDr,且二面角4-3，-G的正切值为行.若点尸在底面ABC。上运动，点。在

四棱柱ABC。-A耳G2内运动，D、Q=与,则P4+PQ的最小值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数〃x）=|lgx-l|

⑴解关于x的不等式：

14

⑵若“。）=/（6）（«'b）,求上+；的最小值.

ab

16.（15分）设（2x+iy的第"项系数为a”.

⑴求凡的最大值.

4

1

（2）若国表示％的整数部分，S-色厂，求S-网的值.

22

17.（15分）已知椭圆C:\+2=l（a>6>0）的短轴长为由，右顶点到右焦点的距离为

ab

1

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵如图所示，设点A是椭圆C的右顶点.过点（3,0）的直线/与椭圆C相交于不同的两点

E,F,且都在无轴的上方.在x轴上是否存在点尸，使ZAPE=NOPF,若存在，请求出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

18.（17分）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABEE,8所为两个全等的等

腰梯形，AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3.

（1）当点N为线段AD的中点时，求证：AD±FN；

（2）当点N在线段AO上时（包含端点）,求平面ARV和平面ADE的夹角的余弦值的取值

范围.

19.（17分）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线G的方程P（x,y）=O中，以（尢0y）

（4为非零的正实数）代替（x,y）得到曲线C2的方程网拉力）=0,则称曲线G、C?关于

原点“伸缩”，变换（x,y）f（八,勿）称为“伸缩变换”，X称为伸缩比.

22

（1）已知C］的方程为］一3=1,伸缩比4=2,求C］关于原点“伸缩变换，，所得曲线Q的

方程；

（2）射线/的方程y=（x>0）,如果椭圆C|：亮+:=1经”伸缩变换，，后得到椭圆

、

C2,若射线/与椭圆G、C?分别交于两点AB,且|AB|=0,求椭圆方程；

2

（3）对抛物线G：/=2Plx,作变换（羽y）f（4x，4y）,得抛物线C2：y=2p2x■对

2

C2作变换（x,y）f得抛物线C3：y=2p3x,如此进行下去，对抛物线C"：

V=2p/作变换（尤,,得C,+i：廿=2p“+F…若R=1,4,,求数列

{A}的通项公式P”.

备选题：20.某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下

两种方案.方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为Pi；方案二：每次抽卡

抽中新皮肤的概率为外，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤.已知

0<p2<Pi<l,玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X,

Y（元）.

⑴求x,丫的分布列；

⑵求E（X）；

⑶若A=2P②=0.02,根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.（参考数

据：O.99100~0.37.）

2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试

数学学科参考答案

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

12345678

cDCCDDBB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

91011

ACDACDAD

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.-13.714.8--

62

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.（1）由题意可知口gx—<1=—l<lgx—1<1,

即0=lgl<lgx<2=lgl00=xe(l,100)；

(2)因为〃a)=/0),所以|lga-l|=|建-1|,

不妨设a<b,由对数函数的性质可知

贝叩=]_lga=|lgb_l|=lgb_lnlgM=2,

所以次7=100,

i4b4、「Ib42

贝壮+3=当且仅当a=5,b=20时取得等号.

ab100bN100b5

16.（1）由题可知，（2x+l）展开式中第左+1项为:

小=Cg(2x)8-'x/=晨2s-kx8-k,

11人,8—左〉11左一1,8—（女—1）

则系数最大的项需满足：一一二8（z），“eN*,解得％=2或后=3,

C%28—左>c左十]28—（化+1）

所以系数最大为第3项或第4项，即“=3或”=4,

所以最大项系数为%=%=C；2”2=1792.

43

a=++<7+<3

（2）因为盘〃2i+l=〃1+〃3+〃5+〃7+〃9，a2i+2^2^468，

z=0i=0

且由（2%+1）8展开式中第2+1项为：兀1=C；（2%广J晨28-k产出,

765432ax+a,

所以（2x+17=qf+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x+a7x+s9

8

令x=l,%+a2+%+a4+a5+a6+a7+a8+a9=3,

即：J^^2z+1+a2i+2~3,

z=0z=0

令%=_],%%-〃4+%-4+%-4+〃9=1，

BP：J^^2z+1~12i+2=1，

z=0z=0

4

所以所以”鱼曝一3%1，

'二。2

而38+1=（4—1）8+1

=C^48（-1）°+C^47（-1）1++04°（-1）8+1

=4+1+1

=4+2

432

所以S=±[47—C；46+C；45—C；44+C^4-C^4+C；4-C；+2

4

+0.5,

由题可知，[S]=C；47-Cg46+Cg45-C^44+Cg43-C^42+C；4—C；,

所以s-[S]的值为0.5.

2b—\/3,

1

17.(1)依题意得<

25

a2=b2+c2

解得"=1*♦

2丁_

二椭圆C的标准方程为厂+亏=1

4

(2)存在点尸，使NAPE=/OP尸，点尸的坐标为理由如下:

直线/过点(3,0),与椭圆。:炉+52=1交于不同的两点瓦尸.且都在工轴上方.

，直线/的斜率存在且不为0,设直线I的方程为y=k(x-3\k^0.

y=%（元-3）,

联立方程F+42_］消去y可得：（3+4^2）X2-24k2x+36k2-3=0.

龙w一,

24k236/-3

此时A>0,设E(x，%)，*孙y2bp(。0)，则可+々=

3+442-3+4•2•

ZAPE=NOPF,

左（西-3）（X2-ni）+k（x2-3）（%-m）

kpE+kpF——-......1———

jq—mx2—m（%—m）（x2-m）

12k2-6-（3+m）-24k\+6m

k2^X2—（3+;〃）（玉+々）+6m卜3+4.2、）3+4公

（X1-MI）（尤2一相）（无］-m）（x2-ni）

12k--6-12k1-24/MF+18W+24〃很?

=k-=0.

/.18m-6=0,/.m=—

3

存在P点满足条件.

r.P点坐标为

18.(1)因为点N为线段AD的中点，且E4=EE>,

所以ADLEN,

因为EF〃钻，且四边形ABC。为正方形，故AD1AB,

所以AD_LEF,而ENEF=E,EN,EFu平面EFN,

故AT>J_平面EFN,又FNu平面EFN,

所以AD_L/W；

（2）设正方形ABCD的中心为0,分别取尸的中点为尸,Q,S,

设点H为线段AD的中点，由（1）知瓦尸,H,Q四点共面，且AD_L平面EFH,

连接QS,QSu平面瓦汨，故ADLOS,

又ADu平面ABCD,故平面ABCD1平面EHQF,

且平面ABCDc平面EHQF=HQ,

由题意可知四边形E”。尸为等腰梯形，故OS，"Q,

OSu平面EHQF,故OS_L平面ABCD,

故以0为坐标原点，OP,OQ,OS为尤,Mz轴建立空间直角坐标系，

因为AB=4,则为2,-2,0),8(2,2,0),C(-2,2,0)Q(-2,-2,0),又AB=2EF,故E尸=2,

设EF到底面ABCD的距离为h,

四边形的£,CD所为两个全等的等腰梯形，且防〃AB,

故£(0,-1,/?),F(O,1,h),又EA=ED=FB=FC=3,

故V22+l2+/?=3,.'.h=2,则矶0,T2),F(0,l,2),

AE=(-2,1,2),AD=(T,0,0),跖=(-2,-1,2),BA=(0,-4,0),

设4V=AAD,Ae[0,1],:.BN=BA+AN=BA+AAD=(⑷,-4,0),

设平面BFN的一个法向量为n=(x,y,z),

ri-BF=—2x—y+2z=0

则,令x=2,...〃=(2,—22,2—/i),

n•BN=-4Ax—4y=0

设平面ADE的一个法向量为机=（a,。,c）,

m-AD=-4a=0

则,C—],/.m=(0,—2,1),

m-AE=-2a+/?+2c=0

ly+N_3I"j

故।I\m-n\

cosn,m2

HIMA/5x752-42+8下15储-42+8

3m2

cosn,m=

m=—G—,—则底,232116，

Y15m---m-\----

\39

「131

令"〉eI，|,则…飞”卫

\93

令/⑺=当产-率+5,则八。在m上单调递增，

故当，〈时，〃入n=d：=||，当，《时，/((U=H=18,

后

故COS",MWM

千

即平面3网和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为母，交

19.(1)由条件得©［一处1=1，得C?：~9

(2)­/c2,G关于原点“伸缩变换”，对C|作变换(x,y)f(2x,Xy)(2>0),得到

G红+立=1,

2164

y=#x(x20)

得点A的坐标为j孚,半

解方程组

X—T7

1164

孝尤(MO)、

y二

解方程组得3点的坐标为

立+比=17

〔164

|阴==A/2,

化简后得3万一8彳+4=0,解得4=2,4=j

222

因止匕椭圆。2的方程为土+/=1或土+匕=1.

4369

(3)对Q：=2p“x作变换(x,y)->(4x，4y)得抛物线Cm：=2p"&t,得

2—功”

y-A

4

又：了2=2外+小，.\。"+1=9，即旦旦=；=2",

4,p„4

1+2+3+，+n-1

p2一.，3.-，4......一。二—•——=2•22•2^........2"।则Pn—2"（）_Z