第二十六章 反比例函数（章末测试）（解析版）

第二十六章反比例函数（章末测试）一、单选题：1．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把代入解析式，可得，据此即可判定．【详解】解：，故该函数的图象经过点；，故该函数的图象经过点；，故该函数的图象经过点；，故该函数的图象经不过点．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成

(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．2．在函数（）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数（），当时，函数在第二象限，y随x增大而增大；当时，函数在第四象限，y随x增大而减小，比较函数大小得出结论．【详解】如图，函数（），当时，点A（1，）在第四象限，；当时，点B、点C在第二象限，函数值大于零，且y随x增大而增大，；综合以上信息可得：．故选：B【点睛】本题考查反比例函数图像性质，牢记反比例函数图像特征是解题关键．3．如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象，由此观察得到的大小关系（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵反比例函数y═和y=的图象在第一象限，∴k3＞0，k2＞0．∵反比例函数y=的图象在第二象限，∴k1＜0．∵y=的图象据原点较远，∴k2＜k3，∴k3＞k2＞k1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．4．如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（）A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0【答案】B【分析】关于x的不等式＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合函数图象可得答案.【详解】解：∵反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1∴关于x的不等式＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，∴关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，用了数形结合思想．5．正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．【详解】解：解方程组得：，，即：正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1），C（﹣1，﹣1），所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D所以，△ABD与△BCD均是直角三角形则：S四边形ABCD=BD•AB+BD•CD=×2×1+×2×1=2，即：四边形ABCD的面积是2．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解6．为了保护生态环境，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造．如图描述的是月利润y(万元)和月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是（

）A．5月份该厂的月利润最低B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元【答案】C【分析】利用待定系数法，代入已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【详解】解：A、由题中函数图象，得5月份该厂的月利润最低，为60万元，故A正确；B、治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万元到120万元，故每月利润比前一个月增加30万元，故B正确；C、设反比例函数的解析式为，将（1，300）代入得，故，将代入，得，解得，所以只有3月、4月、5月、6月、7月共5个月的月利润不超过120万元，故C错误；D、设一次函数的解析式为，将（5，60），（7，120）代入得，，解得，所以，当时，，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元，故D正确．故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，利用待定系数法正确得出函数解析式是解题关键．7．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据一次函数和反比例函数图象经过的象限，即可得出，，，由此即可得出：二次函数的图象开口向下，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象依次判断即可得出结果．【详解】解：观察已知函数图象可知：，，，∴二次函数的图象开口向下，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴，故选：D．【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图象所经过的象限确定系数的符号，一般形式的二次函数的性质及图象，正确掌握各函数的图象与字母系数的关系是解题的关键．8．如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图像与相交于点，与相交于点，若，且的面积是，则（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】设点D的坐标为，则易得点B的坐标为，点E的坐标为，由此可得出BE=，由点D在反比例函数的图像上得，由可求得k的值．【详解】设点D的坐标为，∵BD=3AD，∴AB=AD＋BD=4AD=4m，∴点B的坐标为，∵点E在反比例函数的图象上，且BC∥OA，∴点E的坐标为，,∵点D在反比例函数的图像上，，，∴，．故选：Ｃ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，结合图形，分析图形面积关系是解决本题的关键．9．如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于两点，连接OA，OB，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确的是（

）A．②③ B．③④ C．①②③④ D．②③④【答案】A【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①错误；把A(-2，m)、B(1，n)代入中得到-2m=n，故②正确；把A(-2，m)、B(1，n)代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P(-1，0)，Q(0，-m)，根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ，故③正确；根据图象得到不等式的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④错误．【详解】由题中图象知：，，故①错误；∵点在反比例函数的图象上，，，故②正确；把代入，得，解得，，解得：，，∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，令，得，令，得．，，，，故③正确；由题中图象知，当或时直线在反比例函数图象的上方，∴不等式的解集是或，故④错误，综上，正确的结论是②③．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、．若平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为12，则的值为（

）A．－4 B．－8 C．－12 D．－16【答案】B【分析】连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，证明CD∥AB，推出S△ACD=S△OCD=12，求得△ODE的面积，再证明DF=FG=OG，得S△OEF＝S△ODE．【详解】解：连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，则EF∥CG，∵CE=DE，∴DF=FG，EF=CG，∵反比例函数的图象经过CD上的两点C、E，∴S△OCG＝S△OEF＝|k|，∴OG•CG=OF•EF，∴OF=2FG，∴DF=FG=OG，∴S△OEF＝S△ODE，∵Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵CB平分∠OCD，∴∠OCB=∠DCB，∴∠OBC=∠DCB，∴CD∥OB，∴S△OCD=S△ACD=12，∵CE=DE，∴S△ODE＝S△OCD=6，∴S△OEF＝S△ODE＝×6＝4，∴|k|=4，∵k＜0，∴k=-8．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题：11．①y＝3x；②y＝；③＝8；④y＝2x－3；⑤xy＝36，在这五个等式中，y是x的反比例函数的是________．(只填序号)【答案】②⑤【分析】根据反比例函数解析式的三种书写形式，第一种形式：；第二种形式：；第三种形式：判断即可.【详解】解：①y＝3x是正比例函数，故①错误；②y＝，满足第一种书写形式，故②正确；③＝8，三种书写形式均不满足，故③错误；④y＝2x－3是一次函数，故④错误；⑤xy＝36，满足第二种形式，故⑤正确；故答案是：②⑤.【点睛】本题主要考察反比例函数的定义，正确理解反比例函数的解析式及三种书写形式是解题的关键.12．填空：对于函数，当时，y_______0，这时函数图象位于第_______象限；对于函数，当时，y_______0，这时函数图象位于第_______象限．【答案】

>

一

>

二【分析】根据反比例函数的性质：当时，图像位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，图像位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．【详解】在函数中，，当时，，图像位于第一象限；在函数中，，当时，，图像位于第二象限．故答案为：>，一；>，二．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是能够根据比例系数确定其图像的位置．13．双曲线在每个象限内，y都随x的增大而增大，则a的取值范围是___．【答案】【分析】根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．【详解】解：∵双曲线在每个象限内，y都随x的增大而增大，∴，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．14．已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是________．【答案】2【分析】根据反比函数的定义得出且，计算即可得出结论．【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，∴且，∴m＝2或﹣2，且，∴m＝2．故答案为：2【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或（k为常数，k≠0）．15．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地为了安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干块木板，构筑成一条临时通道.木板对地面的压强是关于木板面积的反比例函数，其图象如图所示.当木板对地面的压强不超过6000时，木板的面积至少应为________.【答案】【分析】由图可知1.5×400=600为定值，即k=600，易求出解析式，利用压强不超过6000Pa，即p≤6000时，求相对应的自变量的范围．【详解】设，把代入，得：，则，，由题意得：，解得：，即木板面积至少要有．故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，正确得出函数关系式是解题关键．16．如图，过y轴上任意一点p，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为__________．【答案】3【分析】先设，由直线轴，则，两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，，点坐标为，，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：设，直线轴，，两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上，当，，即点坐标为，，又点在反比例函数的图象上，当，，即点坐标为，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．17．已知A是直线与曲线（m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，且，则m的值为________．【答案】9【分析】由题干可以知道A点的坐标，该点在反比例函数上，代入故能求出m．【详解】解：由题意，可知OB=2，即点A的横坐标是2或-2，由点A在正比例函数y=2x的图象上，∴点A的坐标为（2，4）或（-2，-4），又∵点A在反比例函数y=的图象上，∴4=或-4=，即m=9．故答案为：9．【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的交点问题．先由点的坐标求函数解析式，体现了数形结合的思想．18．如图，点A在曲线y＝(x＞0)上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB＝1时，△ABC的周长为_____．【答案】4【详解】∵点A在曲线y=（x＞0）上，AB⊥x轴，AB=1，∴AB×OB=3，∴OB=3，∵CD垂直平分AO，∴OC=AC，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，故答案为4．【点睛】运用了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质．解题时注意运用线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．19．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为______．【答案】4【分析】本题可从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值．【详解】∵、、位于反比例函数图象上，∴，，过点作轴于点，作轴于点，∴四边形ONMG是矩形，∴，∵为矩形对角线的交点，∴，∵函数图象在第一象限，∴，∴++S四边形ODBE=，解得：．故答案为4【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．20．如图，已知等边三角形OA1B1，顶点A1在双曲线（x＞0）上，点B1的坐标为（4，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B5的坐标为_____．【答案】【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B5的坐标．【详解】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C＝a，OC＝OB1+B1C＝4+a，A2（4+a，a）．∵点A2在双曲线（x＞0）上，∴（4+a）•a＝4，解得a＝2﹣1，或a＝﹣2﹣2（舍去），∴OB2＝OB1+2B1C＝4+4﹣4＝4，∴点B2的坐标为（4，0）；作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b，OD＝OB2+B2D＝4+b，A3（4+b，b）．∵点A3在双曲线（x＞0）上，∴（4+b）•b＝，解得b＝﹣2+2，或b＝﹣2﹣2（舍去），∴OB3＝OB2+2B2D＝4﹣4+4＝4，∴点B3的坐标为（4，0）；同理可得点B4的坐标为（4，0）即（8，0）；以此类推…，∴点Bn的坐标为（4，0），∴点B5的坐标为（4，0）．故答案为（4，0）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．三、解答题：21．已知y＝y1-y2，y1与x+2成正比例，y2与x2成反比例．当x＝-1时，y＝－2；当x＝1时，y＝2．(1)求y与x的函数关系式.(2)当x＝时，求y的值【答案】（1）；（2）-11【分析】（1）根据正比例和反比例的定义，设y1=a（x+2），y2=，则y=a（x+2）-，再把两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可得到y与x之间的函数关系；（2）计算自变量为的函数值即可．【详解】（1）设y1=a（x+2），y2=，则y=a（x+2）-，把x=﹣1，y=-2；x=1，y=2分别代入得，解得，所以y与x之间的函数关系为；（2）当x＝时，.【点睛】本题考查正比例和反比例的定义，以及列方程组和解方程组的能力，属于较易题目.22．如图，直线与双曲线相交于点，与x轴交于点C点．(1)求双曲线表达式；(2)点P在x轴上，如果的面积为3，求点P的坐标．【答案】(1)；(2)P的坐标为或【分析】（1）将代入直线解析式，即可求出A点坐标．再将A点坐标代入双曲线解析式，即可求出k的值，即得出双曲线解析式；（2）由直线解析式可求出C点坐标，再设，可得，由三角形面积公式即得出，解出x，即得出点P的坐标．【详解】（1）把代入直线解析式得：，解得：，∴．把代入，得解得：，则双曲线解析式为；（2）对于直线，令，则，解得：，∴．设，可得，∵，且，∴，即，解得：或．∴点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．23．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；(2)求出图中a的值；(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；(2)a＝40；(3)李老师要在7：38到7：50之间接水【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，解得k1＝10，b＝20．∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．当8＜x≤a时，设y＝，将（8，100）的坐标代入y＝，得k2＝800∴当8＜x≤a时，y＝．综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．（2）将y＝20代入y＝，解得x＝40，即a＝40；（3）当y＝40时，x＝＝20．∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．24．如图，反比例函数的图象经过点A（，4），直线（）与双曲线在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）2；（3）．【详解】试题分析：（1）把A（－1，4）代入双曲线的解析式即可；（2）由，可得到直线CD的解析式为，从而得出CO=DO=2，即可得到的值；（3）过Q作QE⊥y轴，垂足为E．然后分①b＜0和②b＞0两种情况讨论．当b＜0时，由可知，OC=OD，∠OCD=∠ODC=45°，所以∠EDQ=∠DQE=45°，得到DE=EQ，由，可得到CO=QE，从而有Q（－b，2b），由点Q在双曲线的图象上，得到，即可得到b的值；②当b＞0时，有，综和这两种情况，得到b的值．试题解析：（1）∵A（－1，4）在双曲线上，∴；（2）∵，∴直线CD的解析式为，∴C（－2，0），D（0，－2），∴CO=2，DO=2，∴