江西省等三省十校2024届数学高一年级下册期末学业质量监测试题含解析

江西省等三省十校2024届数学高一下期末学业质量监测试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B

铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.设a=log-[j,c=,则a,。,c的大小关系为（）

4

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

2.数列M｝中，a

=2日a+a=—_—+2(〃22)则数歹Ur——Vr前

n1nn-1a-a(77-it

nn-1I„7J

2019项和为（）

4036201940374039

A.------B.____c.-----D.-------

2019101020192020

3.若不等式举-以+120对一切xe[2,+oo）恒成立，则实数。的最大值为（）

5

A.0B.2C.-D.3

4.在A4BC中，若。=2/=2W,4=30。,则2等于()

A.30°B,30°或150°C,60°D.60。或120。

5.设等差数列%｝的前“项和为S,首项a〉0,公差d<0,

«<o,则s最

nn11021n

大时，n的值为（）

A.11B.10C.9D.8

6.等比数列3｝的各项均为正数，且入。=16,则loga+log

a+---+loga=()

n19212229

A.10B.12C.16D.18

7.过点P（-2,m）和Q（m,4）的直线斜率等于1,那么m的值等于（）

A.1或3B.4C.1D.1或4

8.已知数列风｝满足log3a“+l=log3a“+](〃eN+)且氏+4+\=9,则

1°81（4+。7+。9）的值是（）

3

11

A.—5B.--C.5D.-

55

9.圆「被直线截得的线段长为()

A.2B.C.1D.

10.在AABC中，若sim8+sin2C=siruA,则此三角形为()三角形.

A,等腰B.直角C.等腰直角D.等腰或直角

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11,直线2x—3y+12=0在丁轴上的截距是.

2x-y=1

12.方程组〈J.的增广矩阵是_______.

x+3y=2

13.设等比数列满足a]+a3=10,a2+a4=5,则ap2…的最大值为.

14.在AABC中，已知"是A5边所在直线上一点，满足CA/=-2C4+九C",则

九二.

15.已知三棱锥。―ABC的外接球的球心。恰好是线段A3的中点，且

AC=BC=BD=AD=0CD=2,则三棱锥。—ABC的体积为.

16.若不等式(a-l)sinx-l<0对于任意xeR都成立，则实数。的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知函数/00=-25布_¥-<：052X.

兀

(I)比较了的大小.

(II)求函数/(X)的最大值.

18.在A4BC中，角A的平分线交于点D,AAOC是A4BD面积的3倍.

AC

(I)求：石的值；

AB

(II)若A=30。，AB=l,求AD的值.

71

sin一+Xsin（K一%）

19.若/G）:2,，

cos（-K-xjtan（7i-x）

(1)化简/(x)；

(2)求函数/(X)的单调递增区间.

20.已知等差数列｝的前“项和为S,且。=2,a=6

n26

(1)求。；

n

(2)求S.

n

21.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据.

X681012

y2356

(1)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程亍=晟+&；

(2)判断该高三学生的记忆力x和判断力是正相关还是负相关；并预测判断力为4的

同学的记忆力.

y-nxy

(参考公式：=---------)

乙X2-nx2

Z=1

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、B

【解题分析】

不难发现。(°，b)l,O<c<l,从而可勘>c>a.

【题目详解】

•；a=叫图(b=图2/。=图3(1b)c>a,故选B.

【题目点拨】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小.

2、B

【解题分析】

由。+u—+2(7122)可得。2—。2—2(。—a)=〃化为：

n〃-1CL—ann—lnn—1

nn-1

Q-1>-G-1^=11,利用“累加求和”方法可得(a—»=再利用裂

nn-1n2

项求和法即可得解.

【题目详解】

解.・・a+。=--------+2(n>2)

肿.n-ia-a'

nn—1

a2-a2—2(a-a)=〃，

nn—1nn-l

整理得：(a-l)2-G-l)2=n,

nn-1

G-l)2-G-l)2=n+(n-l)+......+2,又a=2

n11

可得：(a-11n{n+l)"+J

n

则数列前2019项和为：

2019

1010,

故选反

【题目点拨】

本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能

力与计算能力，属于中档题.

3、C

【解题分析】

采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关

系求解参数最值.

【题目详解】

因为不等式在—X+120对一切%eh+8）恒成立，

所以对一切xeL，>00),ax<x2+l,即。4±士1恒成立.

X

令gG)==x+1Qe[2,+8)).

xx

易知8(%)=》+1在［2,+8)内为增函数.

x

所以当x=2时，g(x)=1,所以a的最大值是故选C.

min22

【题目点拨】

常见的求解参数范围的方法：

(1)分类讨论法(从临界值、特殊值出发)；

(2)参变分离法(考虑新函数与参数的关系).

4、D

【解题分析】

b

由正弦定理，求得sinB=—sinA,再由a<b,且Be(0,180),即可求解，得到答

a

案.

【题目详解】

b

由题意，在AABC中，由正弦定理可得埼

sinB

即sinB=2sinA=^-sin30°=且，

a22

又由。<。，且3e(0/80),所以5=60°或6=120°,故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5、B

【解题分析】

由等差数列前〃项和公式得出S=21a,结合数列｛a｝为递减数列确定

2111n

a>0,a.：：0,从而得至ijS最大时，”的值为10.

1011n

【题目详解】

由题意可得S=21。+------d=21a+10J=21Q

21i2111

•/a.S<0

1021

a-a<0

1011

等差数列｛a｝的首项。>0,公差d<0

n1

则数列｛a｝为递减数列

n

：,a>0,a<0

1011

即当“=io时，s最大

n

故选B„

【题目点拨】

本题对等差数列前〃项和以及通项公式，关键是将转化为21a结合数列｛a｝的

2111n

单调性确定s最大时，〃的值为10.

n

6、D

【解题分析】

本题首先可根据数列3｝是各项均为正数的等比数列以及。」16计算出。的值，然

n195

后根据对数的相关运算以及等比中项的相关性质即可得出结果.

【题目详解】

因为等比数列｛a｝的各项均为正数，a-a=16,

n19

所以=42=16,a=4,

1955

所以loga+loga+•■■+loga=loga?=log4»-log218:18,

2122292522

故选D.

【题目点拨】

本题考查对数的相关运算以及等比中项的相关性质，考查的公式为

logb+logc=logb-c以及在等比数列中有a2=a，a,考查计算能力，是简单

aaannmnmt

题.

7、C

【解题分析】

试题分析：利用直线的斜率公式求解.

解：..•过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1,

解得m=L

故选C.

考点：直线的斜率.

8、A

【解题分析】

aa

试题分析：；loga+l=logaloga-loga=1即log,=1=3

3n3n+\3n+13n3ad

nn

二数列｛。｝是公比为3的等比数列+a+a=q3(a+a+a)=3sx9=3s

n579246

log(a+a+a)=-5

1579.

3

考点：L等比数列的定义及基本量的计算；2.对数的运算性质.

9、D

【解题分析】

由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长，即可得出

结果.

【题目详解】

因为圆：的圆心为，半径；

所以圆心到直线的距离为，

因此，弦长

故选D

【题目点拨】

本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型.

10,B

【解题分析】

由条件结合正弦定理即可得到上+°2=。2,由此可得三角形的形状.

【题目详解】

由于在AABC中，有siru3+sin2C=sin2A,根据正弦定理可得。2+°2=。2；

所以此三角形为直角三角形；、

故答案选B

【题目点拨】

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、4

【解题分析】

把直线方程化为斜截式，可得它在丁轴上的截距.

【题目详解】

2

解：直线2x—3y+12=0,即丁=3》+4,故它在丁轴上的截距是4,

故答案为：4.

【题目点拨】

本题主要考查直线方程的几种形式，属于基础题.

（2-1

19

132

【解题分析】

理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵.

【题目详解】

由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，

'2%_y=l（2-11）

故方程组'）的增广矩阵是14c.

x+3y=232

（2-1

故答案为：［R）

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组与增广矩阵的关系，需理解增广矩阵的涵义，属于基础题.

13、64

【解题分析】

a+a=10广（1+平）=101

试题分析：设等比数列的公比为夕，由｛13〈得，解得｛1.

a+a=5aa1+农）=5'

24q=c

1〃（〃一1112

所以〃〃…a=〃〃qi+2+…+（〃-i）=8〃x（―）?—2~2n+in,于是当〃=3或4时，

12n12

aa…a取得最大值26=64.

12n

考点：等比数列及其应用

14、3

【解题分析】

由M在45边所在直线上，则丽=fZ^(teR),又改=—2C5+九C5,然后将

AM,A目都化为C4,在即可解出答案.

【题目详解】

因为加在直线A5上，所以可设凤teR),

可得CM，—C4=t(CB-G4),即CM=(l-t)CA+tCB,

久CM=,则一2四+九四=(l-t)国+fa

-2=l-t

由也与。不共线，所以八，解得入=3.

AJ=t

故答案为：3

【题目点拨】

本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.

15w

3

【解题分析】

根据题意得出平面。皿后，由V=、S--AB计算可得答案.

D-ABC3OCD

【题目详解】

因为三棱锥D-ABC的外接球的球心0恰好是48的中点，

所以和人钻。都是直角三角形，

又因为AC=BC=BD=AD=2,所以AB_LOC,AB_1_OD,

又。cnOD=O,

则AB，平面。CD.

因为OC=OD=CD=0,所以三角形CO。为边长是G的等边三角形，

所以V=—•S-AB=L正义(/7)义2卢=直.

D-ABC3'OCD34、“3

故答案为：叵

3

【题目点拨】

本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥与球的组合，考查了三棱锥的体积公

式，属于中档题.

16、（0,2）

【解题分析】

利用换元法令f=sinx1,1]）,将不等式左边构造成一次函数/«）=（。-1»-1,

根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得。的取值范围.

【题目详解】

^t=sinx,XGR,则te[-1,1].

由已知得，不等式9-3-1<0对于任意/日一1,1]都成立.

/(-1)<0

又令/(0=(a-l)/-l,则即《

/(1)<01[(a-l)-l-l<0

解得0<a<2.所以所求实数。的取值范围是0<a<2.

故答案为：9,2）

【题目点拨】

本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函

数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、（I）/用>/口；（II）f=T时，函数取得最大值3

【解题分析】

试题分析：（1）将f（7），f（T）求出大小后比较即可.（2）根据三角函数二倍角公

式将f（x）化简，最终化得一个二次函数，根据二次函数的单调性，由此得到最大值.

解：（I）因为/（x）=-2sinx—cos2x

.7171

所以/-2sin--cos2•—=

44

c•兀c兀3

-2sin--cos2•—=

662

—37171

因为所以/

(II)因为/(x)=-2sinx-G-2sin2_x)=

2sin2x-2sinx-1=2\sin%--

I2M

令1=sinx,te[-1,1],所以y=2「|——»因为对称轴—

根据二次函数性质知，当f=T时，函数取得最大值3.

18、(I)J3；(II)出

2

【解题分析】

AC

(I)根据AAOC是AAfi。面积的O倍列式，由此求得前的值.(H)用B来表示C,

AC八

利用正弦定理和两角差的正弦公式，化简(I)所得前的表达式，求得35的值,

进而求得NADB的值，利用正弦定理求得的值.

【题目详解】

(I)因为4。平分角/BAD,所以NBAD=ZCAD.

cLAC-AD-sinZBAD”

32AC内

所以-------------------=不=道.

ABD-ABAD-sinZCAD

(II)因为4=30。,所以。=150。一6,

AC_sinB_sin5_siaB_耳

由(I)AB~Ii^C~sin(150°-B)~l八了.

—cosB+」一smB

22

所以sinB=#cosB+1-sinB,即tanB=-y/3.

得5=120。，因为AD平分角/B4C,所以4位宏二30。+15。=45,

ADAB

因为筋=1’由正弦定理知示尔=示三

AD11

76

即辿sin45°3,得AD=

2

~T2

【题目点拨】

本小题主要考查三角形的面积公式，考查三角形内角和定理，考查正弦定理解三角形,

考查角平分线的性质，属于中档题.

19、(1)/G)=cosx(2)LE-兀,2加](左eZ)

【解题分析】

(1)利用利用诱导公式化简/(x)得解析式，可的结果.

(2)利用余弦函数的单调性求得函数/(x)的单调递增区间.

【题目详解】

,()_COSsinXsinx

(1)JW=--------f------=------=COSX.

—cosx,\—tanx)tanx

(2)v/(x)=COSX

令2左兀一兀W%w2左兀，左eZ,

/(x)的单调递增区间为—兀,2%兀］(左eZ).

【题目点拨】

本题考查利用诱导公式化简求值、求余弦函数的单调区间，考查函数与方程思想、转化

与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.