27.2.4 相似三角形的应用列举 基础训练（解析版）

27.2.4相似三角形的应用列举基础训练一、单选题：1．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，先证明，再根据“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”求出的长即可．【详解】解：如图，由题意得，，，光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，，，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”是解答此题的关键．2．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）．A． B． C．6 D．【答案】B【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作，树高为，且；∵，∴，又，∴，∴，即，解得（负值舍去）．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．3．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【详解】解：如图，∵，，∴，∵小明与大树都与地面垂直，∴，∴，即，解得，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．4．如图，小明间学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF高地面的高度，，则树高AB长（

）A．6.6m B．36m C．20.6m D．21.6m【答案】A【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．【详解】解：，，即，解得：，m，m，（m），即树高6.6m.故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．5．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（）A．8m B．9m C．16m D．18m【答案】A【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE∵EP⊥BD∴∠APB=∠CPD∵AB⊥BD，CD⊥BD∴∠ABP=∠CDP=90°∴△ABP∽△CDP∴∴故选：A【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端处观察井水水岸处，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么的长为（

）A．2米 B．3米 C．米 D．米【答案】B【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．【详解】解：（米），∴AB∥DC．（米）．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为（）步．A．100 B．150 C．200 D．300【答案】D【分析】设正方形城池的边长为x步，则，证明，利用相似比求出x即可．【详解】解：设正方形城池的边长为x步，则，∵，∴，∴，∴，即，∴或（舍去），即正方形城池的边长为300步．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．8．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭顶端离地面的距离为1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（

）A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米【答案】B【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A作于点M，交CD于点N，由题意得，AN=2，CN=1.9-1.6=0.3，MN=38，（米）故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，构造直角三角形是解题关键．二、填空题：9．如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高_______________米．【答案】8【分析】首先根据，，可得，进而可得，再代入相应数据可得长．【详解】解：如图，，，，∴，由题意可知，米，米，米，∴，∴米．答：长臂端点应升高了8米．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．10．如图，长梯斜靠在墙壁上，梯脚距离墙米，梯上点距离墙米，的长为米，则梯子的长为______米．【答案】####【分析】由可得到，进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子的长；【详解】∵，，∴，∴，∴，∴，解得：；故答案是：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．11．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得米，米、米，那么______米．【答案】7.8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC=7.8(米)，故答案为：7.8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．12．如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是0.8m，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1.2m，地面上的影长为2.6m，请你帮算一下，树高是______m．【答案】4.45【分析】在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【详解】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，则，解得：BD＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，∴解得：x＝4.45，∴树高是4.45m．故答案为：4.45．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．13．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．【答案】【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，∵四边形DEFG为正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，设正方形的边长为，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．14．如图，路灯距地面，身高的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度变短______．【答案】【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．【详解】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x＝a；，∴y＝a−3.5，∴x−y＝3.5，故变短了3.5米．故答案为：．【点睛】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．三、解答题：15．小明将一圆柱形器皿放置在水平桌面上，AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，CD＝4，在距离水平桌面为6处有一点光源P（垂直于水平桌面，且＝6），圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，点D的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A的投影为点．已知点、B，C，在同一条直线上，求圆柱形器皿在桌面上的投影的长．【答案】圆柱形器皿在桌面上的投影的长为9【分析】由题意得，再根据对应边之比等于对应边高上的比进行求解得出，代入数据即可求解出结果．【详解】解：由题意，则．由相似三角形对应边上的高的比等于相似比，得，即．∴．答：圆柱形器皿在桌面上的投影的长为9【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在处竖立一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与宝塔顶端在一条直线上，测得；然后，移开标杆，在处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为时，恰好测得点的仰角为，已知，，点在一条直线上，点在一条直线上，求北塔的高．【答案】北塔的高为【分析】过点作于点，根据已知条件推出，得到，即可求得．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，∴，，∵，∴．∴，，，∴，∴，即，∴∴北塔的高为．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明是解决本题的关键．17．如图所示：笔直的公路边有甲、乙两栋楼房，高度分别为和，两楼之间的距离为，现有一人沿着公路向这两栋楼房前进，当他走到与甲楼的水平距离为且笔直站立时（这种姿势下眼睛到地面的距离为），他所看到的乙楼上面的部分有多高？【答案】【分析】作，交于M，如图，把题中数据与几何图中的线段对应起来，,点A、E、C共线，则，，然后证明，利用相似比计算出，再计算进行计算．【详解】解：作，交于M，如图，，点A、E、C共线，则，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即他所看到的乙楼上面的部分有7.8m高.【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．合理使用相似的知识解决问题．18．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．【答案】桥AF的长度为80米．【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长．【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，∵DEBC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AFEG，∴△ACF∽△ECG，∴，即，解得AF=80，∴桥AF的长度为80米．【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．19．如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围