北京市平谷区2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析

北京市平谷区2024届中考数学考试模拟冲刺卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于23c的长为半径作弧，两弧相交于两点M,

2

N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD^AC,ZA=50°,贝！的度数为（）

2.如图，在口ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG1AE,垂足为

G,若BG=40，则ACEF的面积是（）

A.2血B.72C.3后D.40

3.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（)

A.线段B.等边三角形C.正方形D.平行四边形

—2%<4

4.关于X的不等式组囚-5<1的所有整数解是（）

A.0,1B.-1,0,1C.0,1,2D.-2,0,1,2

5.如图，正方形A3C。中，对角线AC、30交于点。，N8AC的平分线交8。于E,交3c于歹，尸于“，

交AC于G,交CZ>于P,连接GE、GF,以下结论:①△Q4E之△O3G；②四边形BEGF是菱形;③CG；④——=J2

AE

-1;⑤SAPBC：SAAFC=1：2,其中正确的有（）个.

C.4D.5

6.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF的顶点P是BC中点，PE,PF分别交AB,AC于点E,

F,给出下列四个结论：@AAPE^ACPF；②AE=CF；③4EAF是等腰直角三角形；④SAABC=2S四边形AEPF,上述结

C.3个D.4个

7.如图，直线a〃b,点A在直线b上，ZBAC=100°,NBAC的两边与直线a分别交于B、C两点，若N2=32。，则

Z1的大小为（）

A.32°B.42°C.46°D.48°

8.下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）

9.曲我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好。拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦,

3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有X匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）

x+y=100

Jx+y=100x+y=100x+y=100

C.\1D.<

3x+3y=100x+3y=1003x+-y=iQQ3x+y=100

10.某中学篮球队12名队员的年龄如下表:

年龄：（岁）13141516

人数1542

关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是（）

A.众数是14岁B.极差是3岁C.中位数是14.5岁D.平均数是14.8岁

11.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（）

1123

A.—B.—C.—D.一

2334

12.在下列函数中，其图象与x轴没有交点的是（）

,1

A.y=2xB.y=-3x+lC.y=x2D.y=—

x

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知一元二次方程x2—4x—3=0的两根为m,n,贝！b/?—mn+〃2=.

14.某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x,则依题意所列的方程

是.

15.株洲市城区参加2018年初中毕业会考的人数约为10600人，则数10600用科学记数法表示为.

16.计算：2sin45°T—5|+[g+G]-718.

17.2017年7月27日上映的国产电影《战狼2》，风靡全国.剧中“犯我中华者，虽远必诛”鼓舞人心，彰显了祖国的

强大实力与影响力，累计票房56.8亿元.将56.8亿元用科学记数法表示为元.

2x-2

18.化简：三-二+J△二.

x+1x-1x-2x+l

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知NAO5=45。，AB±OB,OB=L

（1）利用尺规作图：过点M作直线MN〃OB交AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）;

（1）若M为AO的中点，求AM的长.

20.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，ZADB=90°,E、F分别为边AB、CD的中点.

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若BE=4,ZDEB=120°,点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为，并在

图上标出此时点P的位置.

21.(6分)已知一次函数y=x+l与抛物线>=/+打+<;交AGn,9),B(0,1)两点，点C在抛物线上且横坐标为1.

(1)写出抛物线的函数表达式；

(2)判断△ABC的形状，并证明你的结论；

(3)平面内是否存在点。在直线45、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的。的坐标，如果不

22.(8分)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a/0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小，并求出点K的坐标；

(3)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE〃AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的

坐标；

(4)若平行于x轴的动直线1与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问：是否存在这

样的直线1,使得AODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(8分)抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分

为A,B,C,D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：本次抽样调查共抽取了多少名学生？求测试结

果为C等级的学生数，并补全条形图；若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果

为D等级的学生有多少名？若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重

点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.

32Hz—4

24.（10分）先化简，再求值：（------m+1）v------------,其中机的值从-1,0,2中选取.

m+1m+1

25.（10分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实节能减排政策，推行绿

色建筑，据统计，该市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米.若2015年、2016

年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；2017

年该市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米.如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年该市能

否完成计划目标.

26.（12分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；

C.论语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只

能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明.

27.（12分）P是」C外一点，若射线PC交C于点A,B两点，则给出如下定义：若0<PA-PBW3,则点P为C

的“特征点”.

（1）当0。的半径为1时.

①在点耳（0,0）、P2（O,2）,6（4,0）中，。的“特征点”是；

②点P在直线y=x+b上，若点p为的“特征点”•求b的取值范围;

（2）;一C的圆心在x轴上，半径为1,直线y=x+l与x轴，y轴分别交于点M,N,若线段MN上的所有点都不是jC

的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

根据等腰三角形的性质得到NCDA=NA=50。，根据三角形内角和定理可得NDCA=80。，根据题目中作图步骤可知，

MN垂直平分线段BC,根据线段垂直平分线定理可知BD=CD,根据等边对等角得到NB=NBCD,根据三角形外角性

质可知NB+NBCD=NCDA,进而求得NBCD=25。，根据图形可知NACB=NACD+NBCD,即可解决问题.

【详解】

VCD=AC,ZA=50°

/.ZCDA=ZA=50°

■:ZCDA+ZA+ZDCA=180°

AZDCA=80°

根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC

.\BD=CD

AZB=ZBCD

VZB+ZBCD=ZCDA

/.2ZBCD=50°

:.ZBCD=25°

:.ZACB=ZACD+ZBCD=80°+25o=105°

故选c

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定

理是解题关键.

2、A

【解析】

解：；AE平分NBAD,

ZDAE=ZBAE；

又；四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

:.ZBEA=ZDAE=ZBAE,

/.AB=BE=6,

VBG±AE,垂足为G,

AAE=2AG.

在R3ABG中，VZAGB=90°,AB=6,BG=4近，

：•AG=J7452—Bd2=2,

AAE=2AG=4；

：・SAABE=—AE*BG=-x4x4A/2=8后.

22

VBE=6,BC=AD=9,

.\CE=BC-BE=9-6=3,

/.BE：CE=6：3=2：1,

VAB//FC,

AAABE^AFCE,

*••SAABE:SACEF=（BE：CE）2=4：1,则SACEF=—SAABE=20.

4

故选A.

【点睛】

本题考查L相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题

关键.

3,B

【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4、B

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的

解集，据此即可得出答案.

【详解】

解不等式-2x<4,得：x>-2,

解不等式3x-5Vl,得：x<2,

则不等式组的解集为-2cxV2,

所以不等式组的整数解为-1、0、1,

故选：B.

【点睛】

考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到，，的原则是解答此题的关键.

5、C

【解析】

根据AF是NBAC的平分线，BH±AF,可证AF为BG的垂直平分线，然后再根据正方形内角及角平分线进行角度

转换证明EG=EB,FG=FB,即可判定②选项；设OA=OB=OC=a,菱形BEGF的边长为b,由四边形BEGF是

菱形转换得到CF=0GF=0BF,由四边形ABCD是正方形和角度转换证明AOAE出△OBG,即可判定①；则

BG

△GOE是等腰直角三角形，得至l」GE=0OG,整理得出a,b的关系式，再由△PGCsaBGA,得到由■=1+0,

从而判断得出④；得出NEAB=NGBC从而证明AEAB丝ZXGBC,即可判定③；证明△FAB之4PBC得到BF=CP,

s

即可求出三X,从而判断⑤.

,AFC

【详解】

解：...AF是/BAC的平分线，

/.ZGAH=ZBAH,

VBH1AF,

/.ZAHG=ZAHB=90°,

在△AHG和4AHB中

ZGAH=ZBAH

<AH=AH,

ZAHG=ZAHB

/.△AHG^AAHB(ASA),

；.GH=BH,

AAF是线段BG的垂直平分线，

；.EG=EB,FG=FB,

•••四边形ABCD是正方形，

1

.,./BAF=NCAF=-x45°=22.5°,NABE=45°,ZABF=90°,

2

...NBEF=NBAF+NABE=67.5°,ZBFE=90°-NBAF=67.5°,

.\ZBEF=ZBFE,

；.EB=FB,

；.EG=EB=FB=FG,

二四边形BEGF是菱形；②正确；

设OA=OB=OC=a,菱形BEGF的边长为b,

•四边形BEGF是菱形，

；.GF〃OB,

.\ZCGF=ZCOB=90o,

NGFC=NGCF=45。，

/.CG=GF=b,ZCGF=90°,

•\CF=0GF=0BF,

•••四边形ABCD是正方形，

/.OA=OB,ZAOE=ZBOG=90°,

VBH1AF,

.,.ZGAH+ZAGH=90°=ZOBG+ZAGH,

/.ZOAE=ZOBG,

在小OAE和小OBG中

ZOAE=ZOBG

<OA=OB,

ZAOE=ZBOG

/.△OAE^AOBG(ASA),①正确；

/.OG=OE=a-b,

•••△GOE是等腰直角三角形，

；.GE=0OG,

*'•b=s/2(a-b),

整理得巨b,

2

\AC=2a=(2+V2)b,AG=AC-CG=(1+72)b,

.•四边形ABCD是正方形，

\PC//AB,

.BG_AG_(1+0)6

=1+A/2，

'PG-CG-b

/△OAE^AOBG,

•・AE=BG,

AE「

•・一=1+V2，

PG

PG1

.・赢=K=l-0'④正确;

ZOAE=ZOBG,ZCAB=ZDBC=45°,

NEAB=NGBC,

在4EAB和小GBC中

ZEAB=ZGBC

<AB=BC

ZABE=ZBCG=45°

/.△EAB^AGBC(ASA),

/.BE=CG,③正确；

在小FAB和小PBC中

NFAB=ZPBC

<AB=BC,

ZABF=ZBCP=90°

/.△FAB^APBC(ASA),

；.BF=CP,

:SPBC_*CPq_BF—立

⑤错误

SAFCXAB•CFCFV2BF2

2

综上所述，正确的有4个,

故选：C.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，菱形的判定与性质等四边形的综合题.该题难度较大，需要

学生对有关于四边形的性质的知识有一系统的掌握.

6、C

【解析】

利用“角边角”证明△APE和^CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF,再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP

是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的

面积等于^ABC的面积的一半.

【详解】

VAB=AC,ZBAC=90°,点P是BC的中点,

；.AP_LBC,AP=PC,ZEAP=ZC=45°,

.,.ZAPF+ZCPF=90°,

YNEPF是直角，

.\ZAPF+ZAPE=90°,

NAPE=NCPF,

在4APE^DACPF中，

NAPE=NCPF

<AP=PC,

ZEAP=ZC=45°

/.△APE^ACPF(ASA),

.\AE=CF,故①②正确；

,/△AEP^ACFP,同理可证△APF丝4BPE,

.•.△EFP是等腰直角三角形，故③错误；

VAAPE^ACPF,

:.SAAPE=SACPF,

**"四边形AEPF=SAAEP+SAAPF=SACPF+SABPE=—SAABC.故④正确，

2

故选C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出NAPE=NCPF,从而

得到△APE和4CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点.

7、D

【解析】

根据平行线的性质与对顶角的性质求解即可.

【详解】

,."a/Zb,

/.ZBCA=Z2,

VZBAC=100°,Z2=32°

.,.ZCBA=1800-ZBAC-ZBCA=180o-100o-32o=48°.

/.Z1=ZCBA=48O.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质与对顶角的性质.

8、B

【解析】试题分析：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

【考点】中心对称图形.

9,C

【解析】

设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100;②大马拉瓦数十小马拉瓦数=100,

根据等量关系列出方程组即可.

【详解】

x+y=100

解：设大马有X匹，小马有y匹，由题意得：\1

3x+“=100

故选C.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组.

10、D

【解析】

分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案.

解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14,故选项A正确，不合题意；

极差是：16-13=3,故选项B正确，不合题意；

中位数是：14.5,故选项C正确，不合题意；

平均数是：(13+14x5+15x4+16x2)-12-14.5,故选项D错误，符合题意.

故选D.

“点睛”此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键.

11、D

【解析】

先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.

【详解】

随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：

正反

△A

TF反IF反

3

至少有一次正面朝上的概率是一，

故选：D.

【点睛】

本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那

么事件A的概率尸（A）=—.

n

12、D

【解析】

依据一次函数的图象，二次函数的图象以及反比例函数的图象进行判断即可.

【详解】

A.正比例函数y=2x与x轴交于（0,0）,不合题意；

B.一次函数y=-3x+l与x轴交于（g,0）,不合题意；

C.二次函数y=x?与x轴交于（0,0）,不合题意；

D.反比例函数y=工与x轴没有交点，符合题意；

x

故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4,mn=-3,将所求式子利用完全平方公式变

形后，BPm2-mn+n2=（jn+n）-3mn=16+9=l.

故答案为1.

考点：根与系数的关系.

14、100（1+x）2=121

【解析】

根据题意给出的等量关系即可求出答案.

【详解】

由题意可知：100（1+x）2=121

故答案为：100（1+x）2=121

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型.

15、1.06X104

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中K|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

解：10600=1.06X104,

故答案为：1.06x104

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

16、—4-20

【解析】

此题涉及特殊角的三角函数值、零指数累、二次根式化简，绝对值的性质.在计算时，需要针对每个考点分别进行计

算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【详解】

原式=2x史—5+1-3应

2

=72-4-372

=-4-20.

【点睛】

此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数易，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.

17、5.68X109

【解析】

试题解析：科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1W时＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，九是正数；当原数的绝对值＜1时,

〃是负数.

56.8亿=5.68x109.

故答案为5.68x109.

1

18、一

x

【解析】

先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式

【详解】

(D

原式=--------------------------------X

x+1(x+1)(x-1)x(x-2)

2x—12x—(—x—1)

x+1X(X+1)X(X+1)

x

【点睛】

此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)详见解析；(1)及.

【解析】

(1)以点拉为顶点，作NAMN=/O即可；

(1)由NAO5=45。，ABLOB,可知△为等腰为等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，即可求出AM

的值.

【详解】

(1)作图如图所示；

(1)由题知△AOB为等腰RtAAOB,且OB=1,

所以，AO=V2OB=172

又M为OA的中点，

所以，AM=-X172=V2

【点睛】

本题考查了尺规作图，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握作一个角等于已知角是解(1)的关键，证

明AA03为等腰为等腰直角三角形是解(1)的关键.

20、(1)详见解析；(2)2G.

【解析】

(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形OE8尸的四边相等即可

证得；

(2)连接EM,EM与8。的交点就是P,F/+PM的最小值就是EM的长，证明△BE尸是等边三角形，利用三角函

数求解.

【详解】

(1),平行四边形A3。中，AD//BC,：.ZDBC=ZADB=90°.

•."△A3O中，ZADB^90°,E时AB的中点，：.DE=-AB=AE=BE.

2

同理，BF=DF.

\,平行四边形ABC。中，AB=CD,：.DE=BE=BF=DF,四边形OE8尸是菱形；

(2)连接BF.

'菱形OE3尸中，ZDEB=120°,：.ZEFB=60°,...△5E尸是等边三角形.

是3尸的中点，：.EM±BF.

贝!1EM=BE*sin60°=4x6=26.

即PF+PM的最小值是2石.

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键.

21、(1)j=x2-7x+l；(2)AABC为直角三角形.理由见解析；(3)符合条件的。的坐标为(4,1),(24,1),(0,

-7),(0,13).

【解析】

(1)先利用一次函数解析式得到A(8,9),然后利用待定系数法求抛物线解析式；

(2)先利用抛物线解析式确定C(1,-5),作AMLy轴于M,CN_Ly轴于N,如图，证明△ABM和△BNC都是

等腰直角三角形得到NMBA=45。，ZNBC=45°,AB=80,BN=10,从而得到NABC=90。，所以AABC为

直角三角形；

(3)利用勾股定理计算出AC=1O0,根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到RtAABC的内切圆的半径=

2^/2，设△ABC的内心为L过A作AI的垂线交直线BI于P,交y轴于Q,AI交y轴于G,如图，则AI、BI为

角平分线，BI_Ly轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点

P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI=J^x20=4,则I(4,1),接着利用待定系数法求出直线

AI的解析式为y=2x-7,直线AP的解析式为y=-1x+13,然后分别求出P、Q、G的坐标即可.

【详解】

解：(1)把A(m,9)代入y=x+l得m+l=9,解得m=8,则A(8,9),

64+8b+c=9

把A(8,9),B(0,1)代入y=x?+bx+c得＜，

c=l

b=-7

解得，，

c=l

.•.抛物线解析式为y=x2-7x+l；

故答案为y=x2-7x+l；

(2)△ABC为直角三角形.理由如下：

当x=l时，y=x2-7x+l=31-42+1=-5,则C(1,-5),

作AMLy轴于M,CNLy轴于N,如图，

VB(0,1),A(8,9),C(1,-5),

；.BM=AM=8,BN=CN=L

.,.△ABM和小BNC都是等腰直角三角形，

.,.ZMBA=45°,ZNBC=45°,AB=80,BN=1近，

AZABC=90°,

/.△ABC为直角三角形；

(3)•.,AB=8应，BN=10,

AAC=10^/2，

.-.RtAABC的内切圆的半径=述生也辿2=20,

2

设AABC的内心为I,过A作AI的垂线交直线BI于P,交y轴于Q,AI交y轴于G,如图,

为4ABC的内心，

...AI、BI为角平分线，

而AI±PQ,

APQ为4ABC的外角平分线，

易得y轴为AABC的外角平分线，

.,.点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，

它们到直线AB、BC、AC距离相等，

BI=V2><272=4,

而BI±y轴，

/.I(4,1),

设直线AI的解析式为y=kx+n,

4k+n=l

则［Sk+n=9,

k=2

解得“，

n=-7

二直线AI的解析式为y=2x-7,

当x=0时，y=2x-7=-7,则G(0,-7)；

设直线AP的解析式为y=-；x+p,

把A(8,9)代入得-4+n=9,解得n=13,

二直线AP的解析式为y=-；x+13,

当y=l时，-Jx+13=L则P(24,1)

当x=0时，y=-Jx+13=13,则Q(0,13),

综上所述，符合条件的Q的坐标为(4,1),(24,1),(0,-7),(0,13).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利

用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键.

1Q

22、(l)y=--X2+X+4；(1)点K的坐标为(万，0)；(2)点P的坐标为：(1+石，1)或(1-逐，1)或(1+6,

2)或(1-G，2).

【解析】

试题分析：(1)把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线解析；

(1)可求得点C关于x轴的对称点C，的坐标，连接C，N交x轴于点K,再求得直线C，K的解析式，可求得K点坐

标；

(2)过点E作EGLx轴于点G,设Q(m,0),可表示出AB、BQ,再证明ABQE也△BAC,可表示出EG,可得

出4CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；

(4)分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标

即可.

试题解析：(1)•••抛物线经过点C(0,4),A(4,0),

rf1

：.\,解得[2,

16a—8a+4=0,

i[c=4

抛物线解析式为丫=-；P+x+4；

9

(1)由(1)可求得抛物线顶点为N(1,-),

2

如图1,作点C关于x轴的对称点(0,-4),连接C，N交x轴于点K,则K点即为所求，

,,9,17

k+b=—k=—

设直线C，N的解析式为y=kx+b,把C\N点坐标代入可得2，解得2

b=—4b=-4

二直线C，N的解析式为y=》x-4,

8

令y=0,解得x=jy,

Q

.,.点K的坐标为(—，0)；

17

(2)设点Q(m,0),过点E作EGLx轴于点G,如图1,

图2

由---x1+x+4=0,得xi=-1,xi=4,

2

.,.点B的坐标为(-1,0),AB=6,BQ=m+l,

又；QE〃AC,/.AEQE^ABAC,

EGBQEGm+25M2m+4

••---=----，即a-n----=------，解得EG=

COBA463

、、,、

1z1z2m+4

SACQE=SACBQ-SAEBQ=-(CO-EG)BQ=y(m+1)(4----)

「「+2QJ(m.D42.

3333

又；TWmW4,

.•.当m=l时，SACQE有最大值2,此时Q(1,0)；

(4)存在.在AODF中，

(i)若DO=DF,VA(4,0),D(1,0),

.*.AD=OD=DF=L

又在RtAAOC中，OA=OC=4,

.,.ZOAC=45°.

/.ZDFA=ZOAC=45°.

；.NADF=90。.

此时，点F的坐标为(1,1).

由-1x*+x+4=l,得xi=l+J^,xi=l-y[5•

此时，点P的坐标为：Pi(1+75，1)或Pi(1-君，1):

(ii)若FO=FD,过点F作FM_Lx轴于点M.

.\AM=2.

在等腰直角△AMF中，MF=AM=2.

AF(1,2).

由-；x1+x+4=2,得xi=l+J§\xi=l-73.

此时，点P的坐标为：Pz(1+若，2)或P4(1-若，2)；

(iii)若OD=OF,

VOA=OC=4,且NAOC=90°.

；.AC=4夜.

...点O到AC的距离为10.

而OF=OD=1V10,与OFN1&矛盾.

...在AC上不存在点使得OF=OD=L

此时，不存在这样的直线I,使得△ODF是等腰三角形.

综上所述，存在这样的直线1,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为：(1+通，1)或(1-石，1)或(1+四，

2)或(1-6，2).

点睛：本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等，能正确地利

用数形结合思想、分类讨论思想等进行解题是关键.

23、(1)50；(2)16；(3)56(4)见解析

【解析】

(1)用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；

(2)用总人数分别减去A、B、。等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；(3)用700乘以O等级的百分比

可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；

(4)画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

(1)104-20%=50(名)

答：本次抽样调查共抽取了50名学生.

(2)50-10-20-4=16(名)

答：测试结果为C等级的学生有16名.

图形统计图补充完整如下图所示：

50

答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.

(4)画树状图为：

男男女

/4\/4\男个女Z\

男女女男女女男男女

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2,

21

所以抽取的两人恰好都是男生的概率=一=--

126

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合事件A或3的结果

数目而，然后利用概率公式计算事件A或事件8的概率.也考查了统计图.

24、-+2,当m=0时，原式=-1.

2

【解析】

原式括号中两项通分，并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果.根据分数分母

不为零的性质，机不等于-1、2,将加=0代入原式即可解出答案.

【详解】

解：原式=(二一一至二1)十加二2,

m+1m+1m+1

4—m22(m—2)

—------；--------,

m+1m+1

—(m+2)(m—2)m+1

m+12(m—2)'

m+2

一,

2

V加。一1且

当〃z=0时，原式=-1.

【点睛】

本题主要考查分数的性质、通分，四则运算法则以及倒数.

25、(1)这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，2017

年该市能完成计划目标.

【解析】