2025年中考数学专题31 正、余弦定理与正弦面积公式原卷版

模型介绍模型介绍正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c2﹣2bccos∠Ab2＝a2+c2﹣2accos∠Bc2＝a2+b2﹣2abcos∠C．正弦面积公式：S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB例题精讲例题精讲【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为，点O到AB的距离的最大值为．变式训练【变式1-1】．以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为．【变式1-2】．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【例2】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求AD的长．变式训练【变式2-1】．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于点O，∠AOB＝60°．求S四边形ABCD＝．【变式2-2】．如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．1．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．2 B．+1 C．2 D．4．△ABC中，，，BC＝2，设P为BC边上任一点，则（）A．PA2＜PB•PC B．PA2＝PB•PC C．PA2＞PB•PC D．PA2与PB•PC的大小关系并不确定5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A．78.5 B．97.5 C．90 D．1026．如图，点1为单位正方形内一点，且AE＝BE＝AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）A． B． C． D．7．设△ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，则sinA：sinB：sinC＝．8．已知在△ABC中，有一个角为60°，，周长为20，则三边长分别为．9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD为∠C的角平分线，则CD＝．10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的长是．11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，则AC＝．12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，BD＝，则AC的长为．13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是．14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB的长．15．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，点D在AB上，点E在AC上，且DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值．16．如图，在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，且AD＝BC＝a（a为常数），AC＝b，AB＝c，求最大值．17．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．18．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．③S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asinB＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，则y与x之间的函数关系式；（2）若△BDC三边的长是三个连续整数，求sinA；（3）在（2）的条件下求△ADC的面积．20．如