浙江省某中学2023-2024学年高一年级下册期中考试数学试卷(含答案)

浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一、选择题

1.设＞是三个不同平面，且==m,贝『'〃/阳"是“。〃分"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

2.棣莫弗公式（cosx+i・sinx）"=cos（/u）+i・sin（3：）（其中i为虚数单位）是由法国数学

家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数［os工+i-sin工丫在复平

I33）

面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，在△48C中，设A8=a，AC=b，BD=2DC，AE=4EDf贝以七=（）

4.在△ABC中，若asinB+bcosA=c，则8=（）

A.—B.-C.-D.-

3346

5.如图，四棱锥A-3CQE是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A-CDF是正四面体,

G为8E的中点，则下列结论错误的是（）

BC

A.点A,B,C,F共面B.平面ABE//平面CDF

C.FG.LCDD.PG_L平面ACO

6.己知M=1,W=2，,=3且Q./i=3,则,+Z?+c］的最大值为（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

7.在△ABC中，点E是边AB上的点，且|AE|=|CE|=2,忸目=3，乙4cB=与，则

△A3c的面积为（）

A25GR5百c.叵n25近

14R~\V14

8.如图，斜三棱柱ABC-A4G中，底面△ABC是正三角形，E,F,G分别是侧棱

AA，BBjeq上的点，且AE>CG>8b，设直线C4，C8与平面EFG所成的角分

别为。，B，平面EFG与底面A5C所成的锐二面角为心则（）

A.sin。＜sin。+sin/7,cos"cosa+cos/

B,sin。Nsincr+sin/7,cos＜cosa+cos/?

C.sin。＜sina+sin/?，cos。＞cosa+cos/?

D.sin。Nsina+sin/7,cos0＞cosa+cos分

二、多项选择题

9.已知复数4,z2,则下列命题一定成立的有（）

A.若匕+马卜。,则4=一弓B.若㈤二㈤，则z；=z；

22

C|zv|=区引D.（Z1+Z2）=（Z,+Z2）

10.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体

是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所

示的曲池，AA垂直于底面，M=5,底面扇环所对的圆心角为弧AO的长度是

C,曲池的表面积为20+14兀D.三棱锥A-CCQ的体积为5

11.己知b,c是互不相等的非零向量，其中方是互相垂直的单位向量,

c=xa+y〃(x,ywR),i(\OA=a,OB=b,OC=c,贝U下歹ij说法正确的是()

A.若R—c)・,一c)=0,则。，A,B,C四点在同一个圆上

B,若(a-c)•9一c)=0,则，的最大值为2

C,若口=1,则仅一40一。的最大值为等+1

D.若卜卜1,则x+y的最小值为-亚

三、填空题

12.若复数z是方程V-Zx+ZuO的一个根，贝i」i・z的虚部为.

13.如图，正三棱锥P—A5C中，三条侧棱抬，PB，PC两两垂直且相等，

尸A=2，M为尸。的中点，N为平面4BC内一动点，则NM+NP的最小值为

3AB।24C_M（48+AC）

14.呼口△A6C满足|AB|\AC\\AB^AC\点o为线段4?上一动点，若

。4。。最小值为-3,则△ABC的面积S=.

四、解答题

15.己知a=（l,0）,Z?=（2,1）•

（1）若AB=2a-b，BC=a+mb'且4，B,C三点共线，求加的值.

（2）当实数左为何值时，姐与〃+助垂直？

16.已知z是复数，z+2i与二均为实数.

2-i

（I）求复数z；

（2）复数（z+4i『在复平面上对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

17.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，

/AA8=NAAC=45。，平行于4A和8G的平面分别与AB，AC，4G，A耳交于

D,E,F,G四点.

（1）试判断四边形。及G的形状，并说明理由；

（2）若",=3,。是A6的中点，求直线。尸与平面A5C所成角的正弦值.

18.如图，在△ABC中，己知AB=4，4c=10，N84C=60。，3c边上的中点为

M,AC边上的中点为N,AM,8N相交于点产.

（1）求BC；

（2）求NMPN的余弦值;

（3）过点P作直线交边A8，BC于点E,F,求该直线将△ABC分成的上下两部分

图形的面积之比的取值范围.

19.早在公元5世纪，我国数学家祖唾在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幕

势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积

相等.

（1）如下图所示，在一个半径为3的半球体中，挖去一个半径为3的球体，求剩余部

2

分的体积.

（2）如下图，由抛物线y=跟线段y=3（-3«x43）围成一个几何形,

将该几何形绕），轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖迪原理求该旋转体的体积.

（3）将两个底面半径为1,高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十

字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用

祖眶原理求出该公共部分几何体的体积.

参考答案

1.答案：B

解析：由=0Cy=m,l"m，则明夕可能相交，

故“〃/阳”推不出

由an/=/，0C\y=m，allp>由面面平行的性质定理知〃/加，

故“。〃厂”能推出“〃/阳”，

故"〃/利”是"a//”的必要不充分条件•

故选：B.

2.答案：B

解析：fcos—+i-sin—=cos—4-isin—=—i»

I33j3322

在复平面内所对应的点为j-L3〕，在第二象限.

122)

故选：B.

3.答案：C

解析：因为5C=AC-AB=b—a，BD=2DC，

22/,•\-・2/,2，1

所以BD=—BC=-\b-a\»AD=ABBD=a+—\b-a\=-b-a,

33，J3、)33

又因为AK=4E£>，

配以DE=—DA=——\—b-\--a\=——"b——a,

55133yl1515

所以B£=B£>+OE=2仿一_=+

3、)15151515

故选：C.

4.答案：C

解析：因为asin8+bcosA=c，由正弦定理可得sinAsinB+sin68sA=sinC，

又sinC=sin[兀一(A+B)]=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAsinB=sinAcosB»

又A£(0,7t)，所以sinA>0，所以sin8=cos8，则tan5=1，

因为Bw(O,7l)，所以B=

故选：C

5.答案：D

解析：A选项：如图，取CO的中点H,连接G”，FH,4G,AH,易得CDLGH,

CDLAH,CDLFH,则CQJ_平面AG",CQ_L平面AM,所以A,G,77,尸四

点共面，由题意知AG=Hb=6，GH=AF=2,所以四边形AGHF是平行四边形,

所以GH//AF,因为BC//GH,所以BC//AF,所以A,B,C,产四点共面，故A正

确；

B选项：由选项A知AG//F",又AGU平面COb,FHu平面CDF,所以AG〃平面

CDF,因为CD//BE,且BEU平面CD尸，CDu平面CQF,所以BE//平面CDF,又

AGu平面ABE,3Eu平面ABE,且4GD8E=G,所以平面ABE〃平面COR故B

正确；

C选项：由选项A可得C£>_L平面AGHF,又尸Gu平面AGH凡所以产G_LCD,故C

正确：

D选项：假设尸GJ•平面ACD,则FG_LA”,由选项A知四边形AGHR是平行四边

形，所以四边形AG”尸是菱形，与4G=百，G”=2矛盾，故D错误.

6.答案：A

解析：

,+/?+,=J(d+〃+')=J,+W+同2+2小1+2l・(d+b)=J1+4+9+(+2-•("/?)

又c.(〃+Z?)V同,+Z?|=3xJ同-+2〃=3小1+4+；=»当且仅当c与Q+6同向

时取得等号;

故卜+〃+@VJl+4+9+，+2x亭昌*•

故选:A.

7.答案：A

解析：设4={0〈二＜5,因为NAC8=1，所以8=1—a.因为|他=|侬=2,

所以ZACE=NC4f=a，/CEB=2a，ZBCE=--a.

3

化简得?sina=Y^cosa，即tana今故答5y/l

cosa=----

2214

解法一：因sin2a=2sinacosa='叵

14

所以S^ABC=S^BCE十S^ACE=^\CE\'\SE\,/12以十3•人同•sin（7i-2u）

1邛5、cc\25后

=­x---x（2x3+2x2）=-----.

214'714

故选：A.

解法二：在△ABC中，由正弦定理得M耳=㈣,即一三二喘,

sinNACBsiaAsin—上

314

得忸q=?

所以S△生•忸C|sinB=；x5x平xsin仔-a

25>/7(V31.

=-------x——cosa——si

14122

故选:A.

8.答案：B

解析：如图：延长石/，A8交于M,延长EG，AC交于N,延长bG，BC交于。，

易得MN为平面43c和平面EFG的交线，

又。在平面ABC和平面EFG上，则。在直线MN上，即M,N,。三点共线，由外角

定理可得/ANM+4CDN=-.

3

过A作42_1面瓦6，垂足为尸，过A作AQJ_MN，垂足为Q，连接PQ,PN，易得

Z/VVP即为直线C4与平面EFG所成的角a，

AP

则sina=—，又4/>_|_面七尸6,MNu面EFG，则APJ_MN，又AQ_LMN,

AN

4尸,AQu面APQ,AP^AQ=A,

所以MV_L面APQ，尸Qu面APQ，则MN_LPQ，则NAQP即为平面EFG与底面

4P

4?C所成的锐二面角外贝Ijsin8=——,

XsinZ.ANM=»则sina=sin夕sinZ/VW，同理可得5皿夕=5皿，与11/。£)77,贝U

AN

sina+sin£=sin"(sinZANM+sin4CDN),

又由

ZANM+ZCDNAANM—/CDN、

sinAANM=sin(+------2------)

2

=1M+/CDN)g—NM-《DNi/ANM+/CD%-NM-/CDN)

4ANM4-NCDN4ANM-NCDN

sinZ.CDN=sin()

22

./ANM+4CDN、/ANM—/CDN、/ANM+NCDN、./ANM—4CDN、

=sin(----------------------)cos(----------------------)-cos(----------------------)sin(------------------------)

则

・八山•—7r・/NAW+NC0N、,4ANM—4CDN、

sinZANM+sin/CDN=2sin(-------------------)cos(--------------------)

./ANM+/CDN、c.九I

<2sin(-------------------)=zsin—=1»

故sina+sinQ=sine(sinZA7VM+sinNC£W)Wsin。，A,C,错误；

故cos?6=l-sin?6W1-(sina+sin/?『,由a,夕£。弓可知a-夕w'所以

l+2cos(a-/7)>0»

即l+2cosacos£+2sinasin£>0,整理可得

sin?a+cos2a+sin2p+cos2p+2cosacos夕+2sinasin夕一1>0,

即(sina+sin/?)~+(cosa+cos/7)‘一1>0，(cosa+cos/?)2>l-(sina+sin^)2，

故cos2〃=lsin21(sinaFsin<(cosa\cos/?)2»又cosa,cos/7,cos。20,故

cos。<cosa+cos/，B正确，D错误.

故选：B.

9.答案：AC

解析：设Z]=4+/?i,z2=c+di(a,b,c,dGR),则4=〃一〃i,z2=c-d\.

选项A：zx+z2=a+b\+c+d\=(a+c)+(b+d)\,^|z,+z2|=0,则a+c=0,b+d=0.

用以4+G=〃一Z?i+c-$=(a+c)-(b+d)i=0,即4=-^,故A一定成立.

2222

选项B：|Zj|=\la+bf|z2|=y/c+d,若团=|zj,则02+62=/+/

①.z：=4?+2而i+Si)2=/-从+2abi,同理z；=/一/+2cdi,若z；=z；,则需满足

a?-y=d-d?且ab=cd,与①式不同，故B不一定成立.

22

选项C：|2|22|=|(a+bi)(c+di)|=\(ac—bd)+(ad+bc)\\=yj(ac-bd')+(ad+bc),

区引=|(a—bi)(c-ch)\=\(ac-bd)-(ad+bc)i\=\](ac-bd)2+(ad+bc)2,所以

匕司=忸引,故C一定成立.

222

选项D：(Z[+z2)=[(a+c)+(b+d)if=(a+c)-(Z?+J)+2(a+c)(Z?+J)i@,

2222

(?!+z2)=[(a+c)-(b+J)i]=(«4-c)-(b+d)-2(a+c)(b+d)\,与②式不同，故D不

一定成立.

10.答案：ACD

解析：设弧AO所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为，

因为弧AO的长度是弧5c长度的3倍，-/?=3x^r，即尺=3r，

22

/.CD=/?-r=2r=2»/.r=l»R=3，

所以弧AD的长度为3兀，故A正确；

2

曲池的体积为V=(；兀A?-;兀/)XA4]=(；兀X3?-;兀X『)X5=10兀，故B错误；

曲池的表面积为■兀R?-‘兀，x2+f—7t/?+—7trx5+2x5x2

144J122)

(ii\fi]、

=—7TX32——7ixI2x2+—7ix3+—7tx1x5+20=20+14n,故C正确；

144J122J

三棱锥4-CC]。的体积为」xLx2x3x5=5，故D正确.

32

故选：ACD.

11.答案：AD

解析：对于A选项，如图，若•伍-。=0,则C4・C8=0,所以C4_LCB,又

albf所以NAO8+ZAC8=7r,所以O,A,B,C四点在同一个圆上，故A正确;

先•于B选项，若(〃-c)・伍-c)=0,由A选项知，O,A,B,C四点在同一个圆上，

又卜卜则其长度为圆上弦的长度.当线段。C为该圆的直径时，卜|最大，且最大

值等于卜@=』『+忖2=夜,故B错误；

定于C选项，由题可得A,B,C均在以。为圆心、1为半径的圜上，

设OA=(cosa,sina)»OC=(cossin〃)，又OA_LOB,贝ij

0B=cos]+a),sin]+a)=(-sina,cosa).其中a,/?£[0,2兀).

则.仅-c)

=OA-OC^-(OB-OC^=(cosa-cossincr-cos/7)+(sina-sin/)(cosa-sing

=sinacos/一sin/cosa-(cosa8s/+sinasin/)+1

=sin(a-^)-cos(a-/7)+l=1+V2sin0一/一；卜1+血,

当。一6=兰37r时取等号.故C错误.

4

定于D选项，由C选项分析结合C=M+)力可知"°sP=xcosa-ysina

sinp=xsina+ycosa

又,=1,则(xcosa-ysinaf+(xsina+ycosa1=1

=>x2(cos2a+sin2a^+y2(cos2a-Fsin2a)-2盯cosasina+2Aycosasina=1

nd+y2=],

则由重要不等式有：(x+y)2=d+y2+2xy<2(X2+/)=2.

得x+y之-&,当且仅当x=y=--梳时取等号.故D正确.

故选：AD.

12.答案：1

解析：方程“2一2工+2=0，即（x-l『=一1=i?，解得％=1+i或z=1-i，

若z=l+i，则i・z=i（l+i）=-1+i,所以i.z的虚部为1；

若z=l—i，贝Ui•z=i（l—i）=1+i，所以i.z的虚部为1；

综上可得i.z的虚部为1.

故答案为：1

13.答案：叵或」屈

33

解析：设△ABC的中心为。，则POJ•底面4BC，延长尸O至Q，

使得PO=QO，则NP=NQ,:.NM+NP=NM+NQNMQ.

由三条侧棱24，PB，PC两两垂直且相等，

故可以Q4，PB，PC所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,

由口4=2,则P（0,0,0）、M（0,0,1），AB=AC=BC=2y/i，

由对称性可设Q（a,〃,a）,则有尸0=J/+/+/=2x^=竽

'故。件若

解得

3

NM+NP的最小值为叵.

3

故答案为：叵.

3

14.答案：18百

^A^-3ABAM-2ACM(AB+4C)

网|AC|\AB+AC\

则AM//EN，ANIIME四边形AMEN为平行四边形，

\AB\_\AM\_3

|，M|=2，|AN|=2，|A£|=M，

\AC\~\AN\~2

3222-19]2n

cosZEAA/=---+------=——ZEAA/

2x2x323

又四边形AMEN为平行四边形，.•.NBAC=巳

3

DADC=DA(DA+AC)=DADA+DAAC

向H的+"H初8s与向T向H码

=(\DA\-\AC\)2-^-\ACf

416

当且仅当：|D4|=；|AC|时等号成立，」.|AC|=4w

故SfM=5A3||AC|sin5=：|AC|2.等句8百

故答案为：186

15.答案:(1)-1

2

（2）—.

5

解析：（1）因为£=（1,0），人=（2,1），

所以屈=2J-5=2（L0）-（2,1）=（0,-1），8d=a+加=（1,0）+也（2,1）=（2次+1,加），

因为4,B,C三点共线，

用以A8//8C，

用以一1（2根+l）=0x机，解得加=-：.

（2）因为3_〃=刈1,0）_（2,1）二化一2,-1），

〃+3=(l,0)+2(2,l)=(5,2)，

又ka-b与a+2b垂直，

.•.(如一/?)•(〃+%)=(A-2)x5+(—l)x2=0,解得女二£.

16.答案：(1)z=4—2i

(2)(2,6)

解析：(1)设2=%+何，(R,ytR),所以z+2i=x+(y+2)i,

z_x+yi_(x+yi)(24-i)_2x-y+(x+2y)i

2^1-2-i-(2-i)(2+i)-5-

由条件得，y十2=0且入+2y=0,

所以x=4，y=—2t所以z=4—2i，

(2)(z+ai『=(4-2i+〃i)2=(12+4〃一〃2)+8(a-2)i，

由条件得已+而［/>0,

8(a-2)>0

解得2<〃<6,所以所求实数。的取值范围是(2,6).

17.答案：(1)四边形OEFG是矩形，理由见解析；

(2)叵,

10

解析：（1）四边形£）E/7G是矩形，下面给出证明:

因为AV/CG，由题意CG〃平面OEFG，BCi〃平面DEFG，

CC,OBC,=G，CC\,BC\U面BCC[B],

所以平面BCCM〃平面OEFG，又平面ABgan平面DEFG=QG，平面48用4。平

面BCCM=BB],

所以。G//B用，同理EF〃CCj又CCJ/BB〉

所以DGHEF，同理DEHBCHB.CJ/GF,

所以四边形G是平行四边形.

取3C中点P，连接AP、A/，则AP_L8C

又因为△AB41所以AB=AC,故有A/_13c.

AP>AP交于尸且都在面AA/内，所以8CJL平面44/，又AA|U面AAP，

所以8C_L⑨，

综上知：DELDG，即四边形。EFG是矩形.

（2）设尸到平面ABC的距离为为，即为A到平面ABC的距离.

作A"J_AP交A尸于点”，由（1）及5。在面ABC内知：平面"fJ■平面ABC，

而AP为两垂直平面的交线，4月在面AAiP内，所以A4_L平面A3C，"=

设直线O厂与平面ABC所成角为明贝人皿。=4-.

DF

设例=3,在△A8A中余弦定理知：”=59+4-6夜=川3-6&=4。，

在△ABC中，=八"-1=>2-6右,

在中，AP=£，8$4尸:第+.尸—4产,",所以sin/AAP二立，

2A•AP33

h=A}H=AA,^nZAiAP=y/3-

DF=VfUI+DGy=Vi+9=>/i0,

所以直线。尸与平面ABC所成角的正弦值为叵;

10

解法二：设O/与面ABC所成角为仇尸到面43。距离为〃，设BC中点P，

立

因为面例P_L面48C，所以c。sNAAP=鼠金;=击=当’

T

所以/1=忆的=MsinZA/AP=3息=6

A-AHL-1I3，

又在矩形。EFG中，OR=历1=痴，所以sinO=-L=^

DF10

解法三：向量法

作CO垂直AA交A4于。，连接50，易知△ACg/XABO，则8。_141

所以NCOB即为二面角C-A4,-8的平面角，CB=2,CO=RO=6，

疔以CCP+BO?=BC?，所以NCOB=90。，即OC_LOB，

如图以O为坐标原点，。4、03、OC分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,

则4（—夜,0,0）,网0,£0）,C（0,0,⑹，。［-冬，F3-冬6用

所以通=（应，应,0）/=0.⑹，

设面A3C的法向量为丘=（x,y,z）则卜“'二9+9=°,令/=1，得），=-1,

nAC=>J2x+42z=0

z=—1f贝U=，

正卜也当,

\272

设O尸与面A8C所成角为。，

・力_/nr.\_M"_3_而

\/\DF[\nV3010

18.答案：（1）2则、

⑵坦

91

解析：（1）在△A3C中，A8=4，AC=10，N84C=60。，

由余弦定理得j=120°—8c2,

22x4x10

解得BC=2jg，（负值舍去）

故8。=2晒；

（2）以4为坐标原点建立平面直角坐标系，得A（0,0）,C（10,0），设5（%,），），

由两点距离公式得炉+y2=]6，口一10）2+y2=76,

解得x=2，y=2由，（负根舍去），

所以B（2,2JJ）,又8C边上的中点为M,AC边上的中点为M则N（5,0），

M（6,V3）,

所以AM'=（6,@,BAT=（3,-2^）,

八wAMBN18-6124回

则

COS4MPN=i_q-j_7;

川AM.叫436+6可+卜2对V39xx/21-91

（3）由已知得尸为△48C的重心，则空=2,设匹=〃，生

BN3BABC

则3。=2时=」（胡+8。）=！（，86+48尸],又点尸在直线斯上,

33'731Pq）

所以1—+—=1,即,+」=3,X0<p<1»0<（7<1,

3【pq）Pq

所以‘21,-=3--<2,

ppq

所以_113-，］二2/，3丫9

一〈一,

plP）41p214

_1_1、4

所以"一口_]（]）一§,

—x——x3--

〃4〃IP）

—xBExBFxsinZABC/

所以S△诋2_pxAABDxqxBC

J△八8c-xsinZABCxABxBCABxBC

2

0S△