2024届山西省晋南地区中考数学模拟试题含解析

2024届山西省晋南地区中考数学模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档

的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上

一年的年用水量（单位：ml）,绘制了统计图，如图所示.下面有四个推断：

①年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费；

②年用水量不超过240ml的该市居民家庭按第三档水价交费；

③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180mi之间；

④该市居民家庭年用水量的众数约为110mL

其中合理的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

2.实数“、6在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

■-♦।1•*'A

-la01b2

A.a<.-1B.ab>0C.a-办VOD.Q+》V0

3.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB

的长为4后，则a的值是（）

A.4B.3+y/2C.3&D.3+G

4.下列图案中，，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

©B傥念Y）

5.下列命题是真命题的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.两条对角线相等的四边形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形

6.甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m,设甲队每天修路xm.依题意,

下面所列方程正确的是

,120100„120100八120100120100

xx-10xx+10x-10xx+10x

3

7.在/A5C中，NC=90。,AC=9,sinB=-,贝!IAB=()

A.15B.12C.9D.6

8.某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正

中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如

图），下面所列方程正确的是（）

A.(7+x)(5+x)x3=7x5B.(7+x)(5+x)=3x7x5

C.(7+2x)(5+2x)x3=7x5D.(7+2x)(5+2x)=3x7x5

9.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程

度的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

10.有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为2.16x10-3米，则这个直径是（）

A.216000米B.0.00216米

C.0.000216米D.0.0000216米

11.小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数.小昱在第1页写1,且之后每一页写

的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1,且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加1.若小昱在某页

写的数为101,则阿帆在该页写的数为何？（）

A.350B.351C.356D.358

12.要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（）

A.两点之间的所有连线中，线段最短

B.经过两点有一条直线，并且只有一条直线

C.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，把正方形铁片O43C置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3,0）,点尸（1,2）在正方形铁片上，

将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则

正方形铁片连续旋转2017次后，点尸的坐标为.

X第一次第二次

。4①②

14.某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm,水面宽AB是16cm,则截面水深CD为

15.已知一次函数的图象与直线y=；x+3平行，并且经过点（-2,-4）,则这个一次函数的解析式为.

16.若关于x的一■元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=.

17.如图，矩形ABCD中，AD=5,ZCAB=300,点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，贝！IAQ+QP

的最小值是.

18.如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AC=AD,BC>AB,AB〃CD,AB=4,BD=2—,tanZBAC=3

VV-

则线段BC的长是.

D

J

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并

将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.

请结合以上信息解答下列问题：m=；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的

度数为;已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动.

20.（6分）如图，已知抛物线丁=。/+3。》-4。与*轴负半轴相交于点4,与y轴正半轴相交于点5,OB=OA,

直线/过4、5两点，点。为线段A8上一动点，过点。作C£）_Lx轴于点G交抛物线于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴正半轴交于点F,设点D的横坐标为X,四边形FAEB的面积为S,请写出S与x的函数关系式,

并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）连接3E,是否存在点。，使得.。5石和_八4。相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

3x+y=10

21.（6分）⑴解方程组:1

[x-2y=l

⑵若点A是平面直角坐标系中坐标轴上的点，（1）中的解X，y分别为点3的横、纵坐标，求A5的最小值及取得

最小值时点A的坐标.

22.（8分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题

ADAD

在锐角AAbC中，NA、NB、NC的对边分别是〃、b、c,过A作于D（如图⑴），则sinB=——,sinC=—,

cb

becacib

即AD=csin5,AD=bsinC,于是csin5=5sinC,即-----=-----,同理有：-----=-----,-----=-----,所以

sinBsinCsinCsinAsinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述

结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

图（1）图（2）图（3）

（1）如图（2）,AABC中，N3=45。，NC=75。，3c=60,则NA=；AC=；

⑵自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某

次巡逻中，如图（3）,我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以40海里/时的速度按北

偏东30。的方向航行，半小时后到达5处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方向上，求此时渔政204船距钓鱼

岛A的距离A5.（结果精确到0.01,76-2.449）

23.（8分）如图，在AA3c中，AB=AC,。为的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别为E、F,求证：DE=DF.

24.（10分）如图,已知二次函数y=-x2+法+c与x轴交于A、B两点,A在B左侧，点C是点A下方，且AC，x轴.

（1）已知A（—3,0）,B（-l,0）,AC=OA.

①求抛物线解析式和直线OC的解析式;

②点P从O出发,以每秒2个单位的速度沿X轴负半轴方向运动,Q从O出发,以每秒V2个单位的速度沿OC方向运动,

运动时间为t.直线PQ与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM时，求t的值（直接写出结果，不需要写过程）

⑵过C作直线EF与抛物线交于E、F两点（E、F在x轴下方），过E作EGLx轴于G,连CG,BF,求证：CG/7BF

25.（10分）如图，一次函数丫=1«+1）的图象与反比例函数y=Mx>0）的图象交于点P（n,2）,与x轴交于点A（—4,

0）,与y轴交于点C,PB_Lx轴于点B,点A与点B关于y轴对称.

（1）求一次函数，反比例函数的表达式；

（2）求证：点C为线段AP的中点；

（3）反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存

在，说明理由.

26.（12分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点,

MAD1BC.

（1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF,其中点E在AB上，BE=2AE,且EF_LBC,垂足为点F,求支架DE的长.

27.（12分）丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百

分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组:x<60,60Wx<70,70Wx<80,

80<x<90,90<x<100）：

②A、B两班学生测试成绩在80<x<90这一组的数据如下：

A班：80808283858586878787888989

B班：80808181828283848485858686868787878787888889

③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：

平均数中位数方差

A班80.6m96.9

B班80.8n153.3

根据以上信息，回答下列问题：补全数学成绩频数分布直方图；写出表中m、n的值；请你对比分析A、B两班学生

的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案.

【详解】

①由条形统计图可得：年用水量不超过180ml的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万)，

4

jxl00%=80%,故年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②；年用水量超过240ml的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(万)，

035

A-^-xi00%=7%/5%,故年用水量超过240ml的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；

③万个数据的中间是第25000和25001的平均数，

•••该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；

④该市居民家庭年用水量为110ml有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110ml,因此正确,

故选B.

【点睛】

此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键.

2、C

【解析】

直接利用a,b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案.

【详解】

选项A,从数轴上看出，”在-1与0之间，

:.-l<a<0,

故选项A不合题意；

选项5,从数轴上看出，。在原点左侧，方在原点右侧，

/.a<0,b>。,

:.abVO,

故选项5不合题意；

选项C,从数轴上看出，a在万的左侧，

:.a<b,

即a-b<0,

故选项。符合题意；

选项D,从数轴上看出，〃在-1与0之间，

：.\a\<\b\9

Va<0,b>0,

所以〃+》=例-

故选项。不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.

3、B

【解析】

试题解析：作PC，x轴于C,交AB于D,作PEJ_AB于E,连结PB,如图，

/.OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

AD点坐标为(3,3),

/.CD=3,

•••△OCD为等腰直角三角形，

/.△PED也为等腰直角三角形，

VPE1AB,

.1111

/.AE=BE=—AB=—x4y/2=2^/2，

在RtAPBE中,PB=3,

•••PE=)32-(2及y=i，

.•.PD=0PE=0,

a=3+y/2.

故选B.

考点：L垂径定理；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.勾股定理.

4、D

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案.

详解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选D.

点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图形重合.

5、C

【解析】

根据平行四边形的五种判定定理(平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形；②两组对角分别相等的四

边形；③两组对边分别相等的四边形；④一组对边平行且相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形)和平行四边形

的性质进行判断.

【详解】

A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；

8、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.故本选项错误；

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.故本选项正确；

。、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.故本选项错误；

故选：C.

【点睛】

考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时

要根据条件合理、灵活地选择方法.

6、A

【解析】

分析：甲队每天修路xm,则乙队每天修(x-10)m,因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，当=」29_。故选A。

xx-10

7、A

【解析】

根据三角函数的定义直接求解.

【详解】

在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,

••—―,

AB5

解得AB=L

故选A

8、D

【解析】

试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2*”宽=5+2x.•.矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为

(7+2X)(5+2X)=3x7x5

考点：列方程

点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到

大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题.

9^D

【解析】

根据方差反映数据的波动情况即可解答.

【详解】

由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差.反映数据集中程度的统计量有平均数、中

位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

10、B

【解析】

绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为办10”,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

2.16x10米=0.00216米.

故选艮

【点睛】

考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为d10-",其中仁同＜10,〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

11、B

【解析】

根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101,根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在

该页写的数.

【详解】

解：小昱所写的数为1,3,5,1,101,...；阿帆所写的数为1,8,15,22,

设小昱所写的第n个数为101,

根据题意得：101=1+(n-1)x2,

整理得：2(n-1)=100,即n-l=50,

解得：n=51,

则阿帆所写的第51个数为1+(51-1)xl=l+50xl=l+350=2.

故选B.

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键.

12、B

【解析】

本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答.

【详解】

根据两点确定一条直线.

故选:B.

【点睛】

本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(6053,2).

【解析】

根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.

【详解】

第一次Pi(5,2),第二次P2(8,1),第三次P3(10,1),第四次P4(13,1),第五次P5(17,2),...

发现点P的位置4次一个循环，

；2017+4=504余1,

P2017的纵坐标与Pi相同为2,横坐标为5+3x2016=6053,

•,.Pion(6053,2),

故答案为(6053,2).

考点：坐标与图形变化-旋转；规律型：点的坐标.

14、4cm.

【解析】

由题意知ODLAB,交AB于点C,由垂径定理可得出BC的长，在RSOBC中，根据勾股定理求出OC的长，由

CD=OD-OC即可得出结论.

【详解】

由题意知ODLAB,交AB于点E,

VAB=16cm,

11

BC=—AB=—xl6=8cm,

22

在RtAOBE中，

VOB=10cm,BC=8cm,

•*-OC=7OB2-BC2=V102-82=6(cm),

:.CD=OD-OC=10-6=4(cm)

故答案为4cm.

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键.

1

15、y=—x-1

2

【解析】

分析：根据互相平行的两直线解析式的左值相等设出一次函数的解析式，再把点(-2,-4)的坐标代入解析式求解

即可.

详解：•••一次函数的图象与直线产;比+1平行，.••设一次函数的解析式为尸;尤+4

•••一次函数经过点(-2,-4),.\!x(-2)+b=-4,解得：b=-l,所以这个一次函数的表达式是：产gx-L

故答案为-1.

点睛：本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的左值相等设出一次函数解析式是解题的关键.

16、-1

【解析】

根据一元二次方程的解的定义把X=1代入xi+mx+ln=0得到4+lm+ln=0得n+m=-l,然后利用整体代入的方

法进行计算.

【详解】

VI(n/0)是关于x的一元二次方程x1+mx+ln=O的一个根，

/.4+lm+ln=0,

•*.n+m=-l,

故答案为T.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解(根)：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含

有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

17、573

【解析】

作点A关于直线CD的对称点E,作EP_LAC于P,交CD于点Q,此时QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可

知，求出PE即可解决问题.

【详解】

解：作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q.

•..四边形ABCD是矩形，

.\ZADC=90°,

ADQ1AE,VDE=AD,

；.QE=QA,

:.QA+QP=QE+QP=EP,

二此时QA+QP最短（垂线段最短），

•.•/CAB=30。，

；.NDAC=60。，

在RtAAPE中，；NAPE=90°,AE=2AD=10,

,EP=AE・sin60°=lOx型=56

2

故答案为5班.

【点睛】

本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置,

属于中考常考题型.

18、6

【解析】

作DE±AB,交BA的延长线于E,作CF±AB,可得DE=CF,且AC=AD,可证RtAADE^RtAAFC,可得AE=AF,

ZDAE=ZBAC,根据tan/BAC=/DAE=,可设DE=37a,AE=a,根据勾股定理可求a的值，由此可得

三=V

BF,CF的值.再根据勾股定理求BC的长.

【详解】

如图：

作DELAB,交BA的延长线于E,作CFLAB,

VAB//CD,DE_LAB_L,CF±AB

；.CF=DE,且AC=AD

/.RtAADE^RtAAFC

；.AE=AF,ZDAE=ZBAC

•.•tanZBAC=3.-

•,.tanZDAE=3,-

.•.设AE=a,DE=37a

在RtABDE中，BD2=DE2+BE2

/.52=(4+a)2+27a2

解得a2=-,（不合题意舍去）

AAE=1=AF,DE=37=CF

\-

.*.BF=AB-AF=3

在RtABFC中,BC『二：；+二二二6

【点睛】

本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值

求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)150,(2)36°,(3)1.

【解析】

(1)根据图中信息列式计算即可；

(2)求得“足球”的人数=150x20%=30人，补全上面的条形统计图即可；

(3)360。、乒乓球”所占的百分比即可得到结论；

(4)根据题意计算即可.

【详解】

(1)m=21vl4%=150,

(2)“足球”的人数=150x20%=30人，

补全上面的条形统计图如图所示；

(3)在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360。、黑=36。；

(4)1200x20%=l人，

答：估计该校约有1名学生最喜爱足球活动.

故答案为150,36°,1.

小人教

【点睛】

本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键.

20、(1)y=-x2-3x+4；(2)S与x的函数关系式为S=—2*—8x+10(YWxW0),S存在最大值，最大值为

18,此时点E的坐标为(-2,6).(3)存在点O,使得DBE和ZMC相似，此时点。的坐标为(-2,2)或(-3,1).

【解析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点4、5的坐标，结合Q4=05即可得出关于。的一元一次方程，解之

即可得出结论；

（2）由点4、5的坐标可得出直线AB的解析式（待定系数法），由点。的横坐标可得出点。、E的坐标，进而可得出

DE的长度，利用三角形的面积公式结合S=SABE+SABF即可得出s关于X的函数关系式，再利用二次函数的性质

即可解决最值问题；

（3）由NA£）C=N5D£、ZACD=90，利用相似三角形的判定定理可得出：若要DBE和ZMC相似，只需

ZDEB=90或ZDBE=90，设点D的坐标为（m,m+4）,则点E的坐标为（m,-m2-3m+4）,进而可得出DE、

8。的长度.①当ND3E=90时，利用等腰直角三角形的性质可得出=进而可得出关于机的一元二次

方程，解之取其非零值即可得出结论；②当N3ED=90时，由点3的纵坐标可得出点E的纵坐标为4,结合点E

的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论•综上即可得出结论.

【详解】

（1）当>=0时，Wax2+3ax-4a=0»

解得：占=-4,x2=1,

，点A的坐标为（-4,0）.

当％=0时，y-ax2+3ax-4-a--4a，

二点3的坐标为（0,Ta）.

OA=OB,

—4a=4,解得：a=—l9

.•抛物线的解析式为y=——_3%+4.

（2）点A的坐标为（-4,0）,点5的坐标为（0,4）,

直线AB的解析式为y=x+4.

点。的横坐标为无，则点。的坐标为（x,x+4）,点E的坐标为（％—尤2—3无+4）,

DE=-x2_3x+4_（x+4）=_%2—4x（如图1）.

点尸的坐标为（1,0）,点4的坐标为（-4,0）,点5的坐标为（0,4）,

:.AF=5,OA=4,05=4,

11

9229

:.S=SABE+S=-OADE+-AFOB=-2X-SX+10=-2（X+2）+18.

-2<0,

,当x=-2时，S取最大值，最大值为18,此时点E的坐标为（-2,6）,

.•.S与x的函数关系式为S=—2*—8x+10（TWxW0）,S存在最大值，最大值为18,此时点E的坐标为（-2,6）.

（3）ZADC=NBDE,ZACD=90，

二若要DB石和—ZMC相似，只需NQEB=90或NDBE=90（如图2）.

设点。的坐标为(根,加+4),则点E的坐标为(m.—m2-3瓶+4),

/.DE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,BD=~^2m.

①当/DBE=90时，OA=OB,

:.ZOAB=45，

:.ZBDE=ZADC=45，

.♦.A5QE为等腰直角三角形.

二.DE=41BD，即-m2-4-m=-2m，

解得：叫=0（舍去）,e=-2,

二点。的坐标为（—2,2）；

②当ABED=90时，点E的纵坐标为4,

—nr—3m+4=4，

解得：?=-3,砥=0（舍去），

，点。的坐标为（—3,1）.

综上所述：存在点O,使得DBE和一ZMC相似，此时点。的坐标为（-2,2）或（-3,1）.

故答案为：⑴y=-2—3x+4；（2）S与x的函数关系式为S=-2f—8x+10（TWxW0）,S存在最大值，最

大值为18,此时点E的坐标为（-2,6）.（3）存在点O,使得一D5E和ZMC相似,此时点D的坐标为（-2,2）或（-3,1）.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、相似三

角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：（°利用二次函数图象上点的坐标特征求出点4、

3的坐标；⑵利用三角形的面积找出s关于x的函数关系式；⑶分NQ3E=9°及N5ED=9°两种情况求出点。

的坐标.

x=3

21、（1）[,_]；（2）当A坐标为（3,0）时，取得最小值为1.

【解析】

（1）用加减消元法解二元一次方程组；（2）利用（1）确定出B的坐标，进而得到AB取得最小值时A的坐标，以及

AB的最小值.

【详解】

3x+y=10①

解:(1)\„

[x-2y=l®

①x2+②得：7尤=21

解得：x=3

把％=3代入②得y=l,

x=3

则方程组的解为

b=11

(2)由题意得:8(3,I),

当A坐标为(3,0)时，AB取得最小值为I.

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则及数形结合思想解题是解本题的关键.

22、(1)60,2076;(2)渔政船距海岛A的距离约为24.49海里.

【解析】

(1)利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；

(2)在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可.

【详解】

(1)由正玄定理得：NA=60。，AC=20#；

故答案为60。，20a;

(2)如图:

依题意，得BC=40x0.5=20（海里）.

VCD#BE,

.,.ZDCB+ZCBE=180°.

,.,ZDCB=30°,.,.ZCBE=150°.

；NABE=75。，.•.NABC=75。，

.\ZA=45°.

±ABBC

在^ABC中—-------=----

9sinZACBsinA9

口口ABBC

即-------X-=-----------5-，

sinZ60°sin45°

解得AB=10V6B24.49（海里）.

答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里.

【点睛】

本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根

据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点.

23、答案见解析

【解析】

由于AB=AC,那么NB=NC,而DE_LAC,DFJ_AB可知NBFD=NCED=90。，又D是BC中点，可知BD=CD,利

用AAS可证△BFD^ACED,从而有DE=DF.

24、(1)@J=-X2—4x—3；j=x；②t=11'或63±3A/141；(2)证明见解析.

1850

【解析】

⑴把A(—3,0),B(-l(0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC的解析式;

②由题意得。P=2f,P(—2f,0),过0作。轴于瓦

PGPM1

得，可得直线PQ为y=—X一2f,过M作MG±x轴于G,由=7=须7=彳，则2PG=GH,由

GH(/Az2

2\XP-XG\^\XG-XH\,得2人—与|=曷—于是2卜2/-泡|=%+4,解得知=-3/或x”=-1,从而求

出M(—3f,f)或M%再分情况计算即可；(2)过歹作fT/Lx轴于H,想办法证得tanNCAG=tanN尸

即/以6=/b8",即得证.

【详解】

y=-x2+bx+c

0=—9—3Z?+c[Z?=—4

解：⑴①把A(—3,0),B(—1,0)代入二次函数解析式得八17解得o

Q=-l-b+c[c=-3

/.j=-x2—4x—3；

由AC=OA知C点坐标为(・3厂3),・••直线OC的解析式产X;

②OP=2£,P(—2£,0),过。作轴于H,

•；QO=&,：.OH=HQ=t,

•*.PQ：y——x—2t,

过M作AfGJ_x轴于G,

•_P__G___P_M____1

•,GH―QM-2’

：.2PG=GH

・・・

2\xp-x^=\xG-xH|,即2瓦-xM\^\xM-xG|,

•>,2|—2z—xM|=\xM+t\,

%”=-3t或iX”=一§♦，

.,..(一3仪)或“()

33

2

当M(—3f,f)时：t=-9t+12t-3,

.#_11+A/13

••I=-------

18

山,51、q125220.

当M(一一t,一一/)时：一一t=-----1+—1-3,

33393

.63±3^/i4T

••t=------------

50

.11土耳个63±3g'

综上：t=-------或f

1850

(2)设A(m,0)、5(",0),

；・机、〃为方程A2一加:一c=0的两根，

:.m+n=b,mn=——c,

•»y=—x2+(m+n)x—mn=­(x~m)(x—n)^

2

VE>F在抛物线上，设£(生一石之+(加+〃)王一研)、F(^x2,-x2+(m+n)x2-mn

设EF：y=kx+b,

=kx+b

.\yEE

yF=kxE+b

yE-yF=k(xE-xF)

22

,y.--x+x9+(m+n)(x,-x9)

；・k=------—=---------------------------------=m+n-jq-x2

xE-xFjq-x2

:.F:y=(<m+n-x1-x2)(x-x1)-(x1―根)(玉-n),令工=加

:.yc=(m+九一弓-x2)(m-xl)-(x1-m)(玉-n)

=-x2+xl-zz)=(m-x1)(m-x2)

/.AC=-(m-x1)(m-x2),

又;AG=xA-xE=m-xXy

.AC

・・

tanNCAG=------x9—m,

AG

另一方面：过厂作轴于H,

m

:.FH=(4-)(%2-孔)，BH=x2-n9

/FH

/.tanZFBH=------=x1-m

BH

/.tanNC4G=tanNFBH

：.ZCAG=ZFBH

：.CG//BF

【点睛】

此题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.

25、(1))=>+1.(2)点C为线段AP的中点.(3)存在点。，使四边形5CPD为菱形，点。(8,1)即为所

求.

【解析】

试题分析：(1)由点A与点B关于y轴对称，可得AO=BO,再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标,

将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b

的值，确定出一次函数解析式；(2)由AO=BO,PB〃CO,即可证得结论；(3)假设存在这样的D点，使四边形B