2024年湖南省张家界市桑植县中考数学一模试卷（含详细答案解析）

2024年湖南省张家界市桑植县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在一3.14,-71,0,中，绝对值最大的数是（）

A.-3.14D.<3

2.化简a3.（!）2的结果是（

A.ab6B.ab5C.a2bsD.a2b6

3.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）

A.主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

B.左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形

D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形

4.每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食.已知一粒米的重量约0.000021千克，将

数据0,000021用科学记数法表示为（）

A.0.21x10-4B.2.1x10-4C.2.1x10-5D.21x10~6

5.某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表：

年龄/岁12131415

人数523■■

由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（）

A.平均数、众数B.众数、中位数C.平均数、中位数D.中位数、方差

6.如图，直线a〃小点8在直线匕上，且281BC,若N1=125。，则、,

N2=(

A.125°

B.130°

C.135°

D.145°

7.为了落实'‘双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每

个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价

格为x元，那么可列方程为（）

A1500800「n1500800L

A•方一「5K---------=h

"20x

厂8001500「n8001500L

(---------=5D.--------=5

*%x+20x%—20

8.已知关于尤，y的二元一次方程组的解满足x—y=4,则m的值为（）

A.OB.1C.2D.3

9.如图，在。。中，弦A8的长是12/on,弦A8的弦心距为6w,E是。。优弧

AEB上一点.贝吐4EB的度数为（）

A.60°

B.45°

C.30°

D.80°

10.由甲型流感病毒引起的一种呼吸道传染病，简称“甲流”.一段时间内，某市“甲流”流行，市疾控中

心对三名有咳嗽症状的市民甲、乙、丙进行调查，与三位市民有如下对话：

甲说：“我检测确认为‘甲流'了，需要休息

乙说：“我检测确认不是‘甲流’，请让我回去工作

丙说：“甲没有得‘甲流'，不要被他骗了

若这三人中只有一人说的是真话且只有一人得“甲流”，请你判断谁是真正得“甲流”的人（）

A.乙B.丙C.甲D.无法判断

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.若要使卓有意义，则尤的取值范围为

12.分解因式：（a+3）2-16=.

13.已知圆锥的高为12,母线长为13,则圆锥的侧面积为.

14.已知一次函数y=ax+6的图象经过点2（0,1）,5（2,0）,则关于x的方程ax+b=2的解为.

15.如图所示，在RtAABC中，NB=90。，A£）平分N84C,交8c于点。,

DE1AC,垂足为点E,若BD=3,则。E的长为.

16.如图，为。。直径，C、。是圆上两点，AD=CD,ABAC=40。，则

ADAC=.

17.已知二次函数y=a/一2a久+c（a丰0）的图象与x轴的一个交点为（一2,0）,则关于x的一元二次方程

ax2—2ax+c-0的两根之积是.

18.设有边长分别为a和b（a>b）的A类和8类正方形纸片、长为。宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所

示要拼一个边长为a+6的正方形，需要1张A类纸片、1张2类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为

张.

证明过程或演算步骤。

19.（本小题6分）

计算：+sin60°x（3.14—兀）°x-

20.（本小题6分）

先化简，再求值：平十（工;a-a2-4a+P'其中。满足a?-（；）-1•a+6cos60°=0.

21.（本小题6分）

如图，在平行四边形ABCQ中，连接8。，E为线段4。的中点，延长BE与C£）的延长线交于点尸，连接

AF,4BDF=90°.

（1）求证：四边形ABD尸是矩形；

（2）若4。=5,DF=3,求四边形ABCP的面积S.

22.（本小题8分）

某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生

进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）.根据统计图提供的信

息，解答下列问题:

抽取的学生最喜欢课程内容

的扇形统计图

(l)m=，n=

（2）在扇形统计图中，思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是度;

（3）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（4）该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数.

23.（本小题8分）

如图，在菱形A8CD中，AE1BC于点E,4F1CD于点F,连结EF.

(1)求证：AE=AF-,

(2)若NB=60°,求乙4EF的度数.

A

c

24.(本小题10分)

某校运动会需购买A,8两种奖品，若购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需35元；若购买A种奖品1

件和8种奖品2件，共需40元.

(1)求A、8两种奖品的单价各是多少元？

(2)学校计划购买A,2两种奖品共100件，购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于2种奖品

数量的3倍，设购买A种奖品机件，购买费用为W元，写出W(元)与山(件)之间的函数关系式.求出自变量

机的取值范围，并确定最少费用W的值.

25.(本小题10分)

已知关于x的一元二次方程/—(2m—l)x—3m2+m=0.

(1)求证：无论机为何值，方程总有实数根；

(2)若的，冷是方程的两个实数根，且这+&=-除求根的值.

X1x2乙

26.(本小题12分)

如图，。。的直径AB垂直于弦CZ)于点E,AB=10,CD=6,点P是C。延长线上异于点。的一个动

点，连结AP交。。于点。，连结C。交A3于点凡则点厂的位置随着点尸位置的改变而改变.

(1)如图1,当DP=4时，求tan/P的值；

(2)如图2,连结AC,DQ,在点尸运动过程中，设DP=x,沁^二又

、AQDC

①求证：/-ACQ=^CPA；

②求y与x之间的函数关系式.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：|-3.14|=3.14,|-TT|=n,|0|=0,=^3,

■.7T>3.14>V-3>0,

.•.在-3.14,-n,0,中，绝对值最大的数是一兀，

故选：B.

先求每个数的绝对值，再比较即可.

本题考查了实数的大小比较，绝对值，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：原式=。3.%=附6,

故选：A.

根据分式的乘除法法则进行计算即可.

本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：该几何体的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，A选项不符合题意；

该几何体的左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项不符合题意；

该几何体的俯视图是中心对称图形，又是轴对称图形，C选项符合题意；

主视图和左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，。选项不符合题意；

故选：C.

根据组合体的三视图判断即可.

本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是掌握简单几何体的三视图及轴对称图形、中心对称图形的概

念.

4.【答案】C

【解析】解:0.000021=2.1X10弋

故选：C.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10",与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axio-n,其中13|a|<10,W为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

5.【答案】B

【解析】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而12岁的有5

人，13岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是13岁，因此中位数是13岁，不

会受14岁，15岁人数的影响；

因为13岁有23人，而12岁的有5人，14岁、15岁共有22人，因此众数是13岁；

故选：B.

根据众数、中位数的定义进行判断即可.

本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提.

6.【答案】D

【解析】解：如图：

a//b,

.­.ADBA+Z1=180°,

•••4DBA=180°-Z1=180°-125°=55°.

•••AB1BC,

：.4ABe=90°.

ZDBC=/.DBA+2-ABD=145°,

.­.Z2=4DBC=145°.

故选：D.

根据平行线的性质可求ADB4进而可求出ADBC,再根据平行线的性质可求N2.

本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

7.【答案】A

【解析】解：设每个足球的价格为无元，可列方程为：

1500800_

-------------------=5

%+20x

故选：A.

根据足球价格表示出篮球的价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等

式即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键.

8.【答案】B

【解析】解：••・关于x、y的二元一次方程组为产7=产+旧，

①-②，得：

・•・2x-2y=2m+6,

%—y=m+3,

%—y=4,

••・TH+3=4,

.・.m=1.

故选：B.

把方程组的两个方程相减得到2x-2y=2m+6,结合x-y=4,得到m的值.

本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到机的方程，此题难度不

大.

9.【答案】A

【解析】解：连接04OB,

0C1AB,

AC=^AB=6y/~3cm,

在R八A。。中，0C=6cm,

c“0C6<3

・•.tan^OAC=—=—=

・•.Z.0AC=30°,

OA=OB,

Z.OAB=^OBA=30°,

•••乙AOB=180°-4OAB-4OBA=120°,

1

.­.AAEB==60。，

故选：A.

连接OA,OB,利用垂径定理求出AC,然后在RtAAOC中，利用锐角三角函数求出NOAC,从而求出

U0B,最后利用圆周角定理求出乙4EB进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：假设甲说的是真话，则甲得‘甲流'了，所以乙说的是真话，不合题意，

假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙乙说的是真话，不合题意，

假设丙说的是真话，则甲、乙说的是假话，符合题意，

所以真正得“甲流”的人是乙.

故选：A.

分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论.

本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

11.【答案】x<3且x丰1

【解析】解：•••要使会有意义，

3—%>0且%—1H0,

解得K<3且X*1.

故答案为：X<3且久丰1.

据二次根式及分式有意义的条件列式计算即可得解.

本题考查了分式及二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分

母不等于零是解题的关键.

12.【答案】(a+7)(a-1)

【解析】解：(a+3/一16

=(a+3>―42

=(a+3+4)(a+3—4)

=(a+7)(a—1).

故答案为：(a+7)(a-l).

根据平方差公式分解因式，再得出答案即可.

本题考查了分解因式，能熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公

式法，十字相乘法等.

13.【答案】657r

【解析】解：由勾股定理得，圆锥的底面半径=-132-122=5,

•••圆锥的底面周长=107T,

圆锥的侧面积=107TX13=6571,

故答案为：657r.

根据勾股定理求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算即可.

本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥

的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

14.【答案】x=—2

【解析】解：把点4(0,1),B(2,0)代入y=ax+b得，［；+1=°，

解得卜=+,

(6=1

—-x+1—2,

解得x=-2,

故答案为：x=-2.

把4(0,1),B(2,0)代入y=a久+b得到°,6的值，解方程即可得到结论.

此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确求出一次函数的解析式.

15.【答案】3

【解析】解：•••2。平分NB4C交BC于点。，DE1AC,DBLAB,

DE=DB=3.

故答案为：3.

直接根据角平分线的性质求解.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

16.【答案】25。

【解析】解：如图，连接OC,0D,

•・•^BAC=40°,

••・乙BOC=80°,

・•・乙40C=100°,

XvAD=CD,,

・•・。为弧AC的中点，

11

•••Z.DOC=*OC=jx100°=50°,

11

.­.Z.DAC=2乙DOC=2x50。=25。.

故答案为：25。.

连接。C,OD,由NBAC=40。，可得弧BC所对的圆心角为80。，^AOC=100°,由4D=CD可知。为弧

AC的中点，所以弧8所对的圆周角为50。，则ND4c=25。.

本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键.

17.【答案】-8

【解析】解：,•,二次函数y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=-爱=1，

二次函数的图象与无轴的一个交点为（一2,0）,

・••二次函数的图象与x轴的另一个交点为（4,0）,

二关于x的一元二次方程a/-2ax+c=。的两根为打--2,x2-4,

••・关于x的一元二次方程a/—2ax+c=。的两根之积为一8.

故答案为：-8.

先利用抛物线的对称轴方程得到二次函数y=ax2-2ax+c的对称轴为直线尤=1,则利用抛物线的对称

性得到二次函数的图象与x轴的另一个交点为（4,0）,然后根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元

二次方程a—-2ax+c=0的两根为x1=-2,x2=4,从而得到关于x的一元二次方程a/_2ax+c=0

的两根之积.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a久2+匕久+c（a,b,c是常数，aRO）与x轴的交点坐标

问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

18.【答案】8

【解析】解：；（a+6）2=a?++2ab,即S/一正方形=S%+SR+2S。，

••.要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.

22

(3a+b)(2a+2b)=6a+2b+8ab,即S矩形=6SA+2sB+8SC,

・•・若要拼一个长为3a+6,宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张，

故答案为：8.

利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中4项的系数即为答案.

本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键.

19.【答案】解：原式=373+苧x1x2/2-6/2

2

=3y1~3x—==.x1x2A/-2—6y1~2

73

=12/2-6/2

=6AA2.

【解析】先根据特殊角的三角函数值、零指数幕计算，再把，下化简，接着把除法运算化为乘法运算，然

后约分后合并同类二次根式即可.

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幕和特

殊角的三角函数值是解决问题的关键.

a+2a—1

2。.【答案】解：原式=平十［许一江万司

CL-4(a+2)(a—2)CL(CL-1)

a【a(a-2)2a(a—2)2^

a—4a2—4—a2+a

aa(a—2)2

a—4a(a—2)2

aa—4

=(a-2)2

=a2—4a+4,

va2—(；)-1•a+6cos60°=0,

a2—4a+3=0,

a2—4a=-3,

：・原式=-3+4=1.

【解析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，再根据负整数指数幕的性质、特殊角的

三角函数值化简，整体代入得出答案.

此题主要考查了分式的化简求值以及负整数指数塞的性质、特殊角的三角函数值，正确掌握分式的混合运

算法则是解题关键.

21.【答案】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

BA//CD,

/-BAE—/.FDE,

丁点E是AD的中点,

AE=DE,

在△8E/和中，

Z.BAE=Z.FDE

AE=DE,

.Z-BEA=乙FED

••・△8瓦4包尸£7)34),

・•.EF=EB,

又•・,AE=DE,

・•・四边形ABDF是平行四边形，

•・•乙BDF=90°.

・•・四边形A3。尸是矩形；

(2)解：由(1)得四边形A3。尸是矩形，

・••/-AFD=90°,AB=DF=3,AF=BDf

••・AF=VAD2—DF2=V52—32=4,

•••S矩形ABDF~DF-AF=3X4=12,BD=AF—4,

••・四边形ABCD是平行四边形，

•••CD=AB=3,

1i

•••SpcD=qBD-CD=-x4x3=6,

••・四边形ABCF的面积S=S矩形+S"CD=12+6=18,

答：四边形ABCE的面积S为18.

【解析】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用

等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明ABEA之AFED

⑴由四边形A8CD是平行四边形，得乙BAE=4FDE,而点E是的中点，可得△BEAgAFEDQ4S4),

即知EF=E8,从而四边形A2Z乃是平行四边形，又上BDF=9。°,即得四边形A3。F是矩形；

2222

(2)由N4FD=90°,AB=DF=3,AF=BD,得4F=y/AD-DF=V5-3=4,S^ABDF=DF-

AF=12,四边形ABC。是平行四边形，得CD=AB=3,从而〃BCO==6,即可得四边形

ABCT的面积S为18.

22.【答案】25%15%36

【解析】解：(1)•••被调查的总人数为：12+20%=60(人),

9

m=X100%=25%,n=—x100%=15%,

6Uo(J

故答案为：25%,15%；

(2)在扇形统计图中，“E.思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是：360°x^=36°,

故答案为：36；

(3)。类别人数为60X30%=18(人)，

补全图形如下：

抽取的学生最喜欢湃程内容的条形统计图

答：估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数有400名.

(1)先计算出总人数，根据条形统计图可得相、”的值；

(2)计算出E类所占的百分比，可得圆心角；

(3)先求出D等级人数，再补全统计图即可；

(4)用总人数乘以最喜欢“数学史话”的学生人数所占的百分比即可.

本题考查了扇形统计图、条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题

的有关信息，难度不大.

23.【答案】(1)证明：•••四边形A8CD是菱形，

AB=AD,Z.B=Z.D.

又丫AE1BC于点E,AF1CD于点F,

•••乙AEB=AAFD=90",

在△力BE与AADF中，

Z-B=乙D

•••£.AEB=^AFD.

AB=AD

ABE义△ZDFQ4AS).

AE=AF；

(2)解：•••四边形ABC。是菱形，

乙B+乙BAD=180°.

而Z_8=60°,

.­.4BAD=120°.

又•••NHEB=90。，ZB=60°,

ABAE=30°.

由(1)知4ABE^AADF,

^BAE=/.DAF=30°.

^EAF=120°-30°-30°=60°.

・•.△AEF是等边三角形.

•••乙AEF=60°.

【解析】(1)欲证明AE=力尸，只需要证得A4BE之AADF即可；

(2)根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答.

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定

是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条

件.

24.【答案】解：(1)设A种奖品的单价为a元，8种奖品的单价为。元，

由题意可得:{2建得

解得k二,

答：A种奖品的单价为10元，8种奖品的单价为15元；

(2)由题意可得，

W=10m+15(100—rri)=—5m+1500,

•••勿随m的增大而减小，

••・购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，

eC-5m+1500<1135

,•(m<3(100—m)

解得73<m<75,

・・・当加=75时，W取得最小值，此时W=1125,

答：W(元)与爪(件)之间的函数关系式是”=—5zn+1500(73WznW75),最少费用W的值为1125.

【解析】(1)根据题意可以写出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

(2)根据题意和题目中的数据，可以写出W(元)与爪(件)之间的函数关系式.

本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题

意，列出相应的方程和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值.

25.【答案】(1)证明：；4=[—(2m—I)]2—4x1X(—3m2+m)

—4m2—4m+1+12m2—4m

=16m2—8m+1

=(4m—l)2>0,

・••方程总有实数根；

2

(2)解：由题意知，xr+x2=2m—1,x1x2--3m+m,

..强包一』+/_(巧+犯)2___5

•I——乙9——三,

x2xlx2xlx22

——2=-整理得5m2-7m+2=0,

—要3m，z?+m2

o

解得zn=1或zn=

【解析】(1)由判别式/=(4m-I)2>