湖南省株洲市芦淞区2024届中考数学模试卷含解析

湖南省株洲市芦淞区重点中学2024学年中考数学模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件作服装仍可获

利15元，则这种服装每件的成本是（）

A.120元B.125元C.135元D.140元

2.利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的

4.函数y=mx2+（m+2）x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）

A.0B・0或2C・0或2或-2D.2或-2

5.如图，若Ab〃CD,则a、0、丫之间的关系为（）

A.a+p+y=360°B.a-p+y=180°

C.a+p-y=180°D.a+p+y=180°

6.如图，△ABC中，若DE//BC,EF//AB,则下列比例式正确的是（)

A

ADDEBFEF

A.=B.—-----

DBBCBCAD

AE_BFEFDE

D.—-----

°，~EC^~FCABBC

7.若抛物线y=*2-3x+c与y轴的交点为(0,2),则下列说法正确的是()

A.抛物线开口向下

B.抛物线与配轴的交点为(-1,0),(3,0)

C.当x=l时，y有最大值为0

D.抛物线的对称轴是直线

2

8.在平面直角坐标系中，将点P(-4,2)绕原点O顺时针旋转90°,则其对应点Q的坐标为()

A.(2,4)B.(2,-4)C.(-2,4)D.(-2,-4)

9.如图，已知h〃L,ZA=40°,Zl=60°,则N2的度数为()

A.40°B.60°C.80°D.100°

10.不等式5+2xVI的解集在数轴上表示正确的是().

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.已知。、b为两个连续的整数，且a＜糜＜6,贝！la+5=

12.如图，直线丫=履+6经过A(2,l)、B(T,-2)两点，则不等式;工＞区+匕＞一2的解集为.

13.如图，在矩形ABCD中，AB=0,E是BC的中点，AE_LBD于点F,则CF的长是

14.为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组

随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是.

15.股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的

10%后，便不能再跌，叫做跌停.若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增

长率为x,则x满足的方程是.

16.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a,a）是反比例函数

y=-（k>0）的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9,则这个反比例函数的解析式为—

17.（8分）如图，点D为。。上一点，点C在直径BA的延长线上，且NCDA=NCBD.判断直线CD和。O的位置

关系，并说明理由.过点B作。O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,。。的半径是3,求BE的长.

18.（8分）有4张正面分别标有数字-1,2,-3,4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上,

洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为机，在随机抽取1张，将卡片的数字即为

（1）请用列表或树状图的方式把（机，"）所有的结果表示出来.

（2）求选出的（/«,«）在二、四象限的概率.

19.（8分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已知

甲队的工作效率是乙队工作效率的23倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.

2

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不

超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

20.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作。O交BC于点D,过点D作。O的切线DE交AC于点

E,交AB延长线于点F.

（1）求证：BD=CD；

（2）求证:DC2=CE«AC；

（3）当AC=5,BC=6时，求DF的长.

21.（8分）边长为6的等边△ABC中，点D,E分别在AC,BC边上，DE〃AB,EC=273

如图1,将小DEC沿射线EC方向平移，得到△D'WC,

图1图2

边D，E，与AC的交点为M,边CD，与NAC。的角平分线交于点N.当CO多大时，四边形MCND，为菱形？并说明理

由.如图2,将ADEC绕点C旋转/01（0。＜"360。）,得到ADeC,连接AD，,BE，.边DW的中点为P.

①在旋转过程中，AD，和BE，有怎样的数量关系？并说明理由;

②连接AP,当AP最大时，求AD，的值.（结果保留根号）

22.（10分）如图，已知AABC,分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,

ZEAB=ZDAC=90°,连结BD,CE交于点F,设AB=m,BC=n.

(1)求证：ZBDA=ZECA.

(2)若m=6,n=3,ZABC=75°,求BD的长.

(3)当NABC=时，BD最大，最大值为(用含m,n的代数式表示)

(4)试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。

BC

23.(12分)某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏.全校学生都

选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的

统计图.

60

请结合统计图，回答下列问题：

(1)本次调查学生共人，a=,并将条形图补充完整；

(2)如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？

(3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取

的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率.

24.如图，在小ABC中，AB=AC,CD是NACB的平分线，DE〃BC,交AC于点E.求证：DE=CE.若NCDE=35。,

求NA的度数.

B1C

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解题分析】

试题分析：通过理解题意可知本题的等量关系，即每件作服装仍可获利=按成本价提高40%后标价，又以8折卖出，

根据这两个等量关系，可列出方程，再求解.

解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意列方程得：x+15=(x+40%x)x80%

解这个方程得：x=125

则这种服装每件的成本是125元.

故选B.

考点：一元一次方程的应用.

2、A

【解题分析】

根据：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着

某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可.

【题目详解】

选项A,是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；

选项B,是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；

选项C,不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；

选项D,是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.

故选A

【题目点拨】

本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.

错因分析容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

3、C

【解题分析】

根据题意确定所有情况的数目，再确定符合条件的数目，根据概率的计算公式即可.

【题目详解】

解：由题意可知，共有4种情况，其中是3的倍数的有6和9,

21

.•.是3的倍数的概率一=一，

42

故答案为：C.

【题目点拨】

本题考查了概率的计算，解题的关键是熟知概率的计算公式.

4、C

【解题分析】

根据函数y=mx2+(m+2)x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解

决.

【题目详解】

解：,函数y=mx2+(m+2)x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，

...当m=0时，y=2x+l,此时y=0时，x=-0.5,该函数与x轴有一个交点，

当m#)时，函数y=mx2+(m+2)x+Jm+1的图象与x轴只有一个交点，

则4=(m+2)2-4m(—m+1)=0,解得，mi=2,m2=-2,

2

由上可得，m的值为0或2或-2,

故选：C.

【题目点拨】

本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答.

5、C

【解题分析】

过点E作E尸〃45,如图，易得CD〃EF,然后根据平行线的性质可得NR4E+N尸EA=180。，ZC=ZFEC=y,进一步

即得结论.

【题目详解】

解：过点E作EF〃4B,如图，'JAB//CD,AB//EF,：.CD//EF,

：.ZBAE+ZFEA=180°,ZC=ZFEC=^,

：.ZFEA=p-y,/.a+(p-y)=180°,即a+p-尸180°.

故选：C.

B

E

CD

【题目点拨】

本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作E尸〃45、熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

6、C

【解题分析】

根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【题目详解】

解：；DE〃BC,

DE_AD

BD/BC,

BC-AB

ADDE

----彳----，选项A不正确;

BDBC

DE/7BC,EF〃AB,

BF_AEEFBD

EF=BD,

~BC~^C~AD~AD

AEBD

-----彳------>

ACAD

BFEF

---丰---,选项B不正确;

BCAD

EF/7AB,

AE_BF

选项C正确;

EC-CF

DE〃BC,EF〃AB,

EF_CEDEAE

CE彳AE,

AB~AC

EFDE

---/----，选项D不正确;

ABBC

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关健.

7、D

【解题分析】

A、由a=l>0,可得出抛物线开口向上，A选项错误；

B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x

轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误;

3

D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=--,D选项正确.

2

综上即可得出结论.

【题目详解】

解：A、Va=l>0,

二抛物线开口向上，A选项错误；

B、•抛物线y=xi-3x+c与y轴的交点为(0,1),

•*.c=l,

.••抛物线的解析式为y=x1-3x+l.

当y=0时，有x1-3x+l=0,

解得：Xl=l,Xl=l,

抛物线与X轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

C、•.•抛物线开口向上，

.••y无最大值，C选项错误；

D、1•抛物线的解析式为y=x1-3x+l,

...抛物线的对称轴为直线X=--=-1L=3,D选项正确.

2a2x12

故选D.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函

数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

8、A

【解题分析】

首先求出NMPO=NQON,利用AAS证明APMO丝aONQ,即可得到PM=ON,OM=QN,进而求出Q点坐标.

【题目详解】

作图如下，

VZMPO+ZPOM=90°,ZQON+ZPOM=90°,

:.NMPO=NQON,

在4「乂。和4ONQ中，

ZPMO=ZONQ

,/{ZMPO=ZNOQ,

PO=OQ

/.△PMO^AONQ,

/.PM=ON,OM=QN,

；P点坐标为（-4,2）,

，Q点坐标为（2,4）,

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等.

9、D

【解题分析】

根据两直线平行，内错角相等可得N3=N1,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得

解.

【题目详解】

解：,门1〃12,

.\Z3=Z1=6O°,

:.Z2=ZA+Z3=40°+60°=100°.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的

关键.

10、C

【解题分析】

先解不等式得到x<-l,根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边.

【题目详解】

5+lx<l,

移项得lx<-4,

系数化为1得x<-L

故选C.

【题目点拨】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值

范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11>11

【解题分析】

根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a,b的值，即可得出答案.

【题目详解】

,:a<5,<b,a、6为两个连续的整数，

V25<V28<V36，

•*59b^=6,

/•«+6=11.

故答案为11.

【题目点拨】

本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.

12、-1<X<2

【解题分析】

1.,v=；*经过点a,

不等式—x>kx+b>-2的解集为—1<x<2.

2

13、0

【解题分析】

试题解析：•••四边形A3。是矩形,

ZABE=ZBAD=90，'：AELBD,

NAFB=90，NBAF+ZABD=ZABD+NADB=90，

：.ZBAE=ZADB,:./\ABE^/\ADB,

ADAB

是5c的中点,

AB—BE

：.AD=2BE,2BE2=AB2=2,:.BE=1,：.BC=2,

AE=VAB2+BE2=43,BD=7BC2+CD~=屈,

ABBE瓜

BF=

AE

过尸作尸G_LBC于G,

“Gs若啮嘿,*¥,=1，

4

:.CG=~,

3

:.CF=VFG2+CG2="

故答案为行.

1

14、-

3

【解题分析】

将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可.

【题目详解】

解：将三个小区分别记为A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

31

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为一=-.

93

故答案为：—.

【题目点拨】

此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法

适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

15、(l-10%)(l+x)2=l.

【解题分析】

股票一次跌停就跌到原来价格的90%,再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能勺0%,设这两天此股票股价

的平均增长率为x,每天相对于前一天就上涨到1+x,由此列出方程解答即可.

【题目详解】

设这两天此股票股价的平均增长率为x,由题意得

(1-10%)(1+x)2=1.

故答案为：(1-10%)(1+x)2=1.

【题目点拨】

本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为。，变化后的量

为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为a(1土%)2=。

3

16、y=—.

x

【解题分析】

待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质.

【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b,图中阴影部

分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P(2a,a)在直线AB上可求出a的值，从

而得出反比例函数的解析式：

•.•反比例函数的图象关于原点对称，.•.阴影部分的面积和正好为小正方形的面积.

设正方形的边长为b,则b2=9,解得b=3.

•••正方形的中心在原点O,...直线AB的解析式为：x=2.

•点P(2a,a)在直线AB上,/.2a=2,解得a=3..*.P(2,3).

3

•.•点P在反比例函数y=—(k>0)的图象上，，k=2x3=2.

X

...此反比例函数的解析式为：-.

X

三、解答题(共8题，共72分)

17、解：(1)直线CD和。O的位置关系是相切，理由见解析

(2)BE=1.

【解题分析】

试题分析：(1)连接OD,可知由直径所对的圆周角是直角可得NDAB+NDBA=90。，再由NCDA=NCBD可得

NCDA+/ADO=90。，从而得NCDO=90。，根据切线的判定即可得出；

(2)由已知利用勾股定理可求得DC的长，根据切线长定理有DE=EB,根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

试题解析：(1)直线CD和。O的位置关系是相切，

理由是：连接OD,

；AB是。O的直径，

.\ZADB=90°,

.\ZDAB+ZDBA=90°,

VZCDA=ZCBD,

.,.ZDAB+ZCDA=90°,

VOD=OA,

二ZDAB=ZADO,

/.ZCDA+ZADO=90°,

即OD_LCE,

直线CD是。O的切线，

即直线CD和。O的位置关系是相切;

(2)VAC=2,。。的半径是3,

.,.OC=2+3=5,OD=3,

在RtACDO中，由勾股定理得：CD=4,

；CE切。O于D,EB切。。于B,

；.DE=EB,NCBE=90。，

设DE=EB=x,

在RSCBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2,

贝！|(4+x)2=x2+(5+3)2,

解得：x=l,

即BE=1.

考点：1、切线的判定与性质；2、切线长定理；3、勾股定理；4、圆周角定理

2

18、(1)详见解析；(2)P=—.

3

【解题分析】

试题分析：(1)树状图列举所有结果.(2)用在第二四象限的点数除以所有结果.

试题解析：

开始

⑴画树状图得：2

z4\/4\/N/4\

1-342-342-142-1-3

则(m,n)共有12种等可能的结果：(2,-1),(2,-3),(2,4),(-1,2),(-1,-3),(1,4),(-3,2),(-

3,-1),(-3,4),(-4,2),(4,-1),(4,-3).

(2)(<,")在二、四象限的(2,-1),(2,-3),(-1,2),(-3,2),(-3,4),(-4,2),(4,-1),(4,-3),

Q2

所选出的“，〃在第二、三四象限的概率为：p=—=—

123

点睛：(1)利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做

事件A的概率（有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率）.

⑵定义法：如果在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的,"中结

果，那么事件A发生的概率为P（A）=一.

n

⑶列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用

列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.

（4）树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用树状图法求概率.

19、（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米.（2）10天.

【解题分析】

3

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为不X米，根据工作时间=工作总

量+工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验

后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120°—60〃?根费用=甲队费用*工作时间+乙队所

40

需费用x工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结

论.

【题目详解】

3

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为一X米，

2

3603600

---------------3

根据题意得：X3,

一x

2

解得：x=40,

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

33

—x=—x40=60,

22

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；

（2）设安排甲队工作m天，贝!］安排乙队工作1200—60〃?天,

40

4440m1200-60m

根3据题意得：7m+5x----------------<145,

40

解得：m>10,

答：至少安排甲队工作10天.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

20、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)DF=-6°.

7

【解题分析】

(1)先判断出AD1BC,即可得出结论；

(2)先判断出OD〃AC,进而判断出NCED=NODE,判断出△CDEs/iCAD,即可得出结论；

(3)先求出OD,再求出CD=3,进而求出CE,AE,DE,再判断出变=型，即可得出结论.

EFAE

【题目详解】

(1)连接AD,

；AB是。O的直径，

.\ZADB=90°,

AADIBC,

VAB=AC,

；.BD=CD；

(2)连接OD,

；DE是。O的切线，

ZODE=90°,

由(1)知，BD=CD,

VOA=OB,

；.OD〃AC,

ZCED=ZODE=90°=ZADC,

vzc=zc,

.,.△CDE^ACAD,

.CD_CE

"'~AC~~CD'

.*.CD2=CE»AC；

（3）；AB=AC=5,

由（1）知，ZADB=90°,OA=OB,

.15

•■OD=—AB=—，

22

由（2）知，CD2=CE»AC,

916

在R3CDE中，根据勾股定理得，DE=\ICD2-CE2=—

由（2）知，OD〃AC,

•DF_0D

5

.DF-2

【题目点拨】

此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理，判断出

△CDE<-ACAD是解本题的关键.

21、(1)当若时，四边形MCNZT是菱形，理由见解析；(2)①AD=BE，，理由见解析；②2府.

【解题分析】

(1)先判断出四边形MCND，为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM,即可求出CC；

(2)①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出4ACD丝△BCE，即可得出结论；

②先判断出点A,C,P三点共线，先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出结论.

【题目详解】

(1)当CC=6时，四边形MCND，是菱形.

理由：由平移的性质得，CD/7CD',DE/7D'E',

,.'△ABC是等边三角形，

；.NB=NACB=60。，

:.ZACC'=1800-ZACB=120°,

VCN是NACC的角平分线，

:.ZD'E'C'=-ZACC'=60°=ZB,

2

.,.ZD'E'C'=ZNCC',

；.DE〃CN,

四边形MCND，是平行四边形，

,/ZME'C'=ZMCE'=60°,ZNCC'=ZNC'C=60°,

.•.△1^«^，和4NCC是等边三角形，

,•.MC=CE',NC=CC',

•••E'C'=2V3，

:四边形MCND，是菱形，

/.CN=CM,

,,.CC'=1-E'C'=^；

(2)@AD'=BE',

理由：当期180。时，由旋转的性质得，ZACD'=ZBCE',

由(1)知，AC=BC,CD'=CE',

/.△ACD'^ABCE',

.*.AD'=BE',

当a=180。时，AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',

即：AD'=BE',

综上可知：AD'=BE'.

②如图连接CP,

在AACP中，由三角形三边关系得，APVAC+CP,

当点A,C,P三点共线时，AP最大，

如图1,

在ADCE，中，由P为D，E的中点，得AP，D，E，，PD=百，

；.CP=3,

；.AP=6+3=9,

在RtAAPD，中，由勾股定理得，AD'=7AP2+PD,2=2A/21•

【题目点拨】

此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和

性质，勾股定理，解(1)的关键是四边形MCND，是平行四边形，解(2)的关键是判断出点A,C,P三点共线时，

AP最大.

22、135°>J2m+n

【解题分析】

试题分析：

(1)由已知条件证△ABD^^AEC,即可得到NBDA=NCEA；

(2)过点E作EG,CB交CB的延长线于点G,由已知条件易得NEBG=60。,BE=2,这样在RtABEG中可得EG=,

BG=1,结合BC=n=3,可得GC=4,由长可得EC=M，结合△ABDgZkAEC可得BD=EC=M；

(3)由(2)可知，BE=72m,BC=n,因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=亚加+〃，此时BD最大=EC最

大='J2m+n;

(4)由△ABD之AAEC可得NAEC=NABD,结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE?=2AE2,

从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.

试题解析：

(1),.,△ABE和AACD都是等腰直角三角形，且NEAB=NDAC=90。，

.\AE=AB,AC=AD,ZEAB+ZBAC=ZBAC+ZDAC,即NEAC=NBAD,

/.△EAC^ABAD,

.\ZBDA=ZECA；

(2)如下图，过点E作EGJ_CB交CB的延长线于点G,

/.ZEGB=90°,

•.•在等腰直角△ABE,ZBAE=90°,AB=m=拒，

...NABE=45°,BE=2,

VZABC=75°,

:.ZEBG=180o-75°-45o=60°,

/.BG=1,EG=b

.,.GC=BG+BC=4,

CE=+(四)。=A/19，

,/△EAC^ABAD,

.*.BD=EC=