变化率与导数学案

§1.1变化率与导数学案§1.1.1变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?hto分析：(1)当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时,气球半径增加了hto气球的平均膨胀率为(2)当SKIPIF1<0从SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)与起跳后的时间SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)存在函数关系SKIPIF1<0.如何用运动员在某些时间段内的平均速SKIPIF1<0度粗略地描述其运动状态?思考计算:SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平均速度SKIPIF1<0探究:计算运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子SKIPIF1<0表示,称为函数SKIPIF1<0从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的平均变化率.2.若设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(这里SKIPIF1<0看作是对于SKIPIF1<0的一个“增量”可用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0,同样SKIPIF1<0)则平均变化率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考:观察函数SKIPIF1<0的图象平均变化率SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示什么?三、典例分析例1已知函数SKIPIF1<0的图象上的一点SKIPIF1<0及临近一点SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.解:例2求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率.解:四、课堂练习1.质点运动规律为SKIPIF1<0,则在时间SKIPIF1<0中相应的平均速度为.2.物体按照SKIPIF1<0的规律作直线运动,求在SKIPIF1<0附近的平均变化率.3.过曲线SKIPIF1<0上两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作曲线的割线,求出当SKIPIF1<0时割线的斜率.五、课堂反馈设函数SKIPIF1<0，当自变量SKIPIF1<0由SKIPIF1<0改变到SKIPIF1<0时，函数的改变量SKIPIF1<0为（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0一质点运动的方程为SKIPIF1<0，则在一段时间SKIPIF1<0内的平均速度为（）A－4B－8C6D－6将半径为R的球加热，若球的半径增加SKIPIF1<0，则球的表面积增加SKIPIF1<0等于（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0的图象上取一点（1,2）及附近一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是SKIPIF1<0，则下列说法不正确的是（）A在SKIPIF1<0这段时间里，平均速度是SKIPIF1<0B在SKIPIF1<0这段时间里，平均速度是SKIPIF1<0C运动员在SKIPIF1<0时间段内，上升的速度越来越慢D运动员在SKIPIF1<0内的平均速度比在SKIPIF1<0的平均速度小§1.1.2学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.学习过程：一、创设情景htohto(二)探究探究:计算运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,SKIPIF1<0时的瞬时速度是多少？考察SKIPIF1<0附近的情况:思考:当SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0时,平均速度SKIPIF1<0有什么样的变化趋势？结论:小结:2.导数的概念从函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的瞬时变化率是:SKIPIF1<0我们称它为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0出的导数,记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0说明:(1)导数即为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的瞬时变化率;(2)SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.三、典例分析例1(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数.(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析:先求SKIPIF1<0,再求SKIPIF1<0,最后求SKIPIF1<0.解:(1)(2)例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第SKIPIF1<0时,原油的温度(单位:SKIPIF1<0)为SKIPIF1<0,计算第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注:一般地,SKIPIF1<0反映了原油温度在时刻SKIPIF1<0附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为SKIPIF1<0,求质点在SKIPIF1<0的瞬时速度为.2.求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的导数.3.例2中,计算第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由SKIPIF1<0变到SKIPIF1<0时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）A在区间SKIPIF1<0上的平均变化率 B在SKIPIF1<0处的变化率C在SKIPIF1<0处的变化率 D在区间SKIPIF1<0上的导数2．下列各式中正确的是（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<03．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值（）A2 B.－2 C3 D－34．任一做直线运动的物体，其位移SKIPIF1<0与时间SKIPIF1<0的关系是SKIPIF1<0，则物体的初速度是（）A0 B3 C－2 DSKIPIF1<05．函数SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处的导数是6．SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<07．设圆的面积为A，半径为SKIPIF1<0，求面积A关于半径SKIPIF1<0的变化率。8．（1）已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值。（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值.9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是SKIPIF1<0，枪弹从枪口，射出的时间为SKIPIF1<0，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。§1.1.3学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义.学习过程：一、创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的瞬时变化率,反映了函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的变化情况,导数SKIPIF1<0的几何意义是什么呢？二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当SKIPIF1<0沿着曲线SKIPIF1<0趋近于点SKIPIF1<0时,割线SKIPIF1<0的变化趋势是什么？我们发现:问题:(1)割线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0与切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0有什么关系？(2)切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0为多少？说明:(1)设切线的倾斜角为SKIPIF1<0,那么当SKIPIF1<0时,割线SKIPIF1<0的斜率,称为曲线在点SKIPIF1<0处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在SKIPIF1<0处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数等于在该点SKIPIF1<0处的切线的斜率,即SKIPIF1<0说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出SKIPIF1<0点的坐标;②求出函数在点SKIPIF1<0处的变化率SKIPIF1<0得到曲线在点SKIPIF1<0的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处求导数的过程可以看到,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0是一个确定的数,那么,当SKIPIF1<0变化时,便是SKIPIF1<0的一个函数,我们叫它为SKIPIF1<0的导函数.记作:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0、导函数SKIPIF1<0、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数SKIPIF1<0,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点SKIPIF1<0而言的,就是函数SKIPIF1<0的导函数.(3)函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0就是导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的函数值,这也是求函数在点SKIPIF1<0处的导数的方法之一.三、典例分析例1(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程.(2)求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数.解:例2如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数SKIPIF1<0,根据图像,请描述、比较曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0附近的变化情况.解:例3如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)随时间SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)变化的图象.根据图像,估计SKIPIF1<0时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到SKIPIF1<0).解:下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:SKIPIF1<00.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率SKIPIF1<00.40-0.7-1.4四、课堂练习1.求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线.2.求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线.五、课堂反馈1．曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的（）A切线斜率为1B切线方程为SKIPIF1<0C没有切线D切线方程为SKIPIF1<02．已知曲线SKIPIF1<0上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（）A4B16C8D23．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0的几何意义是（）A在点SKIPIF1<0处的函数值B在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴所夹锐角