福建省福州市2024届高三第三次质量检测数学试题试题及答案

2023~2024学年福州市高三年级第三次质量检测

数学试题

本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足卜+1)1=1+1,则Z=()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

【详解】(z+l)i=l+i,

•・z+i”=『=i

,\z=­i-

故选：C.

2.已知角。的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosa=(,尸(m,2)为其终边上一点，则加=

()

A.-4B.4C.-1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.

【详解】始边与x轴非负半轴重合，ssa力，P(私2)为其终边上一点，

5

则/，=£，且加＞0，解得m=l.

y/m+43

故选：D.

f+3

3.函数/'(力二了二的图象大致为()

【解析】

【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案.

x2+3

【详解】因为函数/'(x)=^^的定义域为R,排除CD,

V%+i

又/(-%)=/(%)，即『3为偶函数，图象关于y轴对称，排除B.

故选：A.

4.在菱形ABCD中，若|A3—且在AB上的投影向量为XAB，则4=()

A--B.1C.—正D.交

2222

【答案】B

【解析】

71

【分析】根据给定条件，结合向量减法可得NR4D=—,再利用投影向量的意义求出九.

3

【详解】由河—4。|=|叫，得|四=|叫，而ABC。是菱形，则ZVIB。是正三角形,

7TTTI

于是N3AD=V,ADAB=\AD\\AB\cos-=-\AB\1,

332

因此AD在AB上的投影向量为也"A8=4A5,所以彳=」.

|AB|22

故选：B

5.已知a=log52,Z?=log2a,c=[g]，则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】判断出b<0,ol,即可求解.

,

【详解】,log5l<a=log52<log55=I,..0<a<1；

Z?=log2a<log2l=0,故Z?<0；

，故c>l,故c>a>Z?

故选：B.

6.棱长为1的正方体ABCD—中，点尸为BQ上的动点，。为底面ABC。的中心，则。尸的最

小值为（）

A.BB.旦C.—D.W

3362

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得0P的最小值为点。到线段BQ的距离，借助相似三角形的性质计算即可得.

【详解】由题意可得0P的最小值为点0到线段BD1的距离,

在平面D}DB内过点。作OPJ_BD,于点p,

由题意可得。2=1,DB=6,BD[=6。。，平面43。，

因为QBu平面ABC。，则。。口。2,因为，OPBsD〔DB,

故那款即吁3=+.近

1BD、66

故选：C.

7.若直线y=ox+b与曲线y=e*相切，则a+b的取值范围为()

A.(-co,e]B,[2,e]C.[e,+co)D.[2,+<X>)

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得a+b=(2-e"，借助导数得到函数/(x)=(2-力/的值域即可

得解.

【详解】对于y=e',有9=1,令切点为(办e"),则切线方程为y=e"'(x—"z)+e”，

即y=emx+(l-/n)ew,即有a+b-em+(l-m)em=(2-m)e'n,

令/(x)=(2-%)e',则r(x)=(l—x)e*,

当x<l时，/'(力>0,当x〉l时，/f(%)<0,

故/(%)在(-0),1)上单调递增,在(1,+。)上单调递减，

故〃x)"(l)=(2-l)3=e,

又当X趋向于正无穷大时，/(九)趋向于负无穷，

故/(X)e(-oo,e],即a+be(T»,e].

故选：A.

8.函数/1(*)=2$1118(瓜1118+8$8)3>0)在(0,会上单调递增，且对任意的实数°,/(%)在

(aM+兀)上不单调，则0的取值范围为()

(.5](.515]C15一

I2」(4」(22」124」

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得/(x)=2sin(2ox-1)+e,由题意利用正弦函

数的单调性可得出生-3〈二，所以。4之，利用正弦函数的周期性可求Ax)的周期7=盘<2%，解得

33242(o

CD>—,即可得解.

2

【详解】因为/(x)=2sin①x(超sincox+coscox)

=2百sin2cox+2sinGXCOSCOX

—sin2cox—6cos2a)x+百

=2sin(2s-])+G,

又因为且G>0,贝U—§£1—----I,

若/(X)在%)上单调递增，

,,2tt77l71715

所以--------<—,所以0<0«一,

3324

因为对任意的实数。，/a)在(。,。+兀)上不单调，

所以/⑴的周期7=三2兀<2兀，所以。>一1,

2®2

所以工

24

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数。，〃无)在

(a,a+71)上不单调与周期间的关系.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

9.双曲线C：0-二=1(。〉0)的左、右焦点分别为耳,心，且C的两条渐近线的夹角为。，若忸典=2e

a3ci

(e为C的离心率)，则()

Y八兀

A.a=lB.0——

3

c.e=V2D.。的一条渐近线的斜率为6

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论.

22

【详解】双曲线C：5—与=1(。〉0)的£(-2°,0),月(2a,0),e=—=2,

a-3tz2a

由|£耳|=2e,可得4a=4,解得a=l,故A正确，C错误；

由双曲线的渐近线方程y=±6x,则两条渐近线的倾斜角为,

TTTT

故两渐近线的夹角为一，可得6=—,故BD正确.

33

故选：ABD.

10.定义在R上的函数/(X)的值域为(—",€)),且/(2%)+/(%+y)/(x—y)=0,则()

A./(o)=-lB./(4)+[/(1)]2=0

C./(x)/(-x)=lD./(X)+/(-%)<-2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用赋值法及基本不等式结合选项可得答案.

【详解】令x=y=0,则有/(0)+[/(0)丁=0,解得/(0)=0或/(0)=—1,

因为函数的值域为(—8,0),所以"0)=—1,A正确；

令x=l,y=0,则有八2)+"(1)了=0,即/(2)=-[〃1)了

令x=2,y=0,则有/(4)+[/(2)1=0,即/(4)+[/(l)T=0,B不正确；

令x=o,则有/(o)+/(y)/(—y)=o,所以〃y)〃-y)=i，即/(%)/(—%)=1,c正确;

因为/(力<0,所以一〃力>0,-/(-x)>0,

所以[―/(%)]+[―/(f)]221f(x)”r)=2,当且仅当/(£)=/•(—x)时，取到等号，

所以/(%)+/(-%)«-2,D正确

故选：ACD

1,第九次投出正面，

11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量x.=<方汨口山口石5=1，2,3)•记A表示事件

-1,第九次投出反面，

“X[+X2=0"，3表示事件“X2=l”，。表示事件“及+乂2+乂3=—1"，则()

A.8和C互为对立事件B.事件A和C不互斥

C.事件A和8相互独立D.事件3和C相互独立

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，由对立事件的定义分析A,由互斥事件的定义分析B,由相互独立事件的定义分析CD,

综合可得答案.

【详解】根据题意，A表示事件“X1+X2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P(A)=C；(g)2=1,

B表示事件“X2=l”,即第二次抛掷中，正面向上,则P(B)=3,

0表示事件“乂］+乂2+乂3=-1"，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P(C)=C；x(x(1)2=，，

22o

依次分析选项：

对于A,事件3、。可能同时发生，则事件3、。不是对立事件，A错误；

对于B,事件A、。可能同时发生，则事件A和。不互斥，B正确；

对于C,事件A3,即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P(AB)=|x|=|,

由于P(A)P(3)=P(AB),则事件A和3相互独立，C正确；

对于D,事件BC,即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，尸CBC)=：x:x==：,

2228

P(B)P(C)WP(3C),事件8、C不是相互独立事件，D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1x+2］展开式中的常数项为.

【答案】160

【解析】

【分析】由题意利用二项式定理可得解.

【详解】二项式(x+2)的展开式的通项公式＜+］

=9r62r

C'62x-

令6—2r=0,可得丁=3,

所以展开式中的常数项为C：X23=160.

故答案为：160.

13.已知圆锥的体积为X二万，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为.

3

【答案】2

【解析】

【分析】由侧面展开图是一个半圆可得/=2r，再根据体积建立关系即可求出.

【详解】设圆锥的底面半径为广，母线长为/,

因为它的侧面展开图是一个半圆，则2a=用，即/=2r，

又圆锥的体积为工7ir2xJ/2一/=立兀,

33

则可解得「=1,/=2,故母线长为2.

故答案为：2.

14.设北为数列｛4｝的前九项积，若T“+a“=m,其中常数相＞0,则％=(结果用m表示)；若

数列为等差数列，则机=.

2m

【答案】①.——②.1或2

m+2

【解析】

【分析】由己知递推关系分别令〃=1,n=2,〃=3即可求解劣，然后结合等差数列的性质即可求解"z，

并检验.

【详解】因为Tn为数列｛。“｝的前”项积,Tn+an=m,

m

〃=1时，=Oy=—,

m2m

当〃=2时，(+々2=%%+%=—a2+a2-m,即g=-----，

2m+2

一tri2m

〃=3时，4+。3=%。2%+%=—*-----------/+/=机，

2m+2

Im(m+2)

贝1J/--------

m+m+2

1.211

若数列｛f右｝为等差数列，则帚=彳+〒，

1

n127173

匚匚22(m+2)2m2+m+2

所以2=—+------5——,

mmm

整理得，m2—3m+2=0,

解得“2=1或机=2.

Tn

检验：当机=1时，Tn+an=1,则〃之2时，Tn+

为以2为首项，1为公差的等差数列;

,T12

当772=2时，£，+。〃=2,则“22时，Tn+=2,贝口+――=—,

4一14一14

1「1)

故xH-----2—\-X，得X——1,

aU)

1,1、1f111

即---1=2--1,又亍=1,故片-1为常数列，即7=1,易知其为等差数列.

2m

故答案为：一1或2.

m+2

【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推关系求通项，关键是特值思想求值并证明.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2"

15.ABC中，角A,3,C的对边分别是。，4c,且osinC=csin&C=w.

(1)求8;

(2)若面积为之叵，求边上中线的长.

4

【答案】(1)

⑵叵

2

【解析】

【分析】(1)边化角即可得到角8;

(2)根据A=3,得a=b,再根据三角形面积公式即可得到。=6=石，再由正弦定理得边c,再由

2AD=AB+AC-即可得到答案.

【小问1详解】

asinC—csinB,由正弦定理边化角「.sinAsinCusinCsin瓦

sinCw0,sinA=sinB,

4=6或A+6=TT（舍），

2兀71

又•.C=—,•.B=—；

36

【小问2详解】

E>兀>2兀同兀.1

B=,C=,A=,1.a=b,

636

■.SABC=-absinC,即空=工标.走，得a=b=5

2422

由正弦定理=

sinAsinC

,口asinC。

得c=------=3,

sinA

设5C边的中点为。，连接A。，如下图：

2AD=AB+AC<即(2A£>)2=(A3+AC)2,

、/

即4AD2=/+匕2+2bccosA>解得AD=-------

16.如图,在三棱柱ABC-A_B]C]中，平面AA℃_L平面ABC,AB=AC=BC=AA^=2,A[B=J4.

(1)设。为AC中点，证明：AC,平面

(2)求平面4AB1与平面AC£A夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵8

5

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出以），AC,根据平面ACG4，平面ABC得出瓦＞工平面

ACG4，BD1A1D＞利用勾股定理得出AC，4。，从而证明AC,平面

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面44四的法向量和平面AC£A的一个法向量,

利用向量求平面aA与与平面ACG4的夹角余弦值.

【小问1详解】

证明：因为。为AC中点，且A6=AC=5C=2,

所以在中，有BDLAC,且BD=6，

又平面AC£A，平面A5C，且平面AC£4rl平面ABC=AC,BDu平面ABC,

所以80工平面ACGA,

又AOu平面ACGA，则3。，均£＞,

由=BD=也，得AD=6,

因为AZ）=1，A4=2,AD=6,所以由勾股定理，得AC，A。，

又ACLBD,4。0|2。=。，4。,8。匚平面4。3,所以AC,平面片。3；

【小问2详解】

如图所示，以。为原点，建立空间直角坐标系。-孙z,

可得A(l,0,0)，A(0,0,73),B(0,也,0),

则的=卜1,0,6),A3=(―1,Ao),

设平面4481的法向量为”=（尤,丁/）,

n-AA=-1+y/3z=0_

由＜l，令l=6，得y=i，z=i,

n-AB=-x+J3y=0

所以〃

由（1）知，5D1平面ACGA，

所以平面ACGA的一个法向量为80=（0,-百,0），

记平面AAB1与平面ACG4的夹角为。，

则3"皿四=^^好,

"|n||BD|75x735

所以平面AAg与平面ACG4夹角余弦值为手.

17.从一副扑克牌中挑出4张。和4张K,将其中2张。和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张。

和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出。，则把它放回袋中：若抽出K,则该扑克牌不

再放回，并将袋外的一张。放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为°,

(1)在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X,求X的分布列及数学期望；

(2)记事件“在操作“+1(〃wN*)次后，恰好将袋中的K全部置换为。”为4,记匕=P(4).

(i)在第1次取到。的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率;

(ii)试探究A+i与4的递推关系，并说明理由.

9

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=—；

8

513

(2)(i)—；(ii)Pn+^-+-Pn,理由见解析.

【解析】

【分析】(1)由题意可知，X的所有取值为0,1,2,求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期

望公式求出3X)即可；

(2)(i)利用条件概率公式求解；

(ii)设事件8表示“〃次操作后袋中还剩1张K”，则P(B)=4P„,匕+i为〃+2次操作后，恰好将袋

13

中的K全部置换为。，分2种情况求得月+]==+尸(B)X—,代入P(B)=4乙，即可得到匕-与月,

216

的递推关系.

【小问1详解】

由题意可知，X的所有取值为0,1，2,

71122235221

则P(X=0)=：x：=g,P(X=V=~X~+~X~=~>P(X=2)==：,

44844448444

所以X的分布列为:

X012

15]_

P

884

…1519

所以E(X)=0x—+lx—+2x—=—；

oo4o

小问2详解】

(i)记事件E表示“第1次取到Q”，事件厂表示“总共4次操作恰好完成置换

则P(E)=匕

2

依题意，若第一次取到。，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q,

①若第二次也取出Q,则第三次和第四次均须取出K,

12211

其概率为5、X—X—

4432

②若第二次取出K,则第三次取出。，第四次取出K,

19313

其概率为5、X—X—

4464

135

综上所述,P(EF)=一+一64

32645

5

一

一32

所以尸(刊为=白”=614-

2-

即在第1次取到。的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为工；

32

13

(五)勺包=k+4勺，理由如下：

设事件8表示“〃次操作后袋中还剩1张K”，

依题意，匕为"+1次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q,而发生这样的情况需几次操作后袋中还剩1

张K,且第九+1次抽中K,

则与=；尸(B),即夕(8)=45，

2+1为〃+2次操作后，恰好将袋中的K全部置换为。，发生这样需2种情况：

①九次操作后袋中还剩2张K(即前〃次全取。，概率为二)，并且第八+1次和〃+2次全取K,

②九次操作后袋中还剩1张K,第〃+1次取Q,第〃+2次取K,

1913113

所以匕二-7x—x—+尸(B)x-x-=—+P(B)x—

用2〃44442〃+31)16

1Q

又因为「仍)=45，所以&=尹+1.

18.在直角坐标系x0y中，已知抛物线C：9=2"(°>0)的焦点为八过尸的直线/与C交于M,N两

点，且当/的斜率为1时，|MN|=8.

(1)求C的方程；

(2)设/与C的准线交于点P,直线P。与C交于点。(异于原点)，线段MN的中点为R,若

|QR|W3,求△MNQ面积的取值范围.

【答案】(1)V=4x

(2)(2,6V3]

【解析】

【分析】(1)设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦点弦长公式得到方程，求出

P=2,得到答案；

⑵在(1)基础上得到7?(2加+1,2时，进而求出Q(后,2时，故Q?〃x轴，得至ij|QR卜和2+],

表达出S〃N0=2(疗+1).标，'=2旧印，结合得到答案.

【小问1详解】

因为过P的直线/与C交于M,N两点，故直线/的斜率不为0,

不妨设/的方程为x=+可々，%)，

联立/与C的方程，^y2-2mpy-p2=0,

%+%=21np,%为=*，

则\MN\=xY+x2+p=m(^yi+y2)+2p=2p"+l),

由题可知当租=1时，二8,

p=2,

，C的方程为>2=4%.

【小问2详解】

由(1)知力=，=2m,

将R的纵坐标2m代入xmy+1,得R^m2+1,2m),

易知C的准线方程为x=—1,又/与C的准线交于点P,

则直线0P的方程为x=,y,联立OP与C的方程，得丁=2,町,

Q(^m2,2inj,

：.Q,R的纵坐标相等，

直线QR〃x轴，

：.\QB\=\Zrrr+l-m2|=m2+1,

SMN。=S岫+S刎，网X-%|=2(苏+1)•=2磔15,

•・•点。异于原点，

二.加w0,

•：\QB\<3,

：.1<\Q^\<3,

•••2<2|QR/<6石，即SMNQ£(2,6A/3J.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值或范围.

19.若实数集A3对VieA3,均有(1+赤>1+曲，则称A36具有Bernoulli型关系.

（1）若集合/={乂x»l},N={l,2},判断MfN是否具有Bernoulli型关系，并说明理由；

（2）设集合S={X|X>—1},T={X|X>4,若SfT具有Bernoulli型关系，求非负实数方的取值范围;

1

k

（3）当〃eN*时，证明：r|'<n+--

trlVITFj8

【答案】（1）具有Bernoulli型关系，理由见解析；

(2)[1,+oo)

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据定义判断是否满足（1+4）"21+R?即可;

（2）令/（%）=（1+兀）》-"一1,x^S,be（0,+oo）,再对其求导，分b=l,b>l,OvZ?vl三种情况分

析单调性及最值，即可求解；

左二「

（3）化简（下^）上=（1+k）2-，可得-1L>-1且0<-*1-<1,根据（2）中的结论，可得

J1+Fk~k22k

<i+J_.±=i+_L,再根据左的范围求出击的范围，进而可求出（1+占5的范围，最后可得

K

Z（k的范围.

*=1yjl+k2

【小问1详解】

依题意，MfN是否具有Bemou山型关系,等价于判定以下两个不等式对于也>1是否均成立：

①（1+行21+%,②（l+x）221+2x,

Vx>1,（1+X）1=1+X,（1+X）2=1+2x+x?>1+2x

M—>N具有Bernoulli型关系.

【小问2详解】

令/(x)=(1+x)"-6