河南省TOP二十2024届高三年级下册5月联考猜题（一）数学试卷

河南省TOP二十名校2024届高三下学期5月联考猜题（一）数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在复平面内，复数2=（2-5i）（-l-2i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.设集合/={1,2。+1},3={3,"1,3。-2},若/=8,则。=（）

A.-2B.-1C.1D.3

3.设角£的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴非负半轴重合，则

“24兀+]<a<2E+?■（左eZ）"是"cost/V0”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件

4.将函数了=3sin（3x+e）的图象向右平移方个单位长度，得到的函数图象关于了轴对称，

则照的最小值为（）

兀7兀_11兀5兀

A.—B.—C.-----D.—

618186

5.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3,

需要更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，河需

要更换的概率是（）

12152

A.—B.—C.—D.一

191955

22

6.已知椭圆C:j+==l（a>6>0）的左顶点、上顶点分别为45,右焦点为尸，过尸且与

ab

尤轴垂直的直线与直线AB交于点E，若直线AB的斜率小于姮为坐标原点，则直线AB

4

的斜率与直线OE的斜率之比值的取值范围是（）

A.B.

试卷第1页，共4页

7.如图，在圆锥SO中，若轴截面为等边三角形”3,C为底面圆周上一点，且/80C=：,

则直线OC与直线S3所成角的余弦值为（）

8.已知实数加，〃满足机+lns=4,7zln7z+〃=©,则加〃的值为（

234

A.eB.eC.e

9.将正数x用科学记数法表示为无=ax10",ae[1,10）,〃eZ,则把1g。分别叫做1次的首数

和尾数，分别记为S（lgr）,用（Igr）,下列说法正确的是（）

A.若M=2xl（r,N=3xl0",加,“eZ,贝|S（lg（7W））=S（lgM）+S（lg2V）

B.若M=2xl（r,N=8xl0",加,“eZ,则沙（1g（跖V））=P（lgM）+P（lgN）

C.若"=2乂10加仆=4乂10",加,〃€2,则S（lg?）=S（lgM）-S（lgN）

D.若M=8xl（T,N=2xlO",加,Z,则叩g”]=邛（1幽）-少（1歌）

项系数之和为2187,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64

B.展开式中存在常数项

C.展开式中含一项的系数为560

试卷第2页，共4页

D.展开式中系数最大的项为672J

11.在平面直角坐标系xOy中，点尸是抛物线「了=办2俗>0)的焦点，尸到「的准线/的距

离为2,点A是「上的动点，过点A且与「相切的直线加与了轴交于点3,C是准线/上的一

点，且47，/,则下列说法正确的是()

A.a=4

B.当点A的横坐标为2时，直线加的斜率为1

C.设。(3,0),则|4D|+|/C|的最小值为加'

D.创,恒创,忸C|成等差数列

三、填空题

12.若向量21不共线，且的+3)//,+诬)，则刈的值为.

13.若正数满足=则”的最小值是.

14.记7(x)是不小于X的最小整数，例如70.2)=2,42)=2/(7.3)=-1,则函数

/(x)=「(x)7-2y的零点个数为.

O

四、解答题

15.已知数列｛叫的前〃项和为心且星=：,2%-a“=0("N)

(1)求｛0“｝的通项公式；

(2)若数列bn=-(z„+1log2tz„,求数列｛bn｝的前n项和T„.

16.在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个

黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量X为小张

摸出白球的个数.

(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E(X)和。(X)；

(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列.

17.如图，在正三棱柱/8C-44cl中，。为△44G的重心，。是棱CG上的一点，且O£>〃

平面43c.

试卷第3页，共4页

CD

(1)证明：—

2

(2)若/4=244=12,求点D到平面8/C的距离.

18.动点尸(xj)与定点尸(2,0)的距离和它到定直线/:x=；的距离的比是2,记动点尸的轨

迹为曲线C.

⑴求C的方程;

(2)过尺(-2,0)的直线/与C交于48两点，S.RA=aRB(a>0),若点Af满足与7=痴豆，证

明：点M在一条定直线上.

19.已知函数/(x)="lnx-(a+l)x+gx2.

⑴讨论“X)的单调性；

⑵当0=1时，/Z(X)=/(X)-1X2+2X+1,数列｛0｝满足.€(0,1),且/=MG(〃eN*),

证明：*+f“+3>2f"+2(〃eN*).

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】利用复数的乘法运算及几何意义判定选项即可.

【详解】因为复数z=（2-5i）（-l-2i）=-12+i,

所以z对应的点为（-12,1）,位于第二象限.

故选:B.

2.C

【分析】根据N是3的子集，分类讨论2a+l的值，然后检验是否符合题意.

【详解】由已知得，若2。+1=3,解得。=1,

此时）={1,3},8={0,1,3},符合题意；

若2。+1=。-1,解得2,

此时A={1,-3},5={-8,-3,3}，不符合题意；

若2。+1=3”2，解得a=3,此时Z={1,7},8={2,3,7}，不符合题意，

综上所述,q=1.

故选:C.

3.C

【分析】根据余弦函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.

IT37r

【详解】当2E+—<。<2左兀+—（左EZ）时，COS6Z<0,所以cosaWO成立，

22

JT3jr

所以“2E+—<a<2巧i+—（左cZ）”是“cosaW0”的充分条件；

22

当cosa<0时，2kji+^<a<+GZ）,

所以“2kn+T<a<2E+g（左£Z）"不是“cosa<0"的必要条件，

jr37r

即“2E+5<a<2kR+—^kGZ）”是“cosa40”的充分不必要条件.

故选：C.

4.A

【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到。=5?7r+标（左eZ）,得到|同的

6

最小值.

答案第1页，共13页

【详解】函数了=3sin（3x+e）的图象向右平移方个单位长度得

y=3sin3^x-cp=3sin~，

又y=3sin13x-g+d的图象关于了轴对称，所以-1+0=]+而（万eZ）,

解得。=学+版（左eZ）,当左=-1时，例取得最小值

66

故选：A.

5.A

【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换，事件8为M需要更换,

贝！|/（1）=0.3x（l—0.2）+（-03）x02=0.38,尸（45）=0.3x0—0.2）=0.24,

/、P（AB）0.2412

由条件概率公式可得尸（3M）=

r\A\U.3O1y

故选：A.

6.D

【分析】由已知得，求得直线Z8的方程，进而求得g+由后花=2<走，求得

IaJABa4

离心率的范围，将直线45的斜率与直线OE的斜率之比值步的范围转化为与离心率的关系,

计算即可.

【详解】由已知得，直线4B的方程为了=?x+b,

a

设椭圆的焦距为2c（c>0）,由题意设点E（c,%）,贝11%=/+配即E（c,g+，，

aya）

所以后_立J（a+c）,又心=久叵,

KOEa4

__cac

所以e=，卜[J>；,即:<e<l,

设直线N3的斜率与直线OE的斜率之比值为优,

b

nceA1111

则加=浦上\=一^=FT------1-X-<e<l,所以£<机<彳.

b^a+c）a+ce+1e+1452

ac

故选:D.

答案第2页，共13页

【分析】借助等角定理找到与S3平行且与0C相交直线OD,结合圆锥的特征与线面垂直的

判定定理与性质定理可得相应线段的位置与大小关系，再利用三角函数定义计算可得

cosZDAC,最后借助全等性质得到结果.

【详解】取S4的中点为。，连接O2DC,则

所以NCOD为直线OC与直线S3所成的角或补角，

2兀

取4C的中点为£,连接因为/80C=才，△WB为正三角形，

所以/C，OE,又/C，SOQEcSO=O,OE,SOu平面SOE,

所以NC_L平面SOE,由SEu平面SOE,故/C_LS£,

设/O=r,则。£=与，又SO=5,所以SE=j(Gr)2+

屈r

所以tan/&4£==—-—=V15,所以cos/"E=—,即cosZDAC=—,

AE£44

2

由。。=Z。，OC=AC,

故△C。。与ACAD全等，所以cosZCOD=cosZCAD=

故选：A.

【分析】利用指对数的运算性质将式子等价变形，构造函数/(力=3+》-4,根据函数的

答案第3页，共13页

单调性可得Inm=3-ln〃，进而可求解.

【详解】由加+ln/n=4,〃ln〃+〃=3,得e1nm+ln冽一4=0,«3/〃+3-ln〃一4二0.

令/（力=^+》-4,由于y=e力=x-4均为单调递增函数，所以/（力在（-叫+⑹上单调递

增，

又/加〃）=/（3-111/7）,所以ln〃7=3-ln〃，所以ln（m〃）=3,所以用”=£

故选：B.

9.AD

【分析】根据S（lgr）,少（Igx）的定义，逐一分析判断即可.

【详解】对于A,若M=2xl（T,N=3xlO",%,”eZ,

则S（lgM）=/〃,S（lgN）=",7W=6xl（F+",S（lg（7W））=M+〃，

所以S（lgQW））=S（lgA/）+S（lg2V）,故A正确；

对于B,若干=2xl（T,N=8xlO",加,"eZ,

贝|］用（1典）=炮2,小（1歌）=吆8,皿=16、10叫+”=1.6'10"""+|,

FT（lg（ACV））=lgl.6,

所以用（眩（削））=少（也〃）+少（也"）不成立，故B错误；

对于C若干=2xl（T,N=4xlO",加,"eZ,

则5（炮"）=机，5（坨"）=〃,'=；*10-"=5*10"1-"7,S^lg^=m-n-l,

所以s［吟］=S（lgM）-S（l即）不成立，故C错误；

对于D,若干=8xl（T,N=2xlO",加,〃eZ,

则JF（lg"）=lg8,/lgN）=lg2,\=；x；；=4x10-",少，g：］=lg4,

所以少［lg，］=彳（1四）-平（igN）,所以D正确.

故选：AD.

10.ACD

【分析】利用通项公式4包结合第4项与第5项的二项式系数相等可知C：=C：,

答案第4页，共13页

可推出〃=7,再由各项系数和为2187,利用赋值x=1可得（1+。）7=2187,解得。=2,从

而得到一个已知的二项式,再利用二项式系数的性质和方法去判断各选项.

【详解】由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C：=C：,解得〃=7,

又展开式的各项系数之和为2187,即当x=l时，（1+。）7=2187,解得。=2,

所以二项式的系数之和为27=128,

又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

则奇数项的二项式系数之和为!xl28=64,故A正确；

2

由的展开式的通项&=2gJ等，令14-}=0,

解得，”漕，故展开式中不存在常数项，故B错误；

又令14=4,解得-4,所以展开式中含一项的系数为20=560,故C正确;

1316

由何,——<r<—,又尸EN，所以r=5,

2c33

I/5「3

所以展开式中系数最大的项为4M=25c*5=672/，故D正确.

故选：ACD.

11.BC

【分析】由题意可得［=2,求解可判断A；求导可得直线m的斜率判断B；|4D|+\AC\>|^|,

2a

可判断C；不妨设点A在第一象限，则点Z,（%>0）,可得直线冽的方程为

尸］吟.（一。），求得80,-1，进而由两点间的距离可得|叫2,忸［,可求得

2|/同-（|。川+忸。|）工0,判断D.

【详解】对于A：抛物线「了="2（。>0）化为标准方程为/=!y，因为尸到「的准线/的

a

距离为2,所以1=2,所以“=1,故A错误；

2a4

答案第5页，共13页

对于B：由得，「的方程为y=1/，所以/=-x,所以直线加的斜率左=[x2=l,

4422

故B正确；

对于C：\AD\+\AC\=\AE\+\AF\>\FD\=A/12+32=V10,

当且仅当点A是线段。厂与r的交点时，等号成立，故c正确;

对于D：不妨设点A在第一象限，则点所以

所以直线机的斜率后=/，所以直线用的方程为

化简可得，2x°x-4y-x：=0,令x=0,则了=一「，所以,

因为/C_L/,所以C（x（）,-1）,

所以M3『=X；+[¥]=x；+，,p8卜（因卜

所以2|4B|-(|OB|+忸c|)=2正-1H0,故D错误.

2

故选：BC.

【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物

线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之

间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线

中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为

直线解决最值问题.

12.1

【分析】根据题意，可设@3为一组基向量，利用向量共线定理和向量基本定理运算求解.

【详解】因为@而不共线，所以可设瓦B为一组基向量，

答案第6页，共13页

因为卜5+3)〃(d+yB),所以使得+B=+

一一[x=4,

所以切+/?=42+Ayb,所以彳]_丸,，消去丸，得盯=1.

故答案为：1.

13.4

【分析】由基本不等式求解即可.

【详解】因为。力为正数，a2b=a3+b2,

所以1=巴+与22、口，即。24,当且仅当03=",即。=4,6=8时，等号成立，

bavci

故答案为：4.

14.3

【分析】先将/(x)=r(x)-x-2T+：的零点个数转化为g(x)=7(x)-x和"x)=2T-：的交

OO

点个数，然后画图确定交点个数.

【详解】令/(力=0,则f(x)-x=2--：,

O

令g(x)=7(x)-x,〃(x)=2T-：,

O

则g(x)与人⑺的交点个数即为〃x)的零点个数，

当-1cxV0时,g(x)=O-x=-xe[O,l),

又g(x+l)=T(x+l)-(x+l)=T(x)-x=g(x),

所以g(x)是周期为1的函数，

7

在R上单调递减，且M-1)>1,"0)=g"3)=0,

8

所以g(x)与〃(x)有3个交点，故“X)的零点个数为3,

答案第7页，共13页

故答案为：3.

1

15.⑴子

2n-n-1

（2）北二

2〃

7

【分析】（1）根据题意可判断数列｛%｝是等比数列，结合邑=:求出首项，公比得解;

（2）由（1）可得“，根据错位相减法求和得解.

【详解】（1）因为M=：,2%+1-0“=O（”eN"）,

所以3：=；，所以数列｛“"｝是公比为|■的等比数列，

«ii-QT]1

所以S=—L解得％=1,所以6=

3.142

1----

2

/、।/、入，1,177-1

⑵由（1）知“一斤厩户=9-，

bi、IF012n-2n-1

所以7^=5+/+了+…+万丁+行」

由I、I1T012

所以/=/+尹+/+•••+n-2n-[

相减得,I$+吴•••+1n+1

2~

2

2"-n-1

所以7；=

2"

16.（1）E（X）=3.2,£»（£）=0.64.

（2）分布列见解析

【分析】（1）根据题意，得到变量万~夕（4,0.8）,结合二项分布的期望与方差的公式，即可

求解；

（2）根据题意，得到变量X服从超几何分布，结合尸（乂=左）=三。,左=2,3,4,求得相

应的概率，列出分布列.

答案第8页，共13页

【详解】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次,

且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量X~3（4,0.8）,

所以E（X）=4xO.8=3.2,£＞（X）=4xO.8x（l-0.8）=0.64.

（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，

且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布,

则尸（丫=左）=第:,左=2,3,4,

可得尸（X=2）=号兽=Q（X=3）=台*尸

jo

所以X的分布列为

X234

28£

P

15153

17.（1）证明见解析:

⑵*

【分析】（1）连G。交4耳于E，利用线面平行的性质可得OD//EC,再由平行推比例式

得解.

（2）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面4/C的法向量，再利用点到平面的

向量求法求解即得.

EO1

【详解】（1）连接OG，延长G。交4耳于E,连接CE,由。为△44G的重心，得弧=5,

由OD〃平面481C,ODu平面CC|E,平面c平面同鸟。=CE,得OD//EC,

CDEO1

所以无一函一^.

答案第9页，共13页

(2)取的中点为E，连接EF,由三棱柱NBC-431G是正三棱柱，得直线石耳,EQ,跖

两两垂直,

以E为坐标原点，直线£片,EC”跖分别为x,八z轴建立空间坐标系,

由44,=24耳=12,得耳（3,0,0）,/（-3,0,12）,C（0,3也12）。a3&8）,

则函=(6,0,-12),就=(3,班,0),友=(0,0,初设平面8/C的法向量元=(x,y,z),

n-AB=6x-12z=0

X得拓=(2石，一2,6),

则令'z=V3，

n-AC=3x+3y/3y=0

因此公厘=/4如=疸,

HJ(2向2+(-2)2+(回219

所以点。到平面B.AC的距离为生巨.

19

18.⑴Y上=1

3

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意列等式，然后化简即可得到。的方程;

(2)分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线/的斜率为0时得到当直线/的

RA=aRB

斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和—,一得到点M在定直线

AM=aMB

x=--±,又，2,o］也在直线x=」上，即可证明点M在一条定直线上.

2I2J2

-------------------Z所以加二赤了

【详解】(1)由题意知1

X—

2

答案第10页，共13页

所以—4x+4+y~=4f—x+—

化简得，C的方程为/-匕=1.

3

依题意，设，(再，弘),3(々,必)醒(々,％),

①当直线/的斜率为0时，则工(一1,0),5(1,0),

因为R(-2,0),所以M=(1,0),丽=(3,0),

—1—■1

所以兄4=—R8,从而。=:，

33

___1___11(\

贝!=BP(x0+l,y0)=-(l-x0,-j0),解得％=-5，%=0,即四[一,0

②当直线/的斜率不为0时，设/的方程为x=a-2,

x=ty-2

由2y2_消去X，得(3〃一1)必一12什+9=0,

I3

则3〃一130且A=144»-4x(3〃-1)x9>0,必+%=二'，%•%二?：1

3t—13t—1

消去。，得了2(%-%)=%(%-%)，

],0j也在直线x

综上，点M在直线x

答案第11页，共13页

【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法：

(1)先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明；

(2)参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程.

19.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，求得可］)=("_")(”一1),分。=1和。>1,四

种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；

(2)当°=1时，求得l(x)=q,得到函数访⑴的单调区间，得到〃(“2欠1)=1,进而

得至I］