2024年中考数学复习几何辅助线进阶训练-构造等腰三角形

几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形

一'阶段一（较易）

1.如图，在口ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,AE平分/FAD,交CD于中点E,连接

EF.若NFAD=60。，AD=5,CF=3,则EF=.

2.如图，口ABCD中，对角线AC、BD相交于O,过点。作OE_LAC交AD于E,若AE=4,DE

=3,AB=5,则AC的长为（）

A.3A/2B.4A/2C.5&D.1V2

3.如图，在△ABC中，已知AB=6,AC=10,4。平分乙BAC,8。14。于点。，E为BC中点.求

DE的长.

4.如图，△ABC中，BD平分乙4BC,CD1BD,垂足为D,E为AC中点，若AB=30,BC=18,则

的长为.

5.如图，在RtzkABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,点D在△ABC外，连接A。、BD,点E

是BD的中点，AD=4,^CAD=^CAB,则线段CE的长.

BC

6.如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点.求证:

FM±DE„

7.如图，△ABC中，/ACB=90。，点D是边BC上一点，DELAB于点E,点F是线段AD的中

点，连接EF、CF；

BDC

⑴求证：EF=CF；

(2)若NBAC=45。，AD=6,求C、E两点间的距离.

8.如图，在△ABC中，24=45。，=EF1BC,其中=DF=2,BC=4近,

DE=()

A.V2—1B.V2+1C.2V2-1D.2V2+1

9.如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB,已知NABC=45。，ZAPC=60°,则NACB的

度数是°，

A

10.如图，D为△ABC内一点，CD平分ZACB,BDLCD,ZX=^ABD,若4C=7,BC=4.贝

的长为（）

11.如图，在△ABC中，BP平分/ABC,APIBP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6c7彦,

△PBC的面积为8cm2,则△PAC的面积为（）cm2.

二'阶段二（中等）

12.如图，在△ABC中，NBAC=120。，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，KAB+AE=

EC.若DE=2,则AB的长为（）

A.2>/3B.4C.3V3D.6

13.如图，四边形ABCD中，NDAB=NBCD=90。，对角线AC=8,点E,F,O分别为AD,AB,

BD的中点，且EF=5,则点。到AC的距离为

E

14.如图，在AaBC中，^CAB=90°,。是斜边BC上的中点，E、F分别是4B、AC边上的点，且

DE1DF.

(1)若28=4配BE+CF=4,求四边形AEDF的面积.

(2)求证：BE2+CF2=EF2.

15.如图，正方形ABCD中，P为边AD上一点，点E与B关于直线CP对称，射线ED与CP的延长线相

交于点F.若4。=4PD,EF=16V2，则BC的长为.

16.如图，在△ABC中，AB=AC=2^10,40是边BC上的高线，过点D作。E||4C交4B于点E.

(1)求证：△©)£1是等腰三角形；

(2)连结CE交AD于点H,若NDCE=45。，求EH的长.

17.如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连

接DM,以点M为直角顶点作MNLDM交NCBP的角平分线于N,过点C作CE||MN交AD于

E,连接EM,CN,DN.

(1)求证：DM=MN；

(2)求证：EMHCN.

18.如图，在RtAZBC中，AACB=90°,Z.B<CE平分NZCB,CDVAB,MN为边AB的垂直

平分线且分别交BC、AB于点M、N,若乙DCE=AB,AC=2,贝IBM的长是()

A.2B.|V2C.2V3D.2V2

19.已知：在等边△ABC中，点E是ZB边所在直线上的一个动点(E与2、B两点均不重合)，点。在

CB的延长线上，且ED=EC.

(1)如图①，当E是边的中点时，求证：AE=BD；

(2)如图②，当E是线段AB边上任意一点时，(1)中的结论是否一定成立？请说明理由;

(3)若点E是线段ZB的延长线上任一点，ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的长.

20.如图，在△ABC中，AB=AC=2V10,AD是边BC上的高线，过点D作DE〃AC交AB于点

A

(1)求证：△ADE是等腰三角形；

(2)连结CE交AD于点H,若NDCE=45。，求EH的长.

三'阶段三(较难)

21.请阅读下列材料，并完成相应的任务.

三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图(1),任意NABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA

与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E,交DA的延长线于点F.若EF=2AB,则射线

BF是NABC的一条三等分线.

证明：如图(2),取EF的中点G,连接AG,：四边形BCAD是矩形，；.ADAC=90。，AD||BC.

在R3AEF中，点G是EF的中点，：.AG=^EF....

13(1)图⑵图⑶

(1)任务一：上面证明过程中得出“AG的依据

是;

(2)任务二：完成材料证明中的剩余部分；

(3)任务三：如图(3),在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与NCBE的平分线交于点F,

若=CF=4,请直接写出BF的长.

22.

(1)【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB=AD,ZB+乙。=180。，点E,F分别在

BC,CD上，y^Z-BAD=2Z-EAF,求证：EF=BE+DF.

图①

（2）【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知CD=

CB=100m,乙D=60°,ZABC=120。，乙BCD=150%道路AD,AB上分别有景点M,N,且

DM=100m,BN=50（V3-l）m,若在M,N之间修一条直路，则路线M—N的长比路线

M-A-N的长少几m?（结果取整数，参考数据：V3«1.7）

图②

23.如图

（1）发现：如图1,点B是线段40上的一点，分另U以AB,为边向外作等边三角形4BC和等边

三角形BCE,连接AE,CD,相交于点。.

①线段4E与CD的数量关系为：；乙4OC的度数为.

®ACBD可看作△ABE经过怎样的变换得到

的？.

（2）应用：如图2,若点4B,。不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由；

（3）拓展：在四边形ZBCD中，AB=AC,ABAC=90°,AADC=45°,若4。=8,CD=6,请

直接写出B,。两点之间的距离.

24.请阅读下列材料：已知：如图（1）在股△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线

段BC上两动点，若ZDAE=45。.探究线段BZXDE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把

△AEC绕点A顺时针旋转90。，得至必ABE"连接E,D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并

解决下列问题：

图⑴图⑵图(3)

(1)猜想B。、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；

(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2),其它条件不变，(1)

中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

(3)已知：如图(3),等边三角形ABC中，点D、E在边力B上，且ZDCE=30。，请你找出一个

条件，使线段DE、AD.EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

(1)【探究发现】(1)如图1,AABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,点。为BC的中点，E、F分别

为边ZC、4B上两点，若满足NEDF=90。，则4E、AF,4B之间满足的数量关系是.

(2)【类比应用】如图2,△ABC中，AB=AC,NBAC=120。，点。为BC的中点，E、尸分别为

边AC、ZB上两点，若满足NEDF=60。，试探究4E、AF、4B之间满足的数量关系，并说明理由.

(3)【拓展延伸】在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，点。为BC的中点，E、F分别为直

线AC、上两点，若满足CE=1,/.EDF=60°,请直接写出AF的长.

26.平行四边形ABCC中，AB1AC,点E在边4)上，连接BE.

(1)如图1,4C交BE于点G,若BE平分乙4BC,且ND4c=30。，CG=2,请求出四边形EGCD

的面积;

(2)如图2,点F在对角线AC上，且力尸=AB,连接BF,过点F作FH1BE于H,连接AH,求

证：HF+y/2AH=BH.

(3)如图3,线段PQ在线段BE上运动，点R在边BC上，连接CQ,PR若BE平分乙4BC,

ZD4c=30。，AB=有,PQ=|,BC=4BR请直接写出线段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此时

△CQE的面积.

27.如图，等腰RtAABC中，AB=AC,ABAC=90°,4。1BC于点。，/ABC的平分线分另U交ZC、

AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N,连接DM,下列结论：①DF=DN;

②AOMN为等腰三角形；③ENJ.NC;④ZIMM=24。M;(5)AE=NC,其中正确结论有

)

28.如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是NBAD的平分线，ZCAE+ZBEA=180°

(2)当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.

(3)如图2,在(2)的条件下，过D作DFLAE,垂足为F,交AB于G,如果S^EF=(，请

直接写出四边形AFDC的面积.

29.

(1)如图1,等腰RtAPBF的直角顶点P在正方形的边40上，斜边BF交CD于点Q,连接

PQ,求证：PQ=4P+CQ.请利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE,然后通过证明

全等三角形来完成证明.

(2)如图2,若等腰RtAPBF的直角顶点P在正方形4BCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线

交CD的延长线于点Q,连接PQ,猜想线段PQ,AP,CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；

Q

图2

(3)如图3,RtAABC中，AC=BC,NACB=90。，P为△ABC内部一点，P4=AC且PB=

PC,贝此BCP=.

图3

30.如图，在正方形4BCD中，E是BC上一点(不与端点B,C重合)，连接。E.过点A作DE的垂线,

分别交DE,DC于点F,H.延长AF到点G,使得FG=ZF,连接CG,CG.

(1)求证：4ADHm4DCE；

(2)①若乙4OE=60°,贝IJ乙4GC=.

②改变NADE的度数，乙4GC的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出乙4GC与乙4DE之间的

关系，若不改变，请说明理由；

(3)如图2,若BE=EC=V^,求DF与CG的长.

答案解析部分

L【答案】4

2.【答案】B

3.【答案】解：如图，延长BC交2c于点F.

:皿平分/射配

：.^BAD=AFAD.

"：BDLAD,

：.^ADB=^ADF=90°.

：.AABD=AAFD.

：.AB=AF,BD=DF.

是BF的中点.

"：AC=10,AB=6,

：.FC=AC-AF=AC-AB=10-6=4.

为BC的中点，

为ABFC的中位线.

11

ADE=1FC=|x4=2.

4.【答案】6

5.【答案】义

6.【答案】证明：如图，连接EM、DM,

NBEO90。,

.,.EM=|BC,

同理DM=：BC,

；.EM=DM,

...△DME为等腰三角形，

•.•F是DE的中点，

.\FM±DE.

7.【答案】(1)证明：：DB±AB,

Z.DEA=90°,在RtAAED和RtAACD中，

•••点F是斜边AD的中点，

11

EF=-^AD,CF=^AD

EF=CF

(2)解：连接CE,由⑴得EF=4F=CF=^AD=3,

•ZE4=^FAE,^FCA=^FAC,

."EFC=2Z.FAE+2^FAC=2ABAC=2X45°=90。，

CE=JEF2+CF2=J32+32=3V2.

即C,E两点间的距离是3或

8.【答案】C

9.【答案】75

10.【答案】B

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】3

14.【答案】(1)解：连接2D,如图1,

图1

•••在RtMBC中，AB=AC,40为BC边的中线，

Z.DAC=乙BAD=NC=45°,AD1BC,AD=DC,

又•••DE1DF,AD1DC,

：■^EDA+^ADF=乙CDF+^FDA=90°,

.1•/.EDA=/.CDF,

在△力EO与△（7/*中，

LEDA=乙CDF

AD=CD,

、Z-EAD=Z-C

/.△AED三△CFDQ4S力），

・・・AE=CF,

BE+CF=4,

・•.AB—BE+AE=4,

所以S四边形AFDE=S〉AFD+^^AED

=^^AFD+S“FD

=S/kADC

_1

=]S〉ABC

112

=5x5/32

乙乙

1,

-4X4

=4,

(2)证明：延长ED至点G,使得。G=。凡连接FG,CG,如图2,

A

•・•DE=DG,DF1DE,

・・・OF垂直平分OE,

・•.EF=FG,

•・・。是3。中点，

BD=CD,

在aCDG中，

BD=CD

乙BDE=Z.CDG,

、DE=DG

BDE=△CDG(Si4S),

.・.BE=CG,Z-DCG=Z-DBE,

・・・Z.ACB+"BE=90°,

/.^ACB+Z.DCG=90°,BPZFCG=90°,

•・・CG2+CF2=FG2,

・•・BE2+CF2=EF2

15.【答案】4V17

16.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,

・•.△ABC是等腰三角形，

AD1BC,

BD-CD,Z-DAC-Z.EAD

vDE||AC,

:.Z.EDA=Z-DAC

・•.Z.EAD=/.EDA

.・.DE—AE,

・•.△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EFIIBC,交4。于G,交AC于点F,连接尸”，则EG14D,

A

•・・△ZED是等腰三角形，EG1AD

・•・AG=GD,

-ADIBC,LDCE=45°,

.­.△CD”是等腰直角三角形，

・•・DH=DC,乙DHC=45°

•・•EGLAD,乙EHG=乙DHC=45。，

.­.△EG”是等腰直角三角形，

・・・EF||BC

・•.Z.AEF=乙B,Z,AFE=Z.ACBf

又・・•ZB=乙ACB

・，・Z-AEF=Z.AFE

・・・AE=AF,

又・・.AD1EF

・•.HE=HF

・•・乙HEF=乙HFE=45°,

.•.△HEF是等腰直角三角形，

EF=V2EH,GH=^EF,

又,:Z.B=90°-A.EAD=90°-Z.EDA=乙EDB,NB=乙ACB

ED||AC,

Z.DEC=Z-FCE,

•・•EF||BC

・•・Z.FEC=乙ECD

在△DEC与中，

NFEC=Z.ECD

EC=EC

ZDEC=Z.FCE

DEC=△FCE^ASA),

・・・EF=DC

13

・•.GD=GH+DH=5EF+DC=^DC

乙乙

1

・.・GA=GD=2AD,

・•.AD=3DC,

AB=AC2V10,AC2=AD2+DC2,

：-40=9DC2+DC2,

DC=2,

・•・EF=V2EH=DC=2

.・.E"=5X2=岳

・・.E”的长为鱼.

17.【答案】（1）证明：在线段AD上截取DF=MB,连接FM,如图所示:

在正方形ABCD中，AD=AB,NA=NABC=90。,

•・・DF=BM,

・・・AF=AM,

/.△FAM是等腰直角三角形，

・・・NAFM=45。，

・・・NMFD=135。，

〈BN平分NCBP,NCBP=90。，

・・・NCBN=45。，

・・・NMBN=135。，

・・・NDFM=NMBN,

VDM±MN,

・・・ZNMB+ZAMD=90°,

ZAMD+ZADM=90°,

・・・NNMB=NMDF,

在^乂口尸和^NMB中，

2DFM=乙MBN

DF=MB，

ZMDF=乙NMB

.*.△MDF^ANMB(ASA),

ADM=MN；

(2)证明：VCEHMN,DM±MN,

・・.DM_LCE,

・,.NDEC+NEDM=90。，

,/ZAMD+ZEDM=90°,

・・・NDEC=NAMD,

•・,四边形ABCD是正方形，

ADC=AD,NEDC=NMAD=90。，

在^EDC和^MAD中，

ZDEC=乙AMD

DC=AD,

ZEDC=^MAD

.*.△EDC^AMAD(ASA),

AEC=DM,

\・DM=MN,

AEC=MN,

VECHMN,

J四边形EMNC为平行四边形，

AEMHCN.

18.【答案】D

19.【答案】(1)证明：•••△力5。为等边三角形，点E为43的中点,

=乙ACB=60%CE平分4力CB,AE=BE,

ECB=^ACB=30°,

;DE=CE,

：ZD=乙ECB=30°,

Vz/IBC=乙D+乙DEB,

:.乙DEB=^ABC一乙D=30°,

Z-D=Z-DEB,

：.BD=BE,

：.AE=BD

(2)解：当点E为线段43上任意一点时，(1)中的结论成立，理由如下:

如图②，过E作||交AC于F,

图②

**,△43c是等边三角形，

AZ.71BC=4ACB=^A=60%AB=AC=BC,

：./LAEF=^ABC=60°,Z.AFE=LACB=60°,

即ZTIEF=匕AFE=5=60°,

・・・△力E尸是等边三角形，

：.AE=EF=AF,

9：Z.ABC=^ACB=^AFE=60°,

:•乙DBE=乙EFC=120°,4D+(BED=乙FCE+乙ECD=60°,

;DE=EC,

:・zJD=Z-ECD,

:•乙BED=乙ECF,

(乙DBE=乙EFC

在aECF中，jzOEB=乙ECF,

、DE=EC

：.ADEB=AECF(AAS),

：.BD=EF,

：.AE=BD；

(3)解：如图③，过E作EF||BC交AC的延长线于F,

EF

图③

贝I」△力ET为等边三角形，乙ECD=MEF,

^AF=AE=EF=2fKF=60°,

VEC=ED,

:.(CEF=乙D,

•••△力8。是等边三角形，

:・BC=AC=1,乙ABC=60。，

・"DBE=乙ABC=60°,

：.Z.F="BE,

[ZF=乙DBE

在和△EDB中，\^CEF=zD,

、EC=DE

：.ACEF=AEDB(AAS),

：.BD=EF=2,

：.CD=BD+AC=2+1=3.

20.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形，

VADXBC,

・・・BD=CD,

\・DE〃AC,

・・・AE=BE,

/.DE=iAB=AE,

/.△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EG〃:BC,交AD于G,

G'

DC

VAE=BE,

；.AG=DG,

；.EG=1BD=1CD,

：EG〃BC,

.GH_EH_EG=1

^DH=CH=CD~2'

；.GH=1DH,EH=|CH,

VAD±BC,ZDCE=45°,

.•.△CDH是等腰直角三角形，

；.DH=DC,

；.AD=3DC,

VAB=AC=2V10,AC2=AD2+DC2,

A40=9DC2+DC2,

；.DC=2,

；.DH=DC=2,

；.CH="+22=2V2,

；.EH=|CH=V2,

AEH的长为V2.

21.【答案】(1)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

(2)解：任务二：如图，取EF的中点G,连接AG,

.四边形BCAD是矩形，

.,.ZDAC=90°,AD||BC.

在R3AEF中，点G是EF的中点,

AG=EG=FG=1EF.zGXF=乙F,

VEF=2AB,

AAB=AG.

.\ZABG=ZAGB.

・・・NABG=NAGB=NF+NGAF=2NF.

9：AD||BC,

・・・NF=NCBF,

・,.NABG=2NCBF,

・・・NABC=3NCBF,

・,.射线BF是NABC的一条三等分线

(3)解:2+2回

22.【答案】(1)证明：延长到点M,使BM=DF,连接4M,如图,

M气―E-C

9：^ABC+Z.D=180°,/.ABC+4ABM=180°,

Z-D=乙ABM,

AB=AD,乙ABM=乙D,BM=DF,

：.△ABM=^ADF,

：-AM=AF,^LMAB=Z.DAF.

9：^BAD=2/LEAF,

：.^BAE+Z.DAF=4BAE+乙BAM=^EAM=^EAF,

又丁力M=力尸，AE=AE,

：.AAEM=LAEF,

：.ME=EF,

：.EF=MB+BE=BE+DF；

(2)解：如图，延长DC,43交于点G,连接CN,CM,

•:(D=60%^ABC=120%乙BCD=150°,

・・・44=360°-60°-120°-150°=30°,

・"G=90°,

：.AD=2DG,

在Rt△CGB中,乙BCG=180°-150°=30°,

：.BG=^BC=50,CG=50V3,

:.DG=CD+CG=100+50V3,

-,-AD=2DG=200+100k，AG=y/3DG=150+1008，

"：DM=100,

'-AM=AD-DM200+IOOA/3-100=100+IOOA/3,

'：BG=50,BN=50(73-1),

.,.AN=AG-BG-BN=150+100b-50-50(8-1)=150+508，GN=BG+BN=

50V3,

VCD=DM,乙D=60°,

A△DCM是等边三角形，

:.乙DCM=60°,

'：GC=GN=50V3,

...△CGN是等腰直角三角形，

:.乙GCN=45°,

:.乙BCN=45°-30°=15°,

:.乙MCN=150°-60°-15°=75°=亚BCD,

由(1)的结论得：MNDM+BN=100+50(73-1)=50+50>/3,

AM+AN-MN=100+IOOA/3+150+50A/3-(5073+50)=200+IOOA/3®370(m).

路线M—N的长比路线M—A—N的长少370m.

23.【答案】(1)AE=CD；60°；△CBC可看作△ABE绕点b顺时针旋转60。得到的

(2)解：若点Z,B,。不在一条直线上，(1)中的结论①依然成立；理由如下：

・・•△ABC、ABDE都为等边三角形，

AB=BC,BE=BD,乙ACB=4CAB=4ABC=乙EBD=60°,

・••Z-ABE=Z-CBD,

AB=BC

在△力BE和△CBD中，\^ABE=^CBD,

.BE=BD

.*.△ABE=△CBD(SAS),

・•・AE=CD,乙BAE=乙BCD,

••・乙CAE+乙BCD=60°,

・・・Z.AOC=180°-4ACB一乙CAE-乙BCD=180°-60°-60°=60°；

(3)解：BD=2V41.

24.【答案】(1)解：DE2=BD2+EC2,

(2)解：关系式0方=BD?+EC2仍然成立.

证明：将AaDB沿直线ZD对折，得△4FD,连接FE

・•△A.FD=△ABD,

：-AF=AB,FD=DB,4FAD=^BAD,^AFD=^LABD,

又,.・48=AC,

：.AF=AC,

9：^FAE=4FAD+乙DAE=4FAD+45°,

乙EAC=^BAC-^BAE=90°-^DAE一4DAB)=45°+"AB,

：.^FAE=^EAC,

=AE,

△AFE=△ACE,

:・FE=EC,^AFE=/-ACE=45°,匕AFD=^ABD=180°一乙ABC=135°

・"DFE=^AFD-^AFE=135°-45°=90°,

在RtADFE中，DF2+FE2=DE2,

即DE?=BD2+EC2；

解法二：将4瓦4c绕点A顺时针旋转90。得到△T4B.连接DT.

DB

：.Z.ABT==45°,AT=AE,A.TAE=90%

tJZ-ABC=45°,

：.^TBC=乙TBD=90°,

*：Z-DAE=45°,

：.^LDAT=^DAE,

9CAD=AD,

：.ADAT三△。4E(S4S),

：.DT=DE,

9：DT2=DB2+BT2

：.DE2=BD2+EC2；

(3)解：当=时，线段。仄AO、EB能构成一个等腰三角形.

如图，与(2)类似，以CE为一边，作=在C尸上截取=

可得△CFE=△CBE,△DCFDCA.

「•力。=DF,EF=BE.

;•乙DFE=+42=44+=120°.

若使△DFE为等腰二角形，只需DF=EF,

即AD=BE,

・,・当?W=BE时，线段。从AD.EB能构成一个等腰三角形，且顶角AD/咕为120。.

25.【答案】AB=AF+AE【类比应用】（2）如图2,△力3c中，AB=AC,Nb4c=120。，点。为3c

的中点，E、尸分别为边力C、AB上两点，若满足ZEDF=6O。，试探究ZE、AF.AB之间满足的数量

关系，并说明理由.【答案】解：4E+AF=理由是：取AB中点G,连接0G,如图2

1

点G是斜边中点,:・DG=AG=BG=^AB,*：AB=

图2

AC,^BAC=120°,点D为BC的中点，^BAD=^CAD=60°,Z.^GDA=^BAD=60°,即

^GDF+Z.FDA=60°,X+^ADE=^FDE=60°,：.^GDF=LADE,'：DG=AG,

ABAD=60°,.•.△4DG为等边三角形，：.AAGD=ACAD=60°,GD=AD,：.AGDF

ADE{ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+ZF=豺8;【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，点。为BC的中点，E、F分别为直线AC、上两

点，若满足CE=1,乙EDF=6。。,请直接写出AF的长.【答案】解：AF的长为|或彳

(1)AB=AF+AE

(2)解：4E+4F=.理由是:

取中点G,连接DG,如图2

图2

•点G是△ADB斜边中点，

1

:.DG=AG=BG=与AB，

'：AB=AC,ZBAC=120。，点D为BC的中点，

：.^BAD=^CAD=60°,

：.^GDA=^BAD=60°,即NGDF+Z.FDA=60°,

XVZFXD+4ADE=乙FDE=60°,

:.乙GDF=^ADE,

"：DG=AG,4BAD=60°,

・•・△力DG为等边三角形，

：.^AGD=乙CAD=60°,GD=AD,

：.^GDFADE(ASA),

：.GF=AE,

：-AG=^AB=AF+FG=AE+AF,

i

^-AE+AF=^AB;

(3)解：49的长为怖或孑

26.【答案】(1)解：如图，过点G作GK,力。于点K,

•/四边形A3CD是平行四边形，

C.Z.DAC=^ACB,AB=CD,AD||BC,

：.^AEB=乙CBE,

*：ABLAC,

：.^BAC=90°,

*：£.DAC=30°,

：.^ABC=60°,^ACD=乙BAC=90°,

•・・3E平分4ABC,

：.^ABE=乙AEB=UBE=30°,

，乙CBE=/LACB,AE=AB,

：.CG=BG=2,

・・・4G=^BG=1,

：-AC=AG+CG=3,AE=AB=^BG2-AG2=W，KG=^AG=今

:*S四边形EGCD—S^ACD-S“GE

11

=^ACxCD-T^AExKG

乙乙

111

=7VX3XV3-TTXV3X7T

_5V3.

一丁’

(2)证明：如图，过点A作4_LAM于点A,交FH延长线于点J,

：.^BAF=乙BHF=乙BHJ=90°,/LAFB=^ABF=45°,

・••点A,B,F,H四点共圆，

：.z.BHA=/.AFB=45°,

:,乙AHJ=45°,

・・・△力可是等腰直角三角形，

：.AH=AJ,

:・]H=V2AH

AB=AF,乙BAH=乙FAJ=90°+乙PAH,AH=A],

：.△ABH三△477（S力S）,

：.BH=F],

•:HF+JH=HF+0AH

:・BH=FJ=FH+HJ=HF+V2AH

（3）解：咤+3；造

27.【答案】D

28.【答案】（1）解：9：^CAE+^BEA=180°,^AEC+Z.BEA=180°,

：.^CAE=Z.AEC,

：.AC=CE,

Vzc=38°,

：.^CAE=乙AEC=71°,

•・ZAD=25°,

：.^.CAE=71°-25°=46°；