高中数学学业水平合格性考试模拟测试卷(一)含答案

高中学业水平合格性考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{－1，0，1，2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝()A．{0，1，2} B．{－1，0，1}C．M D．N2．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4 B．3C．2 D．13．已知eq\f(4,x)＋eq\f(9,y)＝1，且x>0，y>0，则x＋y的最小值是()A．24 B．25C．26 D．274．已知角α的终边与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，则tanα等于()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,3)5．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，若a∥b，则实数x的值为()A．8 B．2C．－2 D．－86．设函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为M，则()A．T＝π，M＝1 B．T＝2π，M＝1C．T＝π，M＝2 D．T＝2π，M＝27．设i虚数单位，x是实数，若复数eq\f(x,1＋i)的虚部是2，则x＝()A．4 B．2C．－2 D．－48．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,12)9．由函数y＝sinx的图象，经过怎么样的变换可以得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象()A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移eq\f(π,8)个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq\f(π,4)个单位长度C．横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，再向右平移eq\f(π,4)个单位长度D．横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度10．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0,2x＋1，x>0，))则f(－2)＋f(1)＝()A．3 B．6C．7 D．1012．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均值为2，方差为1，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1，平均值和方差分别为()A．5，4 B．5，3C．3，5 D．4，5二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．13．i是虚数单位，则复数eq\f(7＋i,3－i)＝________．14．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(2,3)，且0<θ<π，则tanθ＝________．15．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________米．16．已知平面向量a，b，c，满足|a|＝3，|b－a|＝eq\f(3,2)，c∥b，a·c＝eq\f(27,2)，则|c|的最大值为________．17．若f(x)＝1＋eq\f(a,3x＋1)(x∈R)是奇函数，则实数a＝__________________．18．从长度分别为2，3，4，5的条线段中任取三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．三、解答题：本大题共4小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤．19．已知函数f(x)＝sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若θ满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)))＝eq\f(3,5)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，cosB＝eq\f(1,4).(1)求b的值；(2)求sinC的值．21．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋20，0<t<25，,－t＋100，25≤t≤30))(t∈N*)．设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．22．已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.参考答案1．BM∩N＝{－1，0，1}，故选B.2．C函数y＝x3，y＝2sinx为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.3．Bx＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋\f(9,y)))＝13＋eq\f(9x,y)＋eq\f(4y,x)≥13＋2eq\r(\f(9x,y)·\f(4y,x))＝25.4．A根据三角函数的定义，知tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).5．B因为a∥b，所以4－2x＝0，得x＝2.6．A由于三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)，最大值为A＋B；所以函数y＝2sin2x－1的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，最大值M＝2－1＝1.7．D因为eq\f(x,1＋i)＝eq\f(x（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i，所以－eq\f(x,2)＝2⇒x＝－4，故选D.8．A随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}，共3种，故所求答案为A.9．D将函数y＝sinx的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin2x的图象，再将函数y＝sin2x的图象向右平移eq\f(π,8)个单位长度得到函数y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象．故选D.10．D因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，因此两直线平行或异面．故选D.11．Bf(－2)＋f(1)＝3＋3＝6.12．A一组数据x1，x2，x3…，xn的平均值为2，所以数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x1，x2，x3，…xn的方差为1，所以数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是22×1＝4，故选A.13．解析：eq\f(7＋i,3－i)＝eq\f(（7＋i）（3＋i）,（3－i）（3＋i）)＝eq\f(20＋10i,10)＝2＋i.答案：2＋i14．解析：因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cosθ＝eq\f(2,3)，且0<θ<π，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),3)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(5),3)×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(5),2).答案：eq\f(\r(5),2)15．解析：由小到大排列为1.69，1.72，1.75,1.77，1.78,1.80，中位数是eq\f(1.75＋1.77,2)＝1.76.答案：1.7616．解析：因为c∥b，所以b＝λc(λ≠0)，所以|b－a|＝|λc－a|＝eq\f(3,2)，即(λc－a)2＝eq\f(9,4)，所以λ2c2－2λa·c＋a2＝eq\f(9,4)，λ2c2－27λ＋9＝eq\f(9,4)，整理得：c2＝－eq\f(27,4)·eq\f(1,λ2)＋27·eq\f(1,λ)＝－eq\f(27,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)－2))eq\s\up12(2)＋27，所以当λ＝eq\f(1,2)时，c2取得最大值为27，即|c|max＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)17．解析：由于函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，故f(0)＝0，解得a＝－2.答案：－218．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)19．解：(1)因为f(x)＝sin2x所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π，f(x)的最大值为1.(2)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)))＝eq\f(3,5)，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,25).20．解：(1)因为△ABC中，a＝2，c＝3，cosB＝eq\f(1,4)，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,4)＝10.因为b>0，所以b＝eq\r(10).(2)因为cosB＝eq\f(1,4)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3×\f(\r(15),4),\r(10))＝eq\f(3\r(6),8).21．解：设日销售金额为y(元)，则y＝pQ，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋800，0<t<25，,t2－140t＋4000，25≤t≤30.))(1)当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900元．(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t