陕西省西安市2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

陕西省西安市长安一中2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线6：以+2y+4=0,/2:x+(t?-l)y+2=0,贝!)“a=T”是“人工”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.如图，圆。是边长为2指的等边三角形ABC的内切圆，其与边相切于点。，点〃为圆上任意一点，

BM=xBA+yBD(x,ywR),则2x+y的最大值为()

A.V2B.73C.2D.272

3.平行四边形ABC。中，已知AB=4,AD=3,点E、尸分别满足花=2第，DF=FC，且=

则向量AD在A3上的投影为()

33

A.2B.—2C.—D.-----

22

4.函数g(x)=Asin(a>x+0)(A>O,O<0<2;r)的部分图象如图所示，已知g(0)=g卜班，函数y=/(x)

的图象可由y=g(H图象向右平移W个单位长度而得到，则函数/(%)的解析式为()

A./(%)=2sin2xB./(x)=2sin2x-\——

C./(%)=-2sinxD./(x)=2sin2x----

5.对于定义在R上的函数y=/（%）,若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）

A./（九）在（f,0］上是减函数B./（九）在（0,+。）上是增函数

C./（九）不是函数的最小值D.对于xeR,都有=—%）

6.已知随机变量X的分布列是

X123

j_1

Pa

23

贝!|石（2乂+。）=（）

57723

A.-B.-C.—D.—

3326

7.集合P={xwN|-2<%-1<2}的子集的个数是（）

A.2B.3C.4D.8

c1«1兀

8.66cosla-——“是=■—,左£Z”的（）

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

9.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

10.已知椭圆1+2=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳、骂，过£的直线交椭圆于A，5两点，交y轴于点M,

若打、”是线段A3的三等分点，则椭圆的离心率为（）

A.-B.3C.—D.6

2255

11.已知二次函数/（》）=k—+”的部分图象如图所示，则函数g（x）="+/'（x）的零点所在区间为（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

12.已知i为虚数单位，实数乂V满足(x+23=y—i,贝力x—».|=()

A.1B.y/2C.6D.75

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.如图，已知圆内接四边形A5CD,其中A5=6,BC=3,CO=4,AD=5,则二一+-——=

sinAsinB

D

C

14.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2））,其

中。=44=4A==AA=i，则A4•4A的值是.

15.在平面直角坐标系中，点尸在直线y=2x上，过点尸作圆C：（%—4了+V=8的一条切线，切点为T.若

PT=PO,则PC的长是.

16.假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为乙，乙跑出优秀的概率为,，丙跑出优秀的概率为工，则甲、乙、丙三

324

人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=|x+l|-2|x-a|,a>0.

（1）当。=1时，求不等式/。）>1的解集；

（2）若Ax）的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求。的取值范围.

18.（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携

带这样一对遗传因子：A使之开红花，。使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：A4为开

红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，为开白色花.生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包

含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以!

的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的.可以把第“代的遗传设想为第九次实验的结果，每一次实

验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子4,如果抛出反面就选择因

子a,概率都是上，对母系也一样.父系.母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状.假设三种遗

2

传性状A4,Aa（或《A）,aa在父系和母系中以同样的比例：〃：v:w（〃+v+w=l）出现，则在随机杂交实验中，遗

传因子A被选中的概率是P=M+],遗传因子。被选中的概率是4=称p,q分别为父系和母系中遗传因子

A和。的频率，。：4实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比.基于以上常识回答以下问题：

（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是Aa,后代遗传性状为A4,Aa（或oA）,的概率各是多少？

（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状以具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状

为A4和Aa（或M）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为。，。被选中的概率为心

p+q=l.求杂交所得子代的三种遗传性状A4,Aai^aA）,所占的比例%,匕,明.

（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为勿?的个体假设得到的第九代总体中3种遗传

性状A4,Aa（或oA）,或?所占比例分别为％匕,叱（4+匕+叱,=1）.设第"代遗传因子A和。的频率分别为必和

%+%%.证明,是等差数列.

qn,已知有以下公式“

PnELI",--

（4）求M,,V〃，叫的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？

19.（12分）如图，在三棱锥A-3C。中，AB±AD,BCLBD,平面平面3C。，点、E,尸（E与A,。不重合）

分别在棱A。，8。上，MEF±AD.

求证：（1）E歹〃平面A5C；

（2）AD±AC.

20.（12分）在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,4c,若岛=》（sinC+逐cosC）.

（1）求角3的大小;

77

（2）若A=9，。为AABC外一点，DB=2,CD=1,求四边形A3。。面积的最大值.

X2y2

21.（12分）如图，椭圆二+i(«>6〉0）的长轴长为4,点4、B、。为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点,

a"b2

过中心O,且忸q=2|AB|,5AAec=3.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P、。是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C),且满足NP8C=NQR4,试讨论直线8?与

直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.

22.(10分)设函数/(x)=e*+2ar-e,g(x)=-lnx+ot+a.

(1)求函数/(九)的极值；

(2)对任意都有/(x)Ng(x),求实数”的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.

【详解】

直线《：ax+2y+4=0,12:x+(a-l)y+2=0,《6的充要条件是a(a-l)=2na=2蜘=一1,当a=2时，化

简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-l.因此得到“a=-1”是“小山”的充分必要条件.

故答案为C.

【点睛】

判断充要条件的方法是：①若p=q为真命题且qnp为假命题，则命题P是命题q的充分不必要条件；②若p=q为假

命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p=>q为真命题且q=>p为真命题，则命题p是命题

q的充要条件；④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与

命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.

2、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到；x/周长xr=S=；xA3*ACxsin60°,

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B(-A0),C(V3,0),4(0,3),£>(0,0),21/(008a1+8111^)

8M=(cose+"l+sine),BA=(V3,3),BD=(A/3,0)

故得到BM=(COS0+V3,l+sin8)=(^3x+百y,3x)

故得至Ucos0=#>x+s/3y-A/3,sin6=3x—1

1+sin9

x=---------

3ccos6*sin。42.,、4

2x+y=---------F—=—sin(9+0)+—W2.

cos0sin02x/33333

+—

3

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

3、C

【解析】

ADAB

将ARBE用向量和A3表示，代入AP-3E=-6可求出AD-AB=6，再利用投影公式卜@可得答案.

【详解】

解：AFBE=^AD+DF^BA+AE^

-2-1-——1-2

=ADAB+AD-AD——AB-AB+-AB-AD

3223

42,1,

=-ADAB+-x3"——x42=6,

332

得ADAB=6，

ADAB63

则向量AD在A3上的投影为一网—=W=

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量AD和A5表示是关键，是基础题.

4、A

【解析】

T57r71

由图根据三角函数图像的对称性可得—=工-2乂上=利用周期公式可得①，再根据图像过百），即

266

可求出9,A,再利用三角函数的平移变换即可求解.

【详解】

由图像可知三=笆—2x^=工，即7=万，

2662

27r

所以T=—,解得①二2,

又=45m12乂£+夕］=0,

JT

所以0=左兀（左eZ）,由0＜夕＜2»,

所以。=事或9，

又g⑼=G,

所以Asin°=(A>0),

所以夕=方-,A=2>

即g(x)=2sin^2x+-^^,

因为函数y=f(x)的图象由y=g(x)图象向右平移三个单位长度而得到，

所以y=/(X)=2sin2(x—5)+等=2sin2x.

故选：A

【点睛】

本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属

于基础题.

5、B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由/(x+l)=/(l—X)得/■(%)关于X=1对称,

若关于x=1对称，则函数fM在(0,+8)上不可能是单调的，

故错误的可能是3或者是。，

若。错误，

则/⑴在(F,0］上是减函数，在/Xx)在(0,+8)上是增函数，则/'(0)为函数的最小值，与C矛盾，此时。也错误,

不满足条件.

故错误的是3,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

6、C

【解析】

利用分布列求出。，求出期望E（X）,再利用期望的性质可求得结果.

【详解】

由分布列的性质可得!+工+。=1,得。=工，所以，E（X）=lx-+2x-+3x-=-,

2362363

因此，E（2X+a）=El2X+1U2E（X）+|=2x|+|=|.

故选：C.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查.

7、D

【解析】

先确定集合产中元素的个数，再得子集个数.

【详解】

由题意P={xeN|—l<x<3}={0,l,2},有三个元素，其子集有8个.

故选：D.

【点睛】

本题考查子集的个数问题，含有〃个元素的集合其子集有2〃个，其中真子集有2"-1个.

8、B

【解析】

先求出满足cos2。=-1的a值，然后根据充分必要条件的定义判断.

2

【详解】

|_2»7C]7T_

由cos2a=——得2tz=2左万土——，即（z=左左土一，kwZ,因此“cos2a=——"是=■—,上eZ”的必要

23323

不充分条件.

故选:B.

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

9、D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知,

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

10、D

【解析】

根据题意，求得AM,6的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为中点，々为3M中点，

故可得啊+XA=2XM=0,故可得％=。；

2212i2

代入椭圆方程可得二+二=1,解得'=±幺，不妨取以=幺，

abaa

(b2\

故可得A点的坐标为c,—,

Ia)

(b2}(b2}

则M0,—,易知5点坐标—2c,一丁，

2aJI2aJ

将3点坐标代入椭圆方程得“2=5C2,所以离心率为逝，

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A瓦加点的坐标，属中档题.

11、B

【解析】

由函数/U)的图象可知，0<八0)=。<1,f(i)=l-b+a=o,所以

又八x)=2x一瓦所以？(》)=廿+21：一方，所以短(丫)=廿+2>0,所以g(x)在R上单调递增，

又g(0)=l—Z>V0,g(l)=e+2-Z>>0,

根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0,1),

故选B.

12、D

【解析】

(、JC——1

^x+2i)i=y-i,-2+xi=y-i,,

贝!||尤_»[=|—l+2z[=6.

故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4710

3

【解析】

由题意可知A+C=»,B+D=7i,在AABZ）和A6CD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos6,求sinA,sin6,代入求值.

【详解】

由圆内接四边形的性质可得NC=180。-NA,N£>=180。-N瓦连接3。，在A/WZ）中,

<BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA•在ABCD中，BD~=BC2+CD--2BC-CDcosC.

所以AB?+人加—2ABADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

所以sinA=Vl-cos2A=Jl-(y)2=

2(ABAD+BC-CD)2(6x5+3x4)7

A3?+5c2-AD?一CD?62+32-52-42_1

连接AC,同理可得cos5=

2(AB-BC+AD-CD)2(6x3+5x4)-19

处.所以2+^=旦+也2=也

所以sin3=Jl-cos?B

19sinAsinB25/1067103

故答案为：平

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是

熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.

14、里

7

【解析】

先求出向量44和4A夹角的余弦值，再由公式即得.

【详解】

如图，过点作的平行线交。于点那么向量和夹角为N

44443,44%4，^OA7AS=90,

.•.NA34=90,•.・N&OA=N%4，04=44=1,且△。44是直角三角形，二。4=血，同理得

CMg=&,=S，，cos(A4,44)=sinZ246A7。=，；•A>44。=1义1/^^=

故答案为：叵

7

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量A4和4A的夹角.

15、V13

【解析】

作出图像，设点P（p,2p）,根据已知可得PC?,PT2=PC2-TC2,且PT=PO,可解出P,计算即得.

【详解】

如图，设P（p,2p）,圆心坐标为（4,0）,可得PC2=（p—4j+4p2=5p2—8p+16,

PT2PC2-TC2^5p2-8p+S,P0?=5p2,

PT=PO,;.5p2—80+8=5/,解得，=1,.•.PC?=5/—8^+16=13,

即PC的长是

故答案为：V13

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.

【解析】

分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.

【详解】

刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为滑其二是只有甲、丙

两人跑出优秀的概率为I、卜;=\；

其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为=三种情

况相加得工+」+L=-•即刚好有2人跑出优秀的概率为：.

4122488

3

故答案为：-

O

【点睛】

本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I){x||<x<2}(II)(2,+oo)

【解析】

试题分析：

(I)由题意零点分段即可确定不等式的解集为x<；

(II)由题意可得面积函数为为|(«+1)\求解不等式|(a+l)2>6可得实数a的取值范围为(2,转)

试题解析：

(Z)当a=l时，/(尤)>1化为|x+l|—2|x—1]—1>0,

当xW—1时，不等式化为1—4>0,无解；

2

当—1<%<1时，不等式化为3x—2>0,解得一<x<l；

3

当1之1时，不等式化为—x+2>0,解得lWx<2.

所以/(%)>1的解集为卜g<x<.

x-l—2Q,x<—1,

(〃)由题设可得，/(%)=<3x+l-2^,-1<x<<2,

-x+\+2a,x>a,

所以函数八％)的图像与X轴围成的三角形的三个顶点分别为B(2a+l,0),c(a,a+l),

22

AABC的面积为.

由题设得g(a+l)2>6,故a>2.

所以”的取值范围为(2,+8)

111。，

18、(1)A4.Aa(或a4),的概率分别是一，一，一.(2)%=/^，丫=2。/吗=Q(3)答案见解析(4)答

424

案见解析

【解析】

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(2)利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

(3)由⑵知/+1=。/,均+1=2，〃”,叱+i=q『，求出p“+i、qn+1,利用等差数列的定义即可证出.

(V

]]aL

(4)利用等差数列的通项公式可得一=-+(«-1),从而可得qn=V~-,再由w„+1=纵2=_J_,利用式子

Qn11+7应U+q"

的特征可得叫越来越小，进而得出结论.

【详解】

(1)即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是工，

2

故A4出现的概率是Lx』，Aa或M出现的概率是Lx1+Lx』=2,

2222224

aa出现的概率是一x—

22

所以：AA>Aa(或aA),的概率分别是一，—?—

424

(2)%=°2,匕=2pq,W]=/

(3)由(2)知M"+]=pj#"+]=2PM，吗+i=/2

11+""+1小学

于是":"21

P"+i—1

1—%i-q：1+纵

为+1

2

%+i=1p.q._p“q“_q”

1一町+ii-q：(i-%)(i+q〃)i+%

是等差数列，公差为i

ii/八

(4)—=-+(«-1)

为1

匕2pq

其中，=二二二，二(由(2)的结论得)

1]_嵋I-/l+q

11q

所以一=—+n=>q„

q”(7il+〃q

(、2

于是，吗+i=%2q

11+邑)

/p+nq'2

p+nq2

Pn

^1+nqy

SRc”c.p万(p+寸nq)

/、2

q

很明显wn+1，〃越大，吗+1越小，所以这种实验长期进行下去,

必越来越小，而明是子代中w所占的比例，也即性状M会渐渐消失.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属

于中档题，

19、(1)见解析(2)见解析

【解析】

试题分析：（1）先由平面几何知识证明历〃AB,再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性

质定理得平面9，则再由A5LAO及线面垂直判定定理得A。，平面A5C,即可得

ADLAC.

试题解析：证明：（1）在平面ABZ）内，因为ABLA。，EF±AD,所以跖IAB.

A

又因为Eba平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

（2）因为平面AB。J_平面BCD,

平面ABDC平面BCD=BD,

5。匚平面3皿，BC±BD,

所以BC,平面AB£）.

因为AOu平面AB。，所以BC,AD.

又A5_L4O,BCcAB=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以AZ）_L平面ABC,

又因为ACu平面ABC,

所以AO_LAC

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）

证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

、

20（1）B=-（2）^1+2

34

【解析】

r-71

（1）根据正弦定理化简等式可得tan5=g,即Buy；

（2）根据题意，利用余弦定理可得502=5—4COSQ，再表示出SAB比=sin。，表示出四边形5的°，进而可得最

值.

【详解】

(1)百a=6(sinC+百cosC),由正弦定理得：sinA=sinB(sinC+A/3COSC)

在AABC中，sinA二sin(5+C),则由sin(B+C)=sinBsinC+A/3sinBcosC,

即GcosBsinC=sinBsinC，

sinCw0,/.A/3COS3=sin3,即tanB=百

7T

(2)在ABCD中，BD=2,CD=1..BC2=12+22-2xlx2xcosD=5-4cosD

TT=1BC2xsinj=^l-73cosD

又A=1,则AABC为等边三角形，S^c

又SBDC=；*BDxDCxsinD=sinD,

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SABCD=+sinD—A/3COSD=~~~+2sin(D-y)-

二当。=包时，四边形ABC。的面积取最大值，最大值为迫+2.

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【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题.

22

21、（1）—+^=1;（2）详见解析.

43

【解析】

试题分析：（1）利用题中条件先得出。的值，然后利用条件忸Cj=2|A4,5®°=3结合椭圆的对称性得到点3的坐

标，然后将点3的坐标代入椭圆方程求出b的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件=

NQBA得到直线BP与3。的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线旅的方程为y-5=左（犬-1）,将此直线

的方程与椭圆方程联立，求出点p的坐标，注意到直线第与3Q的斜率之间的关系得到点。的坐标，最后再用斜率

公式证明直线PQ的斜率为定值.

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（1）\BC\=