2024年中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（解析版）

中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理

一、填空题

1.如图，等边三角形/回中，/庐4,高线/斤26,〃是线段/〃上一动点，以切为边向下作等边三角形

BDE,当点〃从点/运动到点〃的过程中，点£所经过的路径为线段四则线段◎/的长为，当点〃运动到

点〃此时线段碑的长为.

【答案】2A/32

【分析】由““S”可得△力及匕△侬,推出A&EC,可得结论，再由勾股定理求解8”=2,当2”重合时,

BE=BH=2,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接

,:丛ABC,△应后都是等边三角形，

：.BA=BC,BABE,/ABC=/DB氏6Q°,

:"ABD=Z.CBE,

在和△侬中，

BA=BC

<NABD=ZCBE,

BD=BE

应匡△侬（S4S）,

：.AD=EC,

:点。从点A运动到点H,

.1.点E的运动路径的长为CM=AH=26,

当£）,〃重合，而（即一①花）为等边三角形,

\BE=BH,

QAB=4,AH=2y/3,AHBC,

BH小平可=2,

BE=2,

故答案为：2瓜2.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形解决问题.

2.如图，正方形ABC。的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,/为AB边上的一个动点，连接£F,以EF

为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

【分析】由题意分析可知，点尸为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的

运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点/在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将绕点E旋转60。，使EF与EG重合，得到A£FB=A£HG,

从而可知AEB”为等边三角形，点G在垂直于"E的直线上，

作则CM即为CG的最小值，

作EPLCN,可知四边形HEPM为矩形，

135

贝I]CM=MP+CP=8石+—石。=1+—=一.

222

故答案为g.

2

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨

迹，是本题的关键.

3.如图，等边ABC中，AB=8,。是3C上一点，且2O—2C,点〃为A8边上一动点，连接OM,将

4

线段O"绕点。按逆时针方向旋转60。至ON,连接BN、CN,则谶四周长的最小值为.

【答案】8+2炳/2M+8

【分析】过点及作NDLBC于点〃过点。作于点"则NOHM=NODN=90°,证明

HOM马DNO,可得DN=OH,从而得到点”的运动轨迹是直线，且该直线与直线2C平行，在BC的左

侧，与BC的距离是作点C关于该直线的对称点£,连接BE交该直线于“即当点6,N,£三点共线

时，A5QV的周长最小，连接CE交该直线于G,则CE=2CG=2DN=2百，CELBC,求出BE,即可求

解.

【详解】解：如图，过点及作NO_L3C于点〃过点。作OALBW于点豆则NOHM=/ODN=90。,

c

•/ABC为等边三角形，

/.ZABC=60°,BC=AB=8,

：.ZBMO+ZBOM=120°,

根据题意得：ZMON=GO°,OM=ON,

：.ZNOD+ZBOM=120°,

ZNOD=ZBMO,

.HOM^.DNO,

：.DN=OH,

•；BO=-BC,

4

BO=2,

,：ZABC=60°,

NBOH=30°,

BH=-OB=1,

2

：.DN=OH=生,

.•.点"的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC平行，在BC的左侧，与BC的距离是6，

作点C关于该直线的对称点E,连接8E交该直线于N,

即当点6,从£三点共线时，ABOV的周长最小,连接CE交该直线于G,则CE=2CG=2DN=2也，CE1BC,

：.BE=yJCE2+BC2=J(2可+8。=2M,

...△/GV的周长的最小值为8+2&?,

故答案为：8+2719.

【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

4.如图，正方形ABCD的边长为2石，点P是CO边上的一动点，连接转，将AP绕点A顺时针方旋转60。

后得到AQ,连接CQ,则点P在整个运动过程中，线段C。所扫过的图形面积为.

【答案】373-3

【分析】根据题意画出点尸在C3上移动的过程，线段CQ所扫过的面积就是一C。。的面积，根据正方形的

性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段CQ所扫过的图形面积

S=；(S.AC2-SA02)，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可•

【详解】解：如图，当点P在点。时，相应的点。落在点0,当点尸移动到点C时，相应的点。在点Q,CQ

扫过的面积就是一COQ的面积，

由题意可知，△AOD、-AC。都是等边三角形，

.-.AO=DO=AD=2^,AQ=CQ=AC=^AEr+CEr=25/6，

四边形ABC。是正方形，△AOD是等边三角形,

...NODC=90°—60°=30°,ZACD=45°,

OD=CD,

/DOC=ZDCO=180°-30°=75。

2

ZACO=75°-45°=30°,ZQCO=ZQCD-ZDCO=45°+60°-75°=30°,

ZACO=ZQCO,

AC=QC,CO=CO,

AOCs,,QOC(SAS),

AO=QO,ZCQO=ZCAO=60°-45°=15°,

ZAOQ=360。-(180。-15。-30。)x2=90。,

即△A。。是等腰直角三角形，

二线段所扫过的图形面积S=AC。-SA。。）

=—x—x2^6x25/6x——x2y/3x2小

21222

=3\/3—3,

故答案为：3石-3.

【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等

边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提.

5.如图，点，是等边边AB上的一动点（不与端点重合），点，绕点。引顺时针方向旋转60得点£，

所得的8E边上与BC交于点?则fl的最小值为，

【分析】由旋转的性质得，CDE为等边三角形，由⑦得到笠CF=三CF，即C三F=CDg,从而得到

CDACDEAC

当CO最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当SLAB时，8值最小，作出对应图形，利用JACD

CD

是含3。。角的直角三角形"求出耘,从而得解.

【详解】解：由旋转的性质得：CD=CE,ZDCE=60°,

・•.CDE为等边三角形,

:.DE=CD=CE,ZA=ZDEC=60°

ZACD+ZDCB^60°

ZDCB+ZECF=60°

:.ZACD=NECF

•/ZA=ZDEC=60,ZACD=ZECF

CEFs、CAD

CFCEanCFCD

CDACDEAC

.AC为定值，

，当CO最小时，比值最小.

根据“垂线段最短”可知：当时，C。值最小,

过点。作于"并补全图形如下：

ABC是等边三角形，CD1AB,ZACB=60°

：.ZACD=-ZACB=30°

2

设AC=2a,则AD=—AC=a

2

•，.CD=4AC1-AD-=瓜，

此时空=生=鱼

DEAC2a2

即三的最小值为也.

DE2

故答案为：B.

2

【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30。角

的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将与转化为*是解题

的关键.

6.如图，在△AC2中，ZACB=60°,/B4c=75。，AC=12,点，是边BC上的一动点，连接A£),将线

段AD绕点/按逆时针方向旋转75。得到线段AE,连接CE,则线段CE长度的最小值是.

A

【答案】6^-6V2/-6A/2+6A/3

【分析】过点/作AF/3c于点片在AB上取点儿使AN=AC=12,连接@V,过点及作点于

点弘证明..N4D丝」./ME(SAS),求出CE=OV,得出当OV最小时，CE最小，根据垂线段最短，得出当

点〃与点〃重合时，ON最小，则CE最小，求出最小结果即可.

【详解】解：过点/作AF13C于点凡在上取点儿使AN=AC=12,连接。N,过点“作点

于点瓶如图所示：

根据旋转可知，AD=AE,/DAE=75。,

:ZBAC=ZDAE=75°,

ABAC-ZDAC=NDAE-ADAC,

即/NAD=NCAE,

•：AN=AC,AD=AE,

/..NAD^..CAE(SAS),

：.CE=DN,

...当@V最小时，CE最小，

•••垂线段最短，

，当点〃与点〃重合时，DN最小,则CE最小,

VZAFC=90°,ZBCA=60°,

ZC4F=90°-60o=30°,

：.CF=-AC=6,

2

AF=yjAC2+CF2=6百，

ZBAF=ZBAC-ZCAF=45°,ZAFB=90°,

/.ZB=90°-45°=45°,

/.ZB=ZBAF,

BF=AF=6也，

AB=ylAF2+BF2=6A/6，

BN=AB-AN=6A/6-12,

VZBMN=90°,/B=45°,

ZBNM=90°-45°=45°,

ZB=ZBNM,

BM=NM,

■/BN2=NM2+BM2,

/.2NM2=（6y/6-12^,

解得：NM=6币-66（负值舍去）,

CE的最小值为6g-60.

故答案为：65/3-6^2.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的

性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明CE=OV.

7.如图，点/的坐标为3，点8是x轴正半轴上的一点，将线段绕点/按逆时针方向旋转60。得

7

到线段AC.若点C的坐标为（左,4）,则"的值为.

【答案】手

【分析】连接BC,过/点作AFLx轴于凡C作8,无轴于点ACELAF于点£,则四边形DCEF是矩

形，根据将线段A5绕点/按逆时针方向旋转60。得到线段AC,可得.ABC是等边三角形，AB^AC^BC,

由点力的坐标为（组,3）,c（k,4）,有4c=JAE。+EC?=JF+（（-,而

BD=^BC--CD2=2-15，FB=y/AB2-AF2=J(k--8>^iOF+BF+BD=OD=k,可得

2-8=k，解方程可得答案.

【详解】解：连接BC,过/点作A尸，x轴于凡C作8_Lx轴于点〃CELAF于点£,则四边形DC£F是

1/将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC,

：.AB^AC,Zfi4c=60。，

ABC是等边三角形，

AB^AC^BC,

•••点月的坐标为(g,3),C(A,4),,

ACE=k--=FD,CD=4,AF=3,

3

AE=EF-AF=CD-AF=1,

Jl2+(k-y-)2=BC=AB>

OF+BF+BD=OD=k,

弋++J—*-8=k，

设"曰二x,则Jx，—15+Jx」-8=x,

化简变形得：3/_46》2-49=0,

c4Q

解得/=_1（舍去）或?=了，

••.x=2叵或彳=-型（不符合题意，舍去），

33

.767石

..k------=------,

33

.,873

••K=-----,

3

故答案为：述.

3

【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含“的代数式表示相关

线段的长度.

8.如图，在边长为6的等边，ABC中，直线AD1BC,E是AD上的一个动点连接EC,将线段召。绕点C逆

时针方向旋转60。得到FC,连接则点E运动过程中，OF的最小值是.

3

【答案】j

【分析】取线段AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质可得出CD=CG以及？凡D?ECG,由旋

转的性质可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出FCDMECG,进而即可得出

DF=GE,再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解.

【详解】解：取线段AC的中点G,连接EG,如图所示.

.ABC为等边三角形，AC=BC=6,且AD为一ABC的对称轴,

CD=CG=—AB=3,ZACD-60°,

2

ZECF=60°,

\?FCD?ECG.

FCD-ECG(SAS),

:.DF=GE.

当EG〃3C时，EG最小，

点G为AC的中点，

113

,止匕时EG=。尸=_Cn=_x3=_.

222

3

故答案为：—■

【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性

质找出=

9.如图，在AASC中，NACB=90°,点。在3C边上，BC=5,CD=2,点E是边AC所在直线上的一动点，

连接DE,将DE绕点。顺时针方向旋转60°得到DF,连接所，则班'的最小值为.

【答案】|7

【分析】当£与点。重合时，点尸与等边三角形切G的点G重合，当点尸开始运动时，△阅海△刀切，故

点尸在线段切上运动，根据垂线段最短原理，当配时，如有最小值，根据直角三角形的性质计算即

可.

【详解】当£与点C重合时，点少与等边三角形仪岩的点G重合，

,/DE绕点。顺时针方向旋转60°得到DF,

△龙广是等边三角形，

:./GDC=/FD皆6G,ED=FD,

：.ZGDC-ZGDE=AFDE-AGDE,

：.AED(=AFDG,

..•△龙尸是等边三角形，

CD^GD,

：./\ECD^/\FGD,

：.E(=GF,』ECD=/FG氏9G,

点尸在线段夕'上运动,根据垂线段最短原理,当BFL小时,即有最小值,如图，当旋转到BF〃DG时,BFLGF,

垂足为内，过点、D作DHLBF,垂足为〃

■:/FGD=90°,

四边形A加是矩形，

：.ZGDH=9Qa,G2F+2,

VZfi9C=60°，

：.ZBD/^30°,

9：BD=B(^CD=5-2=3,

13

:,BRBD=9

22

37

:・BF^F杀B卞2+—=—,

22

7

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟

练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键.

10.如图，正方形ABCD的边长为4,E为3C上一点，且5石=1,F为边上的一个动点，连接石尸，将石尸

烧点E顺时什旋转60°得到£G,连接CG,则CG的最小值为.

【答案】I

【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的

运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上

运动，

将4EFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合，得到AEBH为等边三角形，4EBF也

・・・NEHG=NABC=90°,HE=BE二1,ZBEH=60°,

・••点G在垂直于HE的直线HN上.

作CMLHN,则CM即为CG的最小值，作EPLCM,可知四边形HEPM为矩形,

.•.ZCEP=180°-60°-90°=30°,

.,.CP=1CE=1X(4-1)=|,

35

则CM=MP+CP=HE+PC=l+-=~,

22

【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，

含30。角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而

判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的

类型.

11.如图，AABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A,B的一动点，将4ACD绕点C逆时针旋转

60°得ABCE,则旋转过程中4BDE周长的最小值

【答案】273+4.

【分析】由旋转的性质得到BE=AD,于是得到CADBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,

由垂线段最短得到当CD,AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论.

【详解】：将4ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到aBCE,

/.ZDCE=60°,DC=EC,

/.△CDE是等边三角形，

由旋转的性质得，BE=AD,

CADBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,

VACDE是等边三角形，

・・・DE=CD,

**•CADBE-CD+4>

由垂线段最短可知，当CD_LAB时，ABDE的周长最小,

此时，CD=2出，

ABDE的最小周长=CD+4=2g+4,

故答案为26+4.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是

解题的关键.

12.如图，在oABC中，AC=BC=8,ZBCA=6Q,直线AD_LBC,£是42上的一个动点，连接£4将

线段或绕点C按逆时针方向旋转60得到/匕连接外则点£运动过程中，如'的最小值是.

【答案】2

【分析】根据题意取线段AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及

ZFCD=ZECG,由旋转的性质可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCDgZXECG,

进而即可得出DF=GE,再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值.

【详解】取线段4C的中点G,连接比,如图所示.

AC=BC=8fZBCA=60,

二.ABC为等边三角形，且独为」ABC的对称轴，

:.CD=CG=-AB=4,ZACD=60,

2

NEC尸=60,

:"FCD=/ECG.

在.FCD和ECG中,

FC=EC

<ZFCD=/ECG,

DC=GC

FCDGO^ECG(SAS),

:.DF=GE.

当EG/ABC时，最小，

「点G为/C的中点，

:.止匕时EG=DF=-CD=-BC=1.

24

故答案为2.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性

质找出上=GE本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是

关键.

13.如图，等边AAOB的边长为4,点P从点0出发，沿0A以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P

到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60。得点C,

点C随点P的运动而运动，连接CP、CA.在点P从。向A运动的过程中，当4PCA为直角三角形时t的值

为.

O

Q

【答案】2或3

【详解】如图(1)过点P作PD_LOB于点D,过C作CE_LOA于E,.•./PD0=/PEC=90°,

线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,

ZBPC=60°,BP=2PC,VZ0PD=30°,

ZBPD+ZCPE=90°,・,・NDBP=NCPE,

△PCE^ABPD,

CEPEPC

BD~PB9

CEPET

22

CE=—t,PE=2--t,0E=2+-t,

如图(2)当NPCA=90度时，作CF_LPA,AAPCF^AACF,AAPCF^AACF,——=——，.-.CF2=PF.AF,

(^^-t)J(2—t)(=2-3t),

444

；.t=2,这时P是0A的中点；

如图(3)当NCAP=90°时，此时OA=OE,

38

.*.2+—t=4,t=—，

43

Q

故答案为2或g.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，

旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出0E的长是解题的关键.

二、解答题

14.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(Z),0),且a,6满足1-6a+9+|b+3|=0,C、，两点分别是y轴

正半轴、x轴负半轴上的两个动点;

(1)如图1,若。(0,4),求△/回的面积；

(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,A/CBA=/CDE,求〃点的坐标；

(3)如图2,若4物=60°,以切为边，在切的右侧作等边△侬，连接阳当您最短时，求4E两

点之间的距离.

3

【答案】(1)的面积为12；(2)〃点的坐标为(-2,0)；(3)A,£两点之间的距离为彳

2

【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a,b,然后确定力、6两点坐标，从而利用三角形面积公

式求解即可；

(2)根据题意判断出△C3D/△以£,从而得到CB=AT>,然后利用勾股定理求出CB,及可求出结论；

(3)首先根据“双等边”模型推出DCBgECA,得至!]NDBC=N£AC=120。，进一步推出4E〃3C,从

而确定随着〃点的运动，点£在过点/且平行于理的直线制上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线

段的长度，确定数最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1)Va2-6a+9+|Z.+3|=0,

/.(a-3)2+|fe+3|=0,

a—3=04=3

由非负性可知,"3=。,解得:

b=-3f

.•.4(3,0),8(-3,0),AB=3-(-3)=6,

vC(0,4),

/.OC=4,

/.S,„=-AB.OC=-x6x4=12；

ABrC22

(2)由(1)知4(3,0),8(-3,0),

OA=OB,

OC.LAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

在AOC和H9C中，

OA=OB

</AOC=NBOC

oc=oc

：.△AOC^ABOC（5AS）,

・・・ZCBO=ZCAO,

■:NCDA=/CDE+ZADE=NBCD+NCBA,/CBA=/CDE,

：.ZADE=ZBCDf

在△3CD和VADE中，

/BCD=/ADE

<ZCBD=ZDAE

BD=AE

.,・一BCD^^ADE（AAS）,

：.CB=AD,

■：B（-3,0）,C（0,4）,

.•.03=3,OC=4,

BC=yJOB2+OC2=5>

AD=BC=5,

VA（3,0）,

r>（-2,0）；

（3）由（2）可知CB=CA,

ZCBA=60°,

...△/8C为等边三角形，ZBCA=6Q°,ZDB（=12.0°,

。应为等边三角形，

/.CD^CE,ZDCE=60°,

,：ZDCE=ZDC^ZBCE,ZBCA=ZBCE+ZECA,

:./DC氏/ECA,

在△〃力和△£（为中，

CD=CE

<ZDCB=ZECA

CB=CA

：.DCB^ECA（SAS）f

：.ZDBC=ZEAC=120°,

ZEAC+ZACB=120。+60°=180。，

:.AE//BC,

即：随着〃点的运动，点£在过点/且平行于死的直线网上运动,

「要使得小最短，

・•・如图所示，当血尸0时，满足侬最短，此时N第（=90°,

ZDBC=ZEAC=120°,ZC4B=60°,

/.ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,ZAO£=30。，

・・・A（3,0）,

OA=3,

13

・•・AE=-OA=-

22f

一3

・・・当龙最短时，4£两点之间的距禺为

【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理

解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是

解题关键.

15.在口相①中，ZABC=60°,48=4,比1=6.点石在欧边上且BE=4,将方石'绕点方逆时针旋转石°

得到回（0。<a<180°）.

图1图2

(1)如图1,当/酗=90。时，求.S&BCE；

(2)如图2,在旋转过程中，连接抽取CF中点“作射线物1交直线/。于点G.

①求线段即的取值范围;

②当/酶'=120°时，求证：BC-DG=2BF；

⑶如图3.当/眄=90°时，点S为线段篦上一动点，过点£作切吐射线/S于点弘”为川中点，直

接写出外的最大值与最小值.

【答案】（1）心加庐6；

（2）①1<哥'<5；②证明见解答;

（3）廨的最小值为何-应，脚的最大值为2应.

【分析】（1）如图1,过点少作及U6c交）的延长线于点凡根据题意求得

NEB丹180°-ZBBA-ZAB（=180°-90°-60°=30°,再根据特殊直角三角形的性质进而求得氏7上的高上2,

代入面积公式算出结果；

（2）①如图，在线段能上截取册班连接瓯CK,可证得四边形"减'是平行四边形，得出：BB=CkBE'

=4,除6,再运用三角形三边关系即可求得答案；

②可证△欧图2X8（源（AAS）,得出此/G,由/年即可推出结论；

（3）连接/反取加的中点P,用的中点&连接即NP、NQ、BQ,可证△力龙是等腰直角三角形，得出：

A*亚楞4血,再由点尸是四的中点，可得：BPLAE,且於/尸给2夜，利用勾股定理得80如，当

B、Q、及三点共线时，脚的最小值=6。的屈-行，当点S与点£重合时，EM^O,小0,止匕时，廨的最大

值=於20.

【详解】（1）解：如图1,过点£作9回交〃的延长线于点〃，

图1

:・/EHC=9G°,

•・•//除60°,ZEBA=90°,

・・・N破电180°-ZEBA-ZABC=180°-90°-60°=30°,

•・•点£在欧边上且3£二4,将夕£绕点8逆时针旋转得到明

：.BE^BE=4,

:・E小三B序三乂生2,

又•・•除6,

:・S丛BC拄X6X2=6；

(2)解：①如图，在线段共G上截取册即连接必CK,

・•・四边形6G伤是平行四边形，

:・BE=CaBE'=4,除6,

在△8%中，BJCK〈BK<BC+CK,

・・・6-4〈欧<6+4,

即2<2^<10,

・・・1〈即V5；

②证明：•・•四边形彼必是平行四边形，且N/吐60°,/庐4,

AZ^=180°-ZABC=180°-60°=120°,AD//BC,AD=BC,BE=AB,

VZW^=120°,即NJE^120°,

1/EBa/A,

,:EK〃BC,

：.EK//AD,

:./EKF/BGA,

ZEKB=ZBGA

在△刖和例中，(ZEBK=ZA,

BE=AB

:NKB^XBGA(AAS),

：.BJ^AG,

由①知：B0BF,

又'：AG^AD-DG,

：.2BF=BC-DG；

(3)解：连接力£,取/£的中点户，阳的中点。连接廖NP、NQ、BQ,

吐90°,AB=BB=4,

；.△/跖是等腰直角三角形，

:.A氏及AB=4及，

:点户是熊的中点，

C.BPLAE,且研=/尸上20,

是4〃的中点，户是的中点，

.../W是△A股的中位线，

：.PN//EM,

//仍/助注90°,

•点。是4P的中点，

/.Q回卜三Ak叵,

在Rt/\BPQ中，BQ-^BP^+PQ1=7(272)2+(>/2)2=M，

当反。、”三点共线时，廨的最小值=60除质-0,

当点S与点£重合时，屣0,PM0,

此时，外的最大值=於20.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，

全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题.

16.如图，线段46=10M,C是线段上的一个动点(不与48重合)，在上方分别以4C、及7为边作

正和正△比七连接"反交CD于M,连接BD,交CE于N,AE、BD交于H,连接6H

DD

(1)求sin/AHC；

(2)连接应；设4>=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式；

(3)把正△阳绕。顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中〃到△，方的三个顶点距离和最小，即

⑪概做的值最小，⑪班磔的值总等于线段初的长.若然=2甘，旋转过程中某一时刻24〃=3〃〃，此

刻△加灯内有一点产，求以+99的最小值.

【答案】(1)也；

2

(2)y=73x2-30^+100(0<x<10)；

⑶2M.

【分析】(1)过点C作夕」/£于点7,CRLBD于点R,光诬丛AC厘丛DCB得/CAM=/HDM,由直角三角函

数可得CT=C4.sin/CW=CD.sin/HDM=C7?,从而得⑦平分//曲，进而求得/4%=/乃%=60°即

可求解；

(2)如图2中，如图，过点，作》<1龙于点只先由三角函数求得DP=6X,又由

222

=10cm,得CE=CB=(10-x)cm,进而得此'=110-x-=110-jx|,最后由勾股定理即可求得y与

X之间的函数关系式；

(3)如图3中，以加为边向外作等边连接物由题意如是用+9/W.过点〃作。于〃，过

点/作彷，助于点G,过点〃作胸，助于反过点/作陶，外于点0.假设4〃=34,DH=2k,由勾股定

理得/〃=6,DH=4,DS=2j3,进而利用面积公式求得小鼠巨，利用勾股定理得以‘=3自，于是可得

77

ffQ=KG=,GW=KW=V21.从而有放=胃红，利用勾股定理即可求得婚的长即刃+9勿的最小值.

【详解】(1)解：过点C作于点T,CR1BD千点、R.

D

图1

■:AADC,△以劈都是等边三角形，

：.CA=CD,CE=CB,/ACD=/ECB=60°,

・•・AACE=/DCB,

在石和△板中，

CA=CD

<NACE=NDCB,

CE=CB

:.XACE^MDCB(SAS),

：.ZCAM=ZHDM,

VCTLAE,CRLBD,

：.CT=CA.sinZCAM=CD.sinZHDM=CR,

・•・CH平分/AHB,

•・•AAMC=/DMH,

；・NAHM=NACM=60°,

:./AHC=/BHC=6G°,

J3

.\sinNWR

2

(2)解：如图2中，如图，过点〃作》LB于点尸.

图2

9：AC=CD=x(cm),/DCE=60°,

：.CP=\cD=\x,DP=^-x,

222

V^=10cm,

：.BC=AB-AC=(10-x)cm,

CE=CB=(10-x)cm,

.,.抬=|10-厂；x|=|10-,

'-y=DE=^DP-+PE2=^(^x)2+(10-1.x)2=>/3X2-30X+100(0<x<10)；

(3)解：如图3中，以融为边向外作等边连接WH,由题意WH是PA+PAPH.过点〃作DS1AH千H,

过点/作彷，助于点G,过点〃作HK1AD于K,过点/作附，物于点Q.

可以假设/〃=34,DH=2k,

■:NDHS=6Q°,DSLAH,

:.SH=jDH=k,DS=班k,AM=2k,

,:Mf=A6+De,

：.(277)2=(2k)2+(64)2,

：.k=2(负根已经舍弃)，

：.A//=6,DH=4,DS=2退,

'：^'AH'DS=\'AD'HK,

.“6A/21„„i——；-----rI“2,6屈、22币

DK=dDH?_KH?=小不=丁~-,

,：4G=DG=不，四边形WQKG是矩形,

：.WQ=KG=不-m=辿,GW=KW=V21,

77

：.HQ=KHvKQ=13a^~,

7

WH=yjwQ2+HQ2=浮产+（当药=2M.

.•.川+小用的最小值为2M.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助

线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键.

17.在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究.

图1图3

(1)问题梳理，问题呈现:如图1,点。在等边ABC的边BC上，过点C画4B的平行线/，在/上取CE=3E),

连接AE,则在图1中会产生一对旋转图形.请结合问题中的条件，证明：汪△ACE；

(2)初步尝试：如图2,在ABC中，AB=AC,点。在BC边上，且皮><OC,将△ABD沿某条直线翻

折，使得与AC重合，点。与2C边上点尸重合，再将△ACT沿AC所在直线翻折，得到&CE,则在

图2中会产生一对旋转图形.若N&4c=30。，AD=6,连接OE,求VADE的面积；

(3)深入探究：如图3,在ASC中，/ACB=60。，ZBAC=75°,AC=6,点。是边3c上的任意一点，

连接4),将线段AD绕点A按逆时针方向旋转75°,得到线段AE,连接CE,求线段CE长度的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)9；(3)373-372

【分析】(1)根据△A6C是等边三角形，可得恕=阳/掰(7=/6=60°,进而利用弘S可证明△血屋

(2)如图2,过点£作见_丝于〃，由翻折可得与△/及/可得/£="=6,EH=3,再运用

SAADE==乂ADXEH,即可求得答案.

(3)如图3中，在26上截取AN=AC,连接DN,作NH1BC于H,作ML8c于M.利用弘S证明△品电△的用

推出当〃V的值最小时，欧的值最小，求出的的值即可解决问题.

【详解】(1)如图1,

E

B

DC

图1

・・・△28。是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZB=60°,

CE〃AB,

：.ZACE=ZBAC=60°,

ZB=/ACE,

在△/必和中，

AB=AC

<ZB=ZACE,

BD=CE

：./\ABD^/\ACE(SAS)；

(2)如图2,过点与作必，弱于〃,

图2

•・•由翻折可得：XAC衿XABD,XAC恒XACF,

：.XACE^△/区度AACF,

：.AE=AD=6,/CAE=/BAD,

：.ZD