相等关系与不等关系讲义-2024届高考数学三轮复习

2024年高考数学三轮冲刺之相等关系与不等关系

不等式的性质

【知识梳理】

不等式有如下性质：

性质1如果那么如果那么〃>/?.即

性质2如果〃〉/?,b>c,那么即〃>b,b>cna>c.

性质3如果〃>/?,那么〃+（?>/?+c.

性质4如果〃>/?,c>0,那么ac>Z?c；如果〃>h,c<0,那么acvbc.

性质5如果〃>/?,c>d,那么〃+c>/?+d.

性质6如果a>Z?>0,c>d>0,那么ac>Z?d.

性质7如果那么优>/?〃（neN,n>2\

【针对性训练】

1.已知。，b,c,dwR,则下列命题中一定成立的是（）

A.若a>b,c>d,贝！Ja+〃>c+dB.若片〉/,则一〃<一人

Z7b,,

C.若a>b,c<d,贝!J—>一D.若a>-b,贝Uc-avc+Z7

cd

2.已知％£(0,1),a2e(0,l)记加=4/，N=q+4-1，则M与N的大小关系是（

)

A.M<NB.M>NC.M=ND.M..N

3.若根<几，p<q,(p-m)(p-ri)<0,(q-m)(q-n)<0,贝！J()

A.m<p<n<qB.p<m<q<nC.m<p<q<nD.p<m<n<q

4.下列说法正确的是（）

A."ac=bc”是“a=b”的充分不必要条件

B.是“a<6”的既不充分也不必要条件

ab

C.66a>b”是“ac1>bc2"的必要不充分条件

D."a>b>0”是“c1n>bn（neN,rt..2）”的充要条件

5.设a,b,c,d为实数，S.a>b>O>c>d,则下列不等式正确的是（）

11

A.c2>cdB.a+d<b+cC.cutvbeD.——>—―

/b2

6.某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（a>0）元，得到的利润为6s>0）元，

收益率为2（%）,假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（x>0）元，得到的利润也增

a

加了尤元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（）

A.a..bB.4bC.a>bD.a<b

7.下列命题为真命题的是()

A.若a>b,贝Ja+c>b+cB.若a>Z?>0,c>d>0f则

a—d>b—c

C.若QV〃V0,则储>>匕2D.若c>d,则ac>bd

8.若a,b,ceR,则下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝!B.若a>b,则ac2>be2

ab

C.若Q>>>C>0,则">——TAifct：7cryl||aa+c

D.右a>>>c>0,贝！J—<------

a—ba—cbb+c

9.下列不等式中，恒成立的个数是()

@a2+b2+c2..ab+bc+ca；

②。(1—d)„—；

4

③2+3.2；

ab

④(a2+b1)(c2+/)(“c+。打

A.1B.2C.3D.4

10.以下四个命题正确的是()

A.“a>b"是"a?>02"的充分条件

B.((\a\>\b\ff是"/>/，，的充要条件

C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件

D.设a,beR,且"wO,若色<1,则

ba

二.基本不等式

【知识梳理】

1、一般地，\/a,b^R,有储+〃22",当且仅当a=6时，等号成立.

特别地，如果a>0,b>0,我们用&、JF分别代替上式中的a,b,可得

疝V叱，当且仅当a=6时，等号成立.我们把它称为基本不等式.其中"2叫

22

做正数。，〃的算术平均数，族叫做正数a,6的几何平均数.

2、基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

【针对性训练】

11.已知X,y为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）

Ax+y/—「M+y、2-yxc

A...JxyB.()..xyC.+..2D.\x+y\>\x-y\

22%y

12.若a>0,b>0,则G"+3("+3的最小值是()

ab

A.3B.6C.9D.12

13.若正数x,y满足尤+3y=5孙，则3x+4y的最小值是（）

A.—B.—C.5D.6

55

14.已知x>0,y>0,且」-+1=」，则x+y的最小值为（

)

x+3y2

A.5B.6C.7D.8

则可能的取值为（）

15.已知正数x,y满足x+2y=2,1+3

A.1B.2C.3D.4

16.若%>0且=则为/IT7的最大值是

17.设。>0,贝1。+^^的最小值为()

a

A.2j3,+4B.7C.4D.5

18.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的

长为x米，宽为y米.若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为—；若使用

的篱笆总长度为30米，则工1+47的最小值为.

19.下列y的最小值是4的是()

人412

A.y—t-\—B.y=(a+2Z?)(—+-)-5

tab

c.y=4\t\+-D.y—三~|——+2

\t\

20.下列命题正确的是（）

A.已知％<0,则丁=%+,有最大值-2

x

B.已知a>0,b>0,a+2b=l,贝!J，”!

ab8

12+5

C./的最小值是2

6+4

D.无2+=L的最小值为2甘-2

元2+2

三.一元二次函数与一元二次不等式

【知识梳理】

1、一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一

元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是办之+bx+c>0或+Zzr+c<0,其中

a,b,c均为常数，〃wO.

2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

A>0A=0A<0

\j/.v

y=ax2+bx+c

(〃>0)的图像

O\xi=xx

L2ax

有两个相等的实数根

ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根

%，%没有实数根

x^x（Xj<x）

(〃>0)的根22

（X1=X2=-A）

122a

ax2+Z?x+c>0,b、

{x\x<x>x}{f九|九w一丁}R

v22a

(。>0)的解集

ax2+Z?x+c<0

[x\xx<X<x2}00

(〃>0)的解集

【针对性训练】

21.若二次函数y=依2+版+°（。的图象开口向下，与不轴的交点的横坐标分别为王，

冗2且玉<电，则不等式依2+法+。<0的解集是（）

A.{x\x<xi^ix>x2}B.[x\x2<x<x1]

C.{x\xi<x<x2]D.{x\x<x>xx}

22.不等式4f—4x+L,0的解集为()

A.0B.RC.{x|x=1}D.

23.“a>0”是“一元二次不等式依2+6x+c>0恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

24.设abc>0,二次函数/（无）=加+bx+c的图象可能是（）

25.若函数>=/+法+。的图像与x轴的两个交点是A（-2,0）,8（1,0）,则下列结论正确

的是（）

A.Z?+c=—1

B.方程/+法+。=0的两根是一2,1

C.不等式式+法+。>0的解集是{无~2<*<1}

D.不等式尤2+桁+60的解集是印_2张/1}

26.已知or?+fov+c>0的解集为尤<2},则下列x的取值范围能使不等式

<?（了2+l）+6（x-l）+c<2依成立的为（）

A.{x|0<x<3}B.{x\x>3}C.{x[%<0}D.{x|—2<x<l}

27.将函数的图象向右平移i个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数%的

图象，关于函数为，下列说法正确的是（）

A.函数的最大值是1

B.函数图象的对称轴是直线x=l

C.在[-1,+8）上为随尤的增大而增大

D.函数图象过点（2,0）

28.若关于x的不等式依2+fex+c>0的解集是(-3,2),则不等式cd一〃火+④。的解集为(

)

29.已知关于x的不等式(依-1)(%-1)<0.

(1)当〃=-2时，解上述不等式；

(2)aeR,解上述关于x的不等式.

30.二次函数y=以2+bx+c(xeR)的部分对应值如表:

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则不等式OX?+法+。＞0的解集是()

(

A.(—oo,-6)^(-6,+8)B.(—oo,-2)-►3,+8)

C.(-2,3)D.(-6,+oo)

2024年高考数学三轮冲刺之相等关系与不等关系

参考答案与试题解析

一.不等式的性质

1.已知。，b,c,deR,则下列命题中一定成立的是()

A.若a>b,c>d,贝！Ja+〃>c+dB.a2>b2,则一av-b

C.若a>b,c<d,则D.若a>—b,贝Uc-avc+〃

cd

【答案】D

【考点】不等式的基本性质

【专题】对应思想；定义法；不等式；逻辑推理

【分析】根据选项的条件，取特殊值即可判断A5C；利用不等式的基本性质，即可判断

D.

【解答】解：A.由a>6,c>d,取a=O,b=—l,c=O,d=—1,贝!|。+6>C+"不成

立，故A错误；

B.根据取。=-2,b=l,贝U—。<—6不成立，故5错误；

C.根据。>/?,c<d>取。=2,b=l>c=O>d=1,则y>2不成立，故C错误；

cd

£>.根据°>-6,由不等式的基本性质，可知c-a<c+b成立，故。正确.

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

2.已知01c(0,1),a,e(0,1),记/=4%,N=%+a2-1,则M与N的大小关系是(

)

A.M<NB.M>NC.M=ND.M..N

【答案】B

【考点】不等式比较大小

【专题】作差法；不等式；数学运算；转化思想

【分析】直接作差比较大小即可.

【解答1解：M—N=4a2—q—a,+1=q(a,—1)—(g—1)=(q—1)(^/2—1)，

又qe(0,1),02c(0,1),

则q—IvO,tz2-l<0,贝!JM—N=(q—1)(4—D>0，

即M>N.

故选：B.

【点评】本题考查实数的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.

3.若根<几，p〈q,且(P一相)(夕一〃)<0,{q-m)(q-n)<0,贝U()

A.m<p<n<qB.p<m<q<nC.m<p<q<nD.p<m<n<q

【答案】C

【考点】不等式比较大小

【专题】计算题

【分析】把"、〃看成变量，则由(p-机)(p-〃)<0,知机，〃一个大于夕，一个小于

p.由机<〃，知相v/7v〃；由(q-根)(,一〃)<0,知加，几一个大于q,一个小于q,由

m<n,知znvqv".由"vq,知ntvpvgv〃.

【解答】W：'(p-m)(p-ri)<0f

m,n一个大于p，一个小于p.

m<n,

：.m<p<n.

(q-rri){q一〃)>0,

/.m,n一个大于p,一个小于p.

m<n,

:.m<q<n,

p<q,：.m<p<q<n.

故选：C.

【点评】本题考查不等式大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的性质的

合理运用，

4.下列说法正确的是()

A."ac=bc”是的充分不必要条件

B.“工>!”是“。<6”的既不充分也不必要条件

ab

C.“a>b"是“>be2”的必要不充分条件

D."a>b>Q"是“a'>b"(neN/..2)''的充要条件

【答案】BC

【考点】充分条件与必要条件

【专题】数学运算；计算题；转化思想；综合法；简易逻辑

【分析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误.

【解答】解：A.aa=b"="ac=bc",反之不成立，因此"ac=be"是

“a=b”的必要不充分条件，不正确；

B.与"a<b”相互推不出，因此“工>!”是“a<b”的既不充分又不必

abab

要条件，正确；

C."adn“a>人”，反之不成立，因此“a>6”是“42>历2”的必要

不充分条件，正确；

D.aa>b>0"=>aa">b"(HeN,n..2)",反之不成立，因此ua>b>0"是

"a">b"(neN,n..2)”的充分不必要条件，因此不正确.

故选：BC.

【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算

能力，属于基础题.

5.设a,b,c,d为实数，S.a>b>O>c>d,则下列不等式正确的是()

11

A.。2>cdB.a+d<b+cC.cutvbeD.——>—―

/b2

【答案】c

【考点】不等式的基本性质；不等关系与不等式

【专题】转化思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法和作差法，即可求解.

【解答】解：对于A,d<c<0,

c2-cd=c(c-d)<0,BPc2<cd,故A错误,

对于3,令a=2,b=l>c=—1,d=—2,

a>b>0>c>d,

:.a+d^b+c,故3错误，

对于C,•a>b>Q>c>d,

ad<0,be<0,S.ad<be,故C正确,

对于£）,a>b>G,

：.储〉,

.■.-4<4-故。错误.

a2b2

故选：C.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.

6.某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金。m>0）元，得到的利润为6s>0）元，

收益率为2（%）,假设在该投资的基础上，此公司再追加投资Mx>0）元，得到的利润也增

a

加了X元，若使得该项投资的总收益率是增加的，贝1（）

A.a..bB.a,,bC.a>bD.a<b

【答案】C

【考点】根据实际问题选择函数类型

【分析】根据题意建立不等关系，即可得出答案.

【解答】解：由题意若使得该项投资的总收益率是增加的，则

a+xa

a>0,b>0,x>0,

:.a>b,

故选：c.

【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

7.下列命题为真命题的是（）

A.若贝！]a+c>6+cB.若a>b>0,od>0,贝U

a—d>b—c

C.若a<b<。,贝!J/>aZ?>6?D.若a>b,c>d,贝!

【答案】ABC

【考点】等式与不等式的性质

【专题】整体思想；不等式的解法及应用；数学运算；逻辑推理；综合法

【分析】根据不等式的性质可判断ABC的正误，举反例可判断。，进而可得正确选项.

【解答】解：对于A：若。>6,则。+c>b+c,故选项A正确；

对于5：若a>b>0,c>d>0,贝!]0>-d>-c,所以a-d>匕一c（同向相力口），故选项5

正确；

1

对于C：将avbvO两边同时乘以Q可得：a>ab,

将QvbvO两边同时乘以〃可得，所以/>Qb>〃2,故选项。正确；

对于。：取a=3,Z?=—1,c=—2,d=—3,满足c>d,(0ac——6>bd=3,不

满足ac>Od,故选项。不正确；

故选：ABC.

【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题.

8.若a,b,ceR,则下列命题正确的是()

A.若a>Z?,则B.若〃>/?,则7c2

ab

C.若a>0>c>0,则b>_£_D.若a>>>c>0,则@々十°

a-ba-cbb+c

【答案】C

【考点】不等式的基本性质

【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理

【分析】利用不等式的基本性质或者赋值法，对四个选项逐一分析判断即可.

【解答】解：对于A,l_l=^z£,

abab

当a<b<0时，ab>0,b-a>0,贝！),一,=^^>0,

abab

所以

ab

故选项A错误；

对于5,当c=0时，<2C2=be1,故选项B错误；

对于C,当a>b>c时，a-c>a-b>0,

则」一>」一>0,又b>c>0,

a—ba—c

所以上>工，

a—ba—c

故选项。正确；

对于Oaa+c_a(b+c)-(tz+c)b_ab+ac—ab—bc_c(a—b)

bb+cb(b+c)b(b+c)b(b+c)

因为a>Z?>c>0,则a—Z;>0,〃+c>0,

,,aa+c八

故z------->0,

bb+c

r-r-I、［Qa+c

所以一>----,

bb+c

故选项。错误.

故选：C.

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式基本性质的理解与应用，属于基础

题.

9.下列不等式中，恒成立的个数是()

@a2+b2+c2..ab+bc+ca；

②。(1一G)„一；

4

③%4..2；

ab

④(/+b1)(c2+d2)..(ac+bd)2

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【考点】不等式的基本性质

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

【解答】解：对于①，

22

2,72/77、/—2ab+/Z?-2Z?c+c?c-2ac+片

a+b+c-(ab+bc+cd)=-----------+-----------+-----------

222

(a-bf(b-cf(c-a)2

=---------------------1-----------------------1---------------------..u,

222

a2+b2+c2j^&ib+beca,当且仅当a=〃=c时取等号，故①正确，

对于②，a(l-a)--^=-a2+〃一(二一①一故,,o,

/.a(l-a\,—,故②正确，

4

对于③，a,力符号不确定，

.・・。+2.2不一定成立，故③错误，

ab

对于④，(〃+b2)(c2+屋)=储＜?+crd2+b2c2+b2d2..a2c2+2abcd+b2d2={ac+bdf,故④

正确，

故恒成立的个数为3个.

故选：C.

【点评】本题主要考查基本不等式的性质，以及基本不等式的公式，需要学生熟练掌握公

式，属于基础题.

10.以下四个命题正确的是（）

A."a>b”是"成>廿”的充分条件

B."⑷叫”是"Y>bi”的充要条件

C.""是"a+c>b+c”的充要条件

D.设a,beR,且ab/O,若曰<1,则2>1

ba

【答案】BC

【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；逻辑推理

【分析】利用不等式的基本性质、充要条件的判定方法即可判断出结论.

【解答】解：A.“a>6”无法得出“£>廿”，例如取。=1,b=-2,因此“。>匕”不

是“片的充分条件，不正确；

B."|a|>|b|"o"">62”，,下“标>从”的充要条件，因此

正确；

C.aa>b"<=>aa+c>b+c","a>6"是"a+c>6+c”的充要条件，正

确；

D.a,bwR,且abwO,由3<1,若仍>0,则。>1；若a6<0,则2>1不成立，因

baa

此不正确.

故选：BC.

【点评】本题考查了不等式的基本性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础

题.

二.基本不等式

11.已知x,y为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）

A.叶乜.历B.（£±2）\,xyc.^+-..2D.\x+y\>\x-y\

22xy

【答案】B

【考点】不等关系与不等式；基本不等式及其应用

【专题】数学运算；不等式的解法及应用；转化思想；转化法

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及作差法，即可求解.

【解答】解：对于A,当x<0,y<0时，言..而不成立，故A错误;

对于3,(')2-孙=3^0,

24

故(亨)2..冷，故3正确；

对于C,当X,y异号时，)+二..2不成立，故C错误；

xy

对于O,当x=l,丁=一1时，|x+y|v|x-y|,故。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查不等式关系与不等式，属于基础题.

12.若。>0,b>0,则(4a+b)(a+b)的最小值是()

ab

A.3B.6C.9D.12

【答案】c

【考点】基本不等式及其应用

【专题】不等式的解法及应用；综合法；转化思想；数学运算

【分析】将已知关系式化简，然后利用基本不等式化简即可求解.

【解答】解：因为。>0,b>0,

(4a+b)(a+b)4a?+b2+5ab4abe

贝ij-------------------=-------------------=—+—+5

ababba

当且仅当也=2,即6=2a时取得最小值9.

ba

故选：C.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

13.若正数x,y满足尤+3y=5孙，则3x+4y的最小值是()

A.—B.—C.5D.6

55

【答案】C

【考点】基本不等式及其应用

【专题】不等式的解法及应用

3131一

【分析】将i+3y=5盯转化成一+—=1,然后根据3x+4y=(—+—)(3x+4y),展开后

5x5y5x5y

利用基本不等式可求出3x+4y的最小值.

31

【解答】解：•正数％,y满足兀+3y=5盯，一+—=1

5x5y

。/z31S，、9412y3x13「I12y3x「

3x+4y=（1）（3x+4y）=--\1-H...1-2J----------=5

5x5y555x5y515x5y

当且仅当Uz=主时取等号，

5x5y

「.3兀+4y..5,即3x+4y的最小值是5.

故选：c.

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知

变形，然后进行“1”的代换，属于基础题.

14.已知x>0,y>0,且一1-+1=工，贝Ux+y的最小值为（）

x+3y2

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【考点】基本不等式及其应用

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】把所求x+y巧用”1”的代换即可求解.

【解答】解：因为x>0,y>0,且」一+'=',

x+3y2

...无+>=尤+3+>-3=2（无+3+〉）（一^—+'）-3=2（2+^^+^^）-3,

x+3yx+3y

x>0,y>0,「.上+出..2.上・出=2（当且仅当y=x+3=4,取得等号）；

x+3y\x+3y

x+y..2义（2+2）—3=5.

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

15.已知正数x,y满足尤+2y=2,则±±1+劣匚可能的取值为（）

xy+1

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【考点】基本不等式及其应用

【专题】转化思想；转化法；不等式；数学运算

【分析】由题意把三+Z匚化为1+二一，利用条件和基本不等式即可求出它的最小

xy+1xy+1

值，从而得出答案.

【解答】解：因为正数%,y满足％+2y=2,所以x+2(y+1)=4,

所以里=x+-D+2

xy+1xy+1

〜、

=x-\--1-F2(y—1I)H-----2---

Xy+1

12

=—i----

Xy+1

=(，+/7)[x+2(y+l)]x：

xy+14

12(y+l)2x1l2(y+l)2x9

4xy+14丫xy+14

当且仅当2"+」=二,BPx=-,y=L时"=”成立,

xy+133

所以二±1+Z匚的最小值为2,它的可能取值是3和4.

xy+14

故选：CD.

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了转化与化归思想，是中档题.

2则7的最大值是—手

16.若%>0且％?+匕=1

2

【答案】逑.

4

【考点】基本不等式及其应用

【专题】不等式的解法及应用；转化思想；数学运算；综合法

【分析】由已知可得丁=2-2*,然后代入所求关系式，再利用基本不等式化简即可求

解.

【解答】解：由已知可得丁=2-2/,

所以无，1+丁=旧(l+2-2x2)=旧(3-2x2)=^^2x2(3-2x2)

722X2+3-2X2372

,,--X----------=---，

224

当且仅当2/=3-2尤2,即时取得最大值为述.

24

故答案为：逑.

4

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

17.设a>0,则a+即上的最小值为（）

a

A.213a+4B.7C.4D.5

【答案】B

【考点】基本不等式及其应用

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】由已知先进行分离，然后结合基本不等式即可求解.

【解答】解：a>0>则a+细上=a+3+3..•3+3=7,

aa\a

当且仅当a=3即a=2时取等号，此时取得最小值7.

a

故选：B.

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题.

18.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的

长为x米，宽为y米.若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为_20根_；

若使用的篱笆总长度为30米，则工+4的最小值为_.

尤了

【答案】20m,—.

10

【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用

【专题】应用题；数形结合；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】①由题意知-=50,所用篱笆总长为尤+2y,利用基本不等式求最值；②由题意

知尤+2y=30,化简工+2=,d+2）（x+2y）=~1-（在+型+5）,利用基本不等式求最

xy30xy30yx

值.

【解答】解：①由题意得，孙=50,

所用篱笆总长为x+2y..28^=20,

（当且仅当％=2y=10时，等号成立）

故所用篱笆总长的最小值为20m；

②由题意得，x+2y=30,

则工+2=](J_+-)(x+2y)

xy30xy

12%2y

=—(—+—+5)

30yx

」(4+5)=』，

3010

(当且仅当x=y=10时，等号成立)

故工+2的最小值为2.

xy10

故答案为：20m,—.

10

【点评】本题考查了基本不等式的应用，利用了数形结合的思想，属于中档题.

19.下列y的最小值是4的是()

412

A.y—t—B.y~(a+2b)(—I—)—5

tab

C.y=4\t\+—D.y=?+4+2

\t\x3

【答案】C

【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义

【专题】综合法；计算题；数学运算；转化思想；不等式

【分析】利用基本不等式求最值即可.

4

【解答】解：A.r<0时，y=f+?无最小值；

t

B.y=1+—+—+4-5,。与6异号时，无最小值；

ab

C.|?|>0,y=4|r|+j|j..4,当且仅当1=土;时取等号，的最小值为4；

D.x<0时，y=三+±+2无最小值.

故选：C.

【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意a+b..2疝中，a,6的符号,

考查了计算能力，属于容易题.

20.下列命题正确的是（）

A.已知尤<0,则丁=%+!有最大值一2

x

B.已知a>0,Z?>0,a+2〃=l,贝!,

ab8

C.盘土+5的最小值是2

6+4

D.无的最小值为乙斤一2

元2+2

【答案】AD

【考点】基本不等式及其应用

【专题】不等式；数学运算；转化思想；综合法；计算题

【分析】根据基本不等式即可判定每个选项的正误.

【解答】解：A.•x<0,—%>0,

y=x+—=—（—X+———2,当且仅当％=—1时取等号，A正确；

X-X

B.a>0,b>0,l=a+2b..2-Jlab,当且仅当a=2Z;=’时取等号，

2

ab„-,—..8,3错误；

8ab

C.：+1=42+4+—,\jx2+4..2,且函数7=元+^!•在[1,+8）上单调递增，

，川+44+4x

4+4+1..2+L9,c错误；

777422

D.X2+——=（X2+2）+--------2..2夕-2,当且仅当犬+2=二一时等号成立，。正

X2+2X2+2炉+2

确.

故选：AD.

【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，注意等号成立的条件，考查了计算能力，属

于基础题.

三.一元二次函数与一元二次不等式

21.若二次函数>=依2+bx+c（awo）的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为X],

尤2且人<%,则不等式以2+6x+c<0的解集是（）

A.[x\x<xl^lx>x2}B.{x\x2<x<xx}C.{x\Xy<x<x2]

D.{x\x<x2^x>x1]

【答案】A

【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】直接根据二次函数的性质即可求解.

【解答】解：二次函数丁=q2+"+以。工0）的图象开口向下，与X轴的交点的横坐标分

别为X,,冗2且玉<%2，

不等式ox?<0的解集是{%|X<%或X>%},

故选：A.

【点评】本题主要考查二次函数的性质的应用，属基础题.

22.不等式4/—4%+L,。的解集为（）

A.0B.RC.{x|x=：}D.{-1}

【答案】C

【考点】一元二次不等式及其应用

【专题】转化思想；转化法；数学运算；不等式的解法及应用

【分析】把不等式化为（2x-1）,,,0,求出解集即可.

【解答】解：不等式4/-4尤+L,0可化为（2x-l）2,,0,解得x=L

2

所以不等式-4x+L,0的解集为{x|x=g}.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.

23.“a>0”是“一元二次不等式依2+法+00恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算

【分析】直接利用判别式的应用，恒成立问题的应用求出结果.

【解答】解：由一元二次不等式OX?+陵+。>（）恒成立，得到函数/（九）=4+b%+c在九轴

上方，故△<0；

故“a>0”是“一元二次不等式a?+6尤+c>。恒成立”必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：判别式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于基础题.

24.设abc>0,二次函数/。)=加+bx+c的图象可能是()

【答案】D

【考点】函数的图象与图象的变换

【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；数学抽象

【分析】分别判断a,b,c的符号，检验是否一致即可.

【解答】解：A中，avO,c<0,对称轴x=-----<0,则Z?vO,贝!JvO与"c>0矛

2a

盾.

5中.avO,c>0,对称轴x=>0,贝!Jb>0,贝Iahc<0与a)c>0矛盾.

2a

C.a>0,cvO,对称轴x=<0,贝!贝！JabcvO与aZ?c>0矛盾.

la

b