河南省郑州市2024届高三第三次质量预测数学试题含答案

郑州市2024年高中毕业年级第三次质量预测

数学试题卷

注意事项；

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第1卷（选择题，共58分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.友数z=a+尻（a,6£R且。六0），若（1+2£）£为纯虚数，贝。

A.a=~2bB.a=2bC.2a=bD.2a=~b

2.已知集合A={Z|N2-3工一440},B=GI*=ln（"+l））,则AflB=

A.C-1,4]B.CO,1]C.（0,4]D.[0,4]

3.ZiABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c.若6=7,C=6,COSB=L

贝（Ja=

A.5B.6C.8D.10

4.下列可以作为方程"+y=3工'的图象的是

高三数学试题卷第1页（共6页）

5.已知等比数列（。“）的前三项和为56,。2一即=14,则即=

A.4B.2C.-j-D.j

6.如图，正方形ABCD的中心为0,边长为4,将其沿对角线AC折成直二

面窗，设M为AD的中点，N为BC的中点，则三角形M0N沿直线MN旋转一

周得到的旋转体的体积为

A.等nB.当n

C.零”D.挈n

oJ

7.抛掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分

别为1,2,3,4）,若骰子与桌面接触面上的数字为1或2,则再抛掷一次，否则停

止抛掷（最多抛掷2次）.则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为

97-3元月

A16BD,1608D,16

8.设xi，工zG（。，+8）,且e11+lnz2=l，则

A,若乃=x2，则工i€B.若zi%=l，则因存在且不唯一

C.Xi+a：2>lD.工1+1皿2>0

二、多选题:本题共3小题,每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=cos(2x—y)

J

A.噂，0）是人%）的对称中心

B./Gc）在（一音，音）上单调递增

C.经过点（/，空）的直线与函数的图象相交

D.将/（%）的图象向右平移专个单位长度后得到3»=sin2x的图象

高三数学试题卷第2页（共6页）

10.已知直线Z：ax+"+l=0（a,b不同时为0）,圆匕^+寸一2工=（）,则

A.当bz-2a=l时，直线I与圆C相切

B.当a+d==-2时，直线Z与圆C不可能相交

C.当a=l,6=-1时，与圆C外切且与直线2相切的动圆圆心的轨迹是

一条抛物线

D.当a=l,6=-1时，直线Z与坐标轴相交于A,B两点，则圆C上存在

点P满足腐■•庠=0

11.已知三棱锥▽一人8（；,必=”=丫。，2!\八8（：是边长为2的正三角形，

D,E别是VA,AB的中点，/CDE=90°,V在平面ABC内的投影为点在

平面VAB内的投影为点P.

A.VA,VB,VC两两垂直

B.P在平面VAC的投影为VA的中点

C.C,M,E三点共线

D.形如三棱锥V-ABC的容器能被整体装入一个直径为2.5的球

第II卷（非选择题，共92分）

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分，共计15分.

2

12.已知logU+410gM=4,则左的值为.

6b--------

13.已知双曲线C号一1=1（40,6>0）的离心率为氏A,B分别是它

的两条渐近线上的两点（不与坐标原点O重合），点P在双曲线C上且豆T+9

=2OP^AOB的面积为6,则该双曲线的实轴长为.

12

14.抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为卷,反面向上的概率为/，记

〃次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为%，则数列｛&｝的通项公式4=

高三数学试题卷第3页（共6页）

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.（13分）

按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家

发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下

表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积

的百分比（》%）：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码X,.12345

yi6.45.55.04.83.8

（D求2017-2021年年份代码与与“的样本相关系数（精确到0.01）；

（2）请用样本相关系数说明该组数据中y与工之间的关系可用一元线性回

归模型进行描述,并求出）关于工的经验回归方程；

（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.

（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

x)(yi-SS

&=—~~；----------->a=y—bx,(,'Sxyi=7O.6,Sj-=133.69)

S(x-i)2m-

<-i

It

X)(yf—y)____

附:样本相关系数,r=.，^3674^6.

J卒hl杀喏

16.（15分）

已知函数/（x）=eax—x.

（I）若a=2,求f（z）在处的切线方程;

（口）讨论八幻的零点个数.

高三数学试题卷第4页（共6页）

17.(15分)

如图，在三棱台ABC-ABiG中，ACJ_AB,平面ABB】A】_L平面ABC,

AAi=AiBi=BBj=-yAB=1.

u

(1)证明：84_1_平面4。64；

（口）若三棱锥A-ABC的体积为吟,求平面ACGA1与平面BCGB］的

夹角的余弦值.

18.（17分）

已知椭圆C：,+1=1（。>6>0）的左右顶点分别为A1和A2,离心率为

与，且经过点P（-2,居），过点P作PH垂直工轴于点H.在工轴上存在一点

A（异于H）,使得微斗=弊.

（I）求椭圆C的标准方程；

（H）判断直线AP与椭圆C的位置关系，并证明你的结论；

（ID）过点A作一条垂直于工轴的直线2,在Z上任取一点T,直线TA.和

直线TAz分别交椭圆C于M,N两点，证明：直线MN经过定点.

高三数学试题卷第5页（共6页）

19.(17分)

复数除了代数形式a+bi之夕卜，还有两种形式，分别是三角形式和指数形

式，著名的欧拉公式ei，=cos(9+£sin8体现了两种形式之间的联系.利用复数的

三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换.

根据(a+6i)e”=(a+fti)(cos^+isin^)=acos^—&sin^+(asin^+6cos^)t,

我们定义:在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转0的变换称为旋转

角是&的旋转变换.设点A(a,6)经过旋转角是0的旋转变换下得到的点为

a，=acos^—dsinl9»

A'(a',从),且旋转变换的表达式为1,曲线的旋转变换也如此,

,b=asin&+6cosa

比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转看后就得到双曲

XO

纾•一/________芸—

2(&+1)2(#-1)•

(1)求点(一1,一宿)在旋转角是余的旋转变化下得到的点的坐标；

(D)求曲线％3=1在旋转角是卷的旋转变化下所得到的曲线方程；

(皿)等边中，8(—1,-1),A,C在曲线工？=1上，求△ABC的

面积.

高三数学试题卷第6页(共6页)

2024年郑州市高中毕业年级第三次质量预测

数学评分参考

一、单选题

题号12345678

答案ADABDCAC

二、多选题

题号91011

答案BCACDACD

三、填空题

12.—；13.2y/~6；14.—+(-)n+1.

四、解答题

15.(13分)

_1+2+3+4+5

（1）由已知可得,x=----------

—6.4+5.5+5.0+4.8+3.8..

y=---------------------=5.1,...........2分

由题可列下表:

/-x-2-1012

1.30.4-0.1-0.3~1.3

yi-y

5__F5Z_r-5Z_______

22

x)(%—y)=—5.9,E(x;--X)=Vio,-y)=V3?64.

z=lvZ=1Yi=l

5__

Z(x,—x)(%—y)

-59-59

i=l金:2一^”—0.98.5分

36.46

£(X,一X)2区(上一»

i=lV(=1

（2）由（1）知，y与x的相关系数外土-0.98,上接近1,所以y与x之间具有极强的线性相关

关系，可用线性回归模型进行描述............8分

1

AZ(x，-x)(N7)_59

(3)由(1)知，------------=--=-0.59,............9分

/一、210

2/Xj-X)

(=1

a=y-bx=5.1-(-0.59)-3=6.87............]0分

所求经验回归方程为:=—0.59x+6.87.............11分

(3)令x=8/=2.15,预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%.…13分

16.(15分)

解(1)若。=2,则/(x)=e"'—x,/'(X)=_1.............1分

又〃l)=e2-l.

故所求切线方程为j-(e2-l)=(2e2-l)(x-1)

即y=(2e2-l)x_e2.............4分

(2)由题/'(x)=ae»_l.............5分

1当三40时,/'(x)<0,/(x)在R上单调递减,X/(0)=l>0,/(l)=ea-l<0.

/(x)存在一个零点，此时/(x)零点个数为1.

2。当a>0时，令/'(%)<0得x<-----，令/'(X)>0得x>------,

aa

则/(X)在(-°0,-----)上单减,在(-----,+8)上单增.

aa

/(X)的最小值为/(-—)=匕@q.............9分

aa

I)当时，/(x)的最小值为0,此时/(x)有一个零点.............I1分

e

Ii)当a〉工时，/(x)的最小值大于0,此时/(x)没有零点.............13分

e

lii)当0<。<!时，/(%)的最小值小于0,e~a+1>0,

e

c,In。、1+111Q,「,、rz\A一,

f(-----)=-------<0,Xf+00时，/(x)f+8.此时t/(x)有两个零点.

aa

综上，当a<0或时，/(x)有一个零点；当0<。<!时，/(x)有两个零点;

ee

当a〉工时，/(x)没有零点.............15分

e

2

17.(15分)(1)证明：如图，在等腰梯形中，连接A4i，

又；A4=4BI=BBI=LAB=1,可以解得34=6,

2

在三角形8/4中，AAi2+BA!2=AB2,：.BAi±AAi,

又,/平面1平面/8C,且平面48月4c平面4BC=AB,

AC1AB,且/3u平面NCG4

面/网吊，：.BAiLAC.........................4分

又：44]C/C=/,且/C,44]u平面/CG4

.*.8Ni_L平面NCCj/i.........................5分

(2)由⑴可知，VAt_ABC=Vc_ABA[,

-x—xlxV3x^4C=——，AC=3.........................7分

322

以A为原点，以ZC,48为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系/-平.

可得：B(0,2,0),C(3,0,0),；,g),耳(o,|,日).

易知平面ACCiAi的一个法向量为凤=(0,后,苧，........................9分

设平面BCCiBi的法向量为n=(x,y,z),又,:瓯=(0,-1,y^),BC=(3,-2,0)，

由何函=一”*=。，

nBC=3x-2y=0,

令2=6，解得平面3CC131的一个法向量为7=(2,3,道)，............12分

cos<BA,,n>=-........................14分

14

/.平面ACCiAi与平面BCCiBi的夹角的余弦值为1.........................15分

4

18.(17分)

解：⑴由题意得e2=l-4二，将P(一2,扬代入椭圆方程得二+2=1,联立方程组,

a4ab

a1=16丫22

解得1°,.•.椭圆的方程为t+21=1..................................................4分

〃=4164

(2)直线/P与椭圆C相切.............5分

3

理由如下:

x—46

设/（x,0）,AA2:AAX=HA2:HAl,得一^=5，解得x=-8,止匕时/（-8,0）,…6分

、/3

直线/尸的方程为歹=左（》+8）,7分

6

Iy=H6（X+8处）,

o

联立直线4P与椭圆C消y得，无2+4x+4=0,解得x=-2.

£+匚1

十1,

U64

直线4P与椭圆C相切.........10分

（3）设7（-8"）,

由7（-8,t）,河（不，%）,4（-4,0）三点共线，得

国+44

由7（-8,f）,N（%,%）,4（4,0）三点共线，得上^,

X2-412

得必（X?-4）=二又：J1,得了；=_1,_____£_____」，

%（演+4）164-164（再一4）（国+4）4’

得（再_4）6-4）=_]2,

即玉%—4（石+9）+12必%+16=0.①

设直线MN的方程为x=my+n,

即（冽2+12）必歹2+（机〃—4加）（弘+%）+〃2-8〃+16=0.12分

x=my+n,

22222

联立直线与椭圆C<xy消x得（m+4）j/+2mny+n-16=0,

—+—=1,

〔164

2mn

%+%=一

m2+4

则有②................14分

H2-16

%为=

m2+4

将②式代入①式，得/一2几一8=0,解得n=4（舍）或〃=-2.

・•・直线〃N经过定点（-2,0）.17分

19.（17分）

4

兀rz.Ji

x=-cos—+V3sm—,

分

（1）由题可设所求点的坐标为（X/）,2

71

y=-s.in兀----7A3cos—,

44

得所求点的坐标为（逅产,-逅产）.