2024年山东省济宁市北湖区中考二模考试九年级数学试卷(含答案)

2024年山东省济宁市北湖区中考数学二模试卷

一、单选题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项）

1.（3分）四个实数-1，0,2,g中，最大的数是（）

3

A.-AB.0C.2D.V3

3

2.（3分）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北斗”三号卫星

导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度I纳秒=1X10-9秒，那么20

纳秒用科学记数法表示为（）

A.2X10-8秒B.2X10”秒c.20X10-9秒D2Xl（）r0秒

3.（3分）小华将一副三角板（NC=NO=90°,/8=30°,NE=45°）按如图所示的方式摆放，其中48

〃EF,则N1的度数为（）

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.1・3。)3=-9x56y73

B.(a+b)(a+b)=a2+Z>2

D.(?)3=?

5.（3分）下列说法正确的是（）

A.将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件

B.抛出的篮球会下落是随机事件

C.了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式

D.若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定

6.（3分）已知反比例函数y1■同一象限内的图象上有两个点A（xi,yi）,B<x2,*）,且满足（XLX2）（yi

X

-”）>0则直线-女不经过第（）象限.

A.-B.二C.三D.四

7.（3分）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销

1

售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆.如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽

车销售量的平均年增长率为为那么可列出方程是（）

A.20（l+2v）=31.2B.20（l+2x）-20=31.2

C.20（1+x）2=31.2D.20（1+x）2-20=31.2

8.（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

主视图左视图

<-5•>

俯视图

A.125“B.10（h/3C.75V3D.3OV3

9.（3分）如图1,点P从菱形A8CO的边4。上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到

点C停止，设点P的运动路程为x,点尸到A8的距离为山，到CO的距离为小且y3（当点P与点C

m

重合时，了=0）,点P运动时），随x的变化关系如图2所示，则菱形A4co的面积为（）

A.677B.577C.10D.6

10.（3分）如图，正方形448的边长为4,它的两条对角线交于点O,过点。作边的垂线，垂足为Mi,

△OBMi的面积为Si,过点何I作OC的垂线，垂足为M2,△△0M1M2的面积为S2,过点M2作8C的垂

线，垂足为Mb2M3的面积为S3,…2MgM〃的面积为S”，则S1+S2+S3+…+S〃=（）

2

A.4B.4-（A）niC.4-（A）〃-2口.4-（A）〃-3

222

二、填空题（每空题3分，共15分.只要求填写最后结果）

11.（3分）写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是（1,3）.这个二次函数的解析

式可以是.

12.（3分）已知x=-2是方程/+〃认+〃=0的一个根，则代数式4m2-4/沏+/的值是.

13.（3分）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传

承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米.则

离地面150米处的水平宽度（即8的长）为.

图①图②

14.（3分）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元

一次不等式组为该不等式的“子集如：不等式组2x-3<9-x的解集为・3WxV4,不等式2x-1>-9

5x+5〉2x-4

的解为-4,

•・・+3WxV4在・4的范围内,

・"元一次不等式组9-x是一元一次不等式2x7>-9的“子集”.

.5x+522x-4

若关于x的不等式组［3x-£>2-x是关于工的不等式的“子集”，则上的取值范围是__________

x-l〉4x-10

aaa

a1|a+I3।f.....f।2023।।2024।

15.（3分）已知aW0（i=l,2,…，2024）,且满足条件一+------2-

ala2a3a2023a2024

1012,任取一个i值,则直线y=a*Ki=l,2,・・・,2024）经过一、二、四象限的概率为.

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

I6.（5分）先化简，再求值：—，其中x满足W+x-2024=0.

x+1X2+2X+1

17.（7分）为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，我市举行了国家安全知识竞赛.竞赛结束后，发现所

3

有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分.小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组:

A组（60«70）,B组（700V80）,。组（8O0V9O）,。组（904W100）,绘制了不完整的频数分

布直方图和扇形统计图.

学生成绩的频数直方图学生成绩的扇形统计图

（1）补全学生成绩的频数分布直方图；

（2〕在扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为,本班成绩的中位数落在第组（填

A,B,。或。）；

（3）请根据小明所在班级的成绩，估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有多少人；

（4〕该班要从参赛成绩在A组的3名男生和1名女生中抽取2人参加国家安全知识讲座，请用列表或画树

状图的方法，求抽到一名男生和一名女生的概率.

18.（7分）如图所示，直线y二八x+4与双曲线y支（x>0）交于八（2,〃），B两点,与y轴交于点D

2x

（1）求匕n的值；

⑵在y轴上有一点C,满足SMOC=S"O8,求点C的坐标；

19.（8分）2024年初，某学生小组参加为期90天的创新创业大赛，前往当地销售某种特产.已知该特产的每

件成本为40元.组长经过市场调研，列出了以下表格：

4

①该特产90天内时间和日销量的关系如表:

时间（第x天）13610

日销量（。件）198194188180

②该特产90天内时间和销售价格关系如表：

时间（第x天）l^x<50x，50

销售价格（元/件）x+60100

（1）设销售该商品每天利润为y元，请写出y与x的函数表达式，并求出90天内该产品的最大利润；

（2）比赛规定，4在90天内只要有25天满足日销售利润不低于5400元，小组即可晋级，请你判断：该

小组（填“能”或“不能”）顺利晋级，

20.（8分）如图，A8是。。的直径，点七是。8的中点，过点E作弦CD_LAB,连接AC,AD.

（1）求证：△ACO是等边三角形；

（2）若点尸是标的中点，过点C作。G_LAF,垂足为点G.若。。的半径为2,求CG的长.

21.（9分）定义：顶角相等且顶点重合的两人等腰三角形叫做“同源三角形”,我们称这两个顶角为“同源角”.如

△ABC和为“同源三角形"，AC=BC,CD=CE,NAC5与ND”为"同源角

A

A

CDD

图1图2图3

（1J如图必48。和a8七为“同源三角形"，N4CB与NOCE是“同源角”，请你判断AD与BE的数量

关系，并说明理由；

（2）如图2,若“同源三角形”△ABC和△©£>£上的点8,C,。在同一条直线上，且NACE=90°,求

5

sin/EMO的值；

（3）如图3,/XABC和△COE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取4。，BE的中点

Q,P,连接CP,CQ,PQ,试说明是等腰直角三角形.

22.（11分）抛物线y=/-4x与直线产x交于原点。和点B,与x轴交于另一点A,顶点为D

（1）求出点8和点。的坐标；

（2）如图①，连接OQ,P为x轴的负半轴上的一点，当tan/PDO」时，求点尸的坐标；

2

（3）如图②，M是点8关于抛物线的对称轴的对称点，。是抛物线上的动点，它的横坐标为机（0<机<5）,

Si

连接MQ,BQ,MQ与直线08交于点E,设△BE。和的面积分别为Si和S2,求」■的最大值.

S2

参考答案与试题解析

一、单选题（每小题3分.共30分.下列各题只有一个正确选项）

1.（3分）四个实数-1，0,2,g中，最大的数是（）

3

A.-AB.0C.2D.V3

3

【解答】解：V-A<0<V3<2,

3

•・・在实数-工，0,2,如中，最大的数是2,

3

故选：C.

2.（3分）星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北斗”三号卫星

导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度1纳秒=1X10"秒，那么20

纳秒用科学记数法表示为（）

6

A.2X10"秒B2X10-9秒c.20X10-9秒D.2X1010秒

【解答】解：用科学记数法表示20纳秒为20X1X10-9秒=2X10-8秒.

故选：A.

3.（3分）小华将一副三角板（NC=/O=90°,NB=30°,ZE=45°）按如图所示的方式摆放，其中A8

〃用'，则N1的度数为（）

【解答】解：设4B与。尸交于点O,

由题意得，/尸=45°,ZA=60°,

'JAB//EF,

：.ZAOF=ZF=45O,

AZI=1800-ZA-ZAOF=180°-60°-45°=75°.

故选：C.

4.(3分)下列运算正确的是()

A.(-3//)3=-9x6y3

B.1a+b)(a+b)=cr+b1

032/12x44

c.4乂y•(-yxy)=-2nxy

D.(X2)3=/

【解答】解：A、(-3?y)3=-27x6/,故本选项错误;

B、(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,故本选项错误；

。、402•(-Ixy2)=-2x4/,故本选项正确；

2

。、：x2)3=/，故本选项错误：

故选：C.

5.（3分）下列说法正确的是（)

7

A.将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件

B.抽出的篮球会下落是随机事件

C.了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式

D.若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定

【解答】解：4、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故4不符合题意；

以抛出的篮球会下落是必然事件，故E不符合题意；

C了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；

。、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定，故。符合题意；

故选：D.

6.（3分）已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点A（XI,yi）,BGz*）,且满足（加・应）（ji

x

-J2）>0则直线不经过第（）象限.

A.-B.二C.三D.四

【解答】解：•・•反比例函数y工同一象限内的图象上有两个点A（XI,yi）,B（X2,”），且满足（XI-X2）

X

（yi-yi）>0>

••・同一象限内y随工的增大而增大，

：.k<0,

：.-k>0,

・・・一次函数的图象经过第一、二、四象限，

・・・不经过第三象限，

故选：C.

7.（3分）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的俏

售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆.如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽

车销售量的平均年增长率为人那么可列出方程是（）

A.20（l+2x）=31.2B.20（l+2x）-20=31.2

C.20（1+x）2=31.2D.20（1+x）2-20=31.2

【解答】解：根据题意得：20（1+x）2-20=31.2.

故选：D.

8.（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

8

主视图左视图

<<5•>

俯视图

A.125V3C.75时D.3OV3

【解答】解：这个几何体的体积=6X近X52X2=75“,

4

故选:C.

9.13分）如图1,点尸从菱形ABCO的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到

点C停止，设点尸的运动路程为小点尸到A8的距离为机，到CO的距离为〃，且丫金（当点P与点C

m

重合时，y=0）,点尸运动时），随x的变化关系如图2所示，则菱形ABC。的面积为（）

图1图2

A.677B.5V7C.10D.6

【解答】解：连接AC,8。交于点O,连接0P,如图，

由题意知，当0WxW2时，），的值恒等于1,

；.m=n,

.••点P的运动路径是△4OC的中位线，且CD=2X2=4.

•・•些x=5时，y=0,

・・・0C=3.

由菱形的性质可得AC=2OC,80=20。，AC±BD,

9

，AC=2OC=6,

••・OO=VCD2-0C2=V7.

・•・80=200=2"

，S挺形A8e=2BO・AC=2X2V7x6=6V7,

22

故选：A.

10.（3分）如图，正方形ABC。的边长为4,它的两条对角线交于点O,过点。作边8c的垂线，垂足为Mi,

△OBMi的面积为Si,过点Mi作OC的垂线，垂足为M2,△△0M1M2的面积为S2,过点M2作BC的垂

线，垂足为M3,ZWiM2M3的面积为S3,…〃一2M〃一1M〃的面积为S”，则S1+S2+S3+…+S〃=（）

222

【解答】解：•・•四边形ABC。是正方形，

：.OB=OC,AC±BD,Si=Ax4X4xl=2,S2=»X2=1

422

S3=—xi=A,S4=—xS5=—xA=A=_L

23

2222422482

S1+S2+S3+,,,+S”=2+1+—+—+♦,•+—»

n-2

242

224482n-32n

二4-二一

2n-2

=4-（A）〃2；

2

故选：C.

二、填空题（每空题3分，共15分,只要求填写最后结果）

11.（3分）写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是（1,3）.这个二次函数的解析

式可以是y=-（厂1）2+3.

【解答】解：•・•抛物线顶点为（1,3）,

：.y=a（x-1）2+3,

10

•・•抛物线开口向下,

••y=-(x-1)2+3.

故答案为：y=-G-1)2+3.

12.(3分)已知x=-2是方程/+〃1¥+〃=0的一个根，则代数式4〃』-4mn+n2的值是16

【解答】解：把％=-2代入方程/+"。+〃=0,得2〃L〃=4,

.*.4m2-4mn+n2=(2m-ri')2=16.

故答案为：16.

13.（3分）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传

承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米.则

离地面150米处的水平宽度（即8的长）为40米

图①图②

【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段A8的垂直平分线所在的宜线为），轴建立平面直角坐标系,

如佟：

11

AA(-40,0),B(40,0),E(0,200),

设内侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40),

将(0,200)代入，得：200=a(0+40)(0-40),

解得：a=--1,

8

:.内侧抛物线的解析式为尸--1?+200,

将y=150代入得：-工^ZOOnlSO,

8

解得：x=±20,

：.C(-20,150),D(20,150),

/.CD=40m,

故答案为：40米.

14.(3分)定义：若一元一次不等式组的解集(不含无解)都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元

一次不等式组为该不等式的“子集”.如：不等式组12x-3<9r的解集为-3WX<4,不等式2X-1>-9

[5x+5>2x-4

的解为-4,

♦・・+3WxV4在x>-4的范围内，

・•・一元一次不等式组是一元一次不等式2x-l>-9的“子集

5x+5>2x-4

若关于x的不等式组—x-£>2-x是关于X的不等式X.&W1的“子集”，则上的取值范围是Q3.

x-l>4x-10

【解答】解：解不等式组12x-3<9r得，-3WXV4.

5x+5〉2x-4

又关于x的不等式x-AWl的解集为：/WM1,

•・•关于x的不等式组(3x6>2-x是关于x的不等式…4的“子集”，

[x-l)4x-10

：.k^3,

故答案为：女23.

15.(3分)已知心。(=1,2,…，2024),且满足条件」且±J±1L.・+袅经_1上空”1=

ala2a3a2023a2024

1012,任取一个i值，则直线y=a汉+i(/=1,2,…，2024)经过一、二、四象限的概率为

Ia-I

【解答】解：・・・3_=i或-i,

ai

12

.♦.设包

中有X个1,y个-1,

ai

则产2024

x-y=1012

\=1518

解得

y=506

・•・4•中有1518个正数,506个负数,

当a；V0时，直线y=zr+i（i=/,2,…，2024）的图象经过一、二、四象限,

・••直线y=sx+i3=1,2,…，2024）经过一、二、四象限的概率为%

20244

故答案为：1.

4

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16.（5分）先化简，再求值：（乂一红）其中x满足』+x-2024=0.

x+1xw+2x+l

x-2

【解答】解：(x-^)+

x+1X2+2X+1

X(x+1)-3x丁(x+1)2

x+1x-2

22

X-2Xr(x+1)

x+1x-2

x(x-2)丁(x+1)2

x+1x-2

=x(x+1)

=7+x,

•・“满足f+x・2024=0,

.“+丫=2024,

・•・原式=2024.

17.（7分）为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，我市举行了国家安全知识竞赛.竞赛结束后，发现所

有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分.小明将自己所在班级学生的成绩（用工表示）分为四组:

A组（60《xV70）,8组（70WxV80）,C组（80WxV90）,。组（90WxW100）,绘制了不完整的频数分

布直方图和扇形统计图.

13

学生成绩的频数直方图学生成绩的扇形统计图

（1）补全学生成绩的频数分布直方图；

（2）在扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为36。，本班成绩的中位数落在第C组（填A,

B,C或。）；

（3）请根据小明所在班级的成绩，估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有多少人；

（4）该班要从参赛成绩在4组的3名男生和1名女生中抽取2人参加国家安全知识讲座，请用列表或画树

状仔的方法，求抽到一名男生和一名女生的概率.

40

将本班成绩按照从小到大的顺序排列，排在第20和21名的学生成绩都落在C组,

・♦•本班成绩的中位数落在第C组.

故答案为：36°；C.

（3）8000X也118=5600（人）.

40

14

，估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的约有5600人.

(4)画树状图如下：

开始

果男枭至

/N小小小

男男女男男女男男女男男男

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果有：男女，男女，男女，女

男，女男，女男，共6种，

・•・推到一名男生和一名女生的概率为-攵=2.

122

18.(7分)如图所示，直线y二八x+4与双曲线y£(x>0)交于A⑵〃)，B两点,与y轴交于点D

2x

(1)求亿〃的值；

(2)在y轴上有一点C,满足S/^AOC=S^AOB^求点C的坐标；

【解答】解：(1)将点A(2,〃)代入>=」乂+4,得n=」X2+4=3,

22

(2,3),

将A(2,3)代入y支(x>0)，

x

"=2X3=6：

(2)4,y=—x+4+x=0,得y=4,

2

：.D(0,4),

f1,

y=-2-x+4

解方程组Iu,

6

yj

x

15

:・B（6,1）,

,•SAAOC=^AAOB=^AOBD~^AAODa乂,X6-5X4X2=8，

设C（0,〃?），

,,■I-X2|m|二8'

乙

±8,

，点C的坐标为（0,8）或（0,-8）；

（3）2Gx>4即为旦>[x+4，

根据图象得0<x<2或x>6.

19.（8分）2024年初，某学生小组参加为期90天的创新创业大赛，前往当地销售某种特产.已知该特产的每

件成本为40元.组长经过市场调研，列出了以下表格：

①该特产90天内时间和日销量的关系如表：

时间（第X天）13610

日销量（。件）198194188180

②该特产90天内时间和销售价格关系如表：

时间（第x天）1«50x250

销售价格（元/件）A+60100

（1）设销售该商品每天利润为y元，请写出y与x的函数表达式，并求出90天内该产品的最大利润；

（2）比赛规定，A在90天内只要有25天满足日销售利润不低于5400元，小组即可晋级，请你判断：该

小组能（填“能”或“不能”）顺利晋级，

【解答】解：（1）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：

-2X2+160X+4000（1<x<50）

-120x+12000（x〉50）

当l<x<50时,），=-2?+160.¥+4000=-2（%-40）2+7200,

•・•-2<0,

,当x=40时，y有最大值，最大值是7200；

当504W90时，产-120X+I2000,

V-120<0,

16

随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；

综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200,即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大

利渔是7200元；

(2)当1WXV50时，由y25400可得-2?+160X+4000N5400,

解得：10WxW70,

•••0V5O,

，10«50；

当500W90时，由斤5400可得-12dx+12000>5400,

解得：xW55,

•••504W90,

••.50&W55,

综上，10WxW55,

・,.在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元，该小组能顺利晋级.

故答案为：能.

20.(8分)如图，A8是。O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦COJ_A8,连接AC,AD.

(1)求证：△ACO是等边三角形；

(2)若点尸是菽的中点，过点。作CGJ_AR垂足为点G.若。。的半径为2,求CG的长.

是。。的直径，且C£>_L48,

：・CE=DE,弧8。=弧8。,

17

:・ZBAC=NBAD,

・・・AB是CO的垂直平分线，

：.AC=AD,

•；OC=OB,点七是08的中点，

，点C在线段0B的垂直平分线上，OE=8E=LoBhl℃，

22

ARtACOE中，cosZCOE=^-」，

OC2

即NCOE=60°,

VBC=M>

•••N5AO=NBAC=2NCOE=30°,

2

即NC4O=NBAC+NB4O=60°

•••△ACO是等边三角形.

（2〕解：由（1）得，△4CQ是等边三角形，

AZADC=6O0,

•・•尸是弧AC的中点，

・••弧cr=Uuc,

2

，ZGAC=^-ZADC=30°=ZBAC,

2

*：CD±AB,CG.LAF,

：.ZAEC=ZAGC=90°,

在八人月。和八人仁。中，

rZAEC=ZAGC

<ZGAC=ZEAC>

AC=AC

：./\AEC^AAGC（A4S）,

：,CG=CE,

•「C。半径为2,且点E是。8中点，

；・0C=0B=2,OE=1,

22

・•・RtACOE中，C£：=^QC2_0E2=^2-l=V3，

：.CG=CE=^j3.

21.（9分）定义：顶角相等且顶点重合的两人等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”.如

18

图，△ABC和△(：£)£：为“同源三角形"，AC=BC,CD=CE,NACB与NOCE为“同源角”.

(1〕如图1A48C和△CQ£为“同源三角形"，NACB与NOCE是“同源角”，请你判断40与8E的数量

关系，并说明理由；

(2)如图2,若“同源三角形"/XABC和△©£)£：上的点8,C,。在同一条直线上，且NACE=90°,求

sin/EMD的值：

(3)如图3,2XABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD,BE的中点

Q，P，连接CRCQ.PQ,试说明△PC。是等腰直角三角形.

【解答】解：(1)AD=BE.

理由：•••△ABC和△COE是“同源三角形”，

AZACB=ZDC£,所以N48=N5CE.

在△ACO和△BCE中,

AC=BC,

<ZACD=ZBCE,

CD=CE,

:.△ACDQ4BCE(SAS).

:,AD=BE.

(2〕••.△ABC和△CDE是“同源三角形”,

・•・NAC8=/DCE.

VZACE=90°,

・・・NOCE=ACB=45°