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文档简介
安徽庐江县2024学年中考四模数学试题
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答
案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.如图,在AABC中,过点B作PBJ_BC于B,交AC于P,过点C作CQLAB,交AB延长线于Q,则△ABC的
A.线段PBB.线段BCC.线段CQD.线段AQ
2.如图,直线a,b被直线c所截,若2〃1),Zl=50°,Z3=120°,则N2的度数为()
A.80°B.70°C.60°D.50°
3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(xi,0)、(X2,0)两点,且1<X2<2与y轴交于(0,-2),下列结论:
①2a+b>l;②a+b<2;③3a+b>0;@a<-l,其中正确结论的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.计算/•(_“)的结果是()
A.a2B.-a2C.a4D.-a4
5.如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶,它的俯视图是()
6.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()
8.下列事件是必然事件的是()
A.任意作一个平行四边形其对角线互相垂直
B.任意作一个矩形其对角线相等
C.任意作一个三角形其内角和为360°
D.任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分
9.一元二次方程(x+2017)2=l的解为()
A.-2016,-2018B.-2016C.-2018D.-2017
10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,
却比竿子短一托“其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,
就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是()
x=y+5x=y+5
x=y-5
A.{1=B.{1「D。"+5
—x=y-5—x=y+52x=y-5
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知m=g^,n=gy,那么2016m.
12.因式分解:16a3-4a=.
13.如图,在△ABC中,ZABC=90°,AB=CB,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF,若NCAE=32。,
则NACF的度数为_________:
14.若圆锥的底面半径长为10,侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为
15.方程-x=Jx+6的解是.
16.边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为.
三、解答题(共8题,共72分)
2x<2+XD
17.(8分)解不等式组°c「°小,请结合题意填空,完成本题的解答.
[3x-2K5x+2②
(1)解不等式①,得;
(2)解不等式②,得;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
IiII!I>
-3-2-10123
(4)原不等式的解集为.
18.(8分)手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金,就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行,共
享单车为解决市民出行的“最后一公里,,难题帮了大忙,人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时,随意停放、
加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷•某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场,一
月底发现损坏率不低于10%,二月初又投入1200辆进入市场,使可使用的自行车达到7500辆.一月份该公司投入市
场的自行车至少有多少辆?二月份的损坏率为20%,进入三月份,该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%,由
于媒体的关注,毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论,三月份的损坏率下降为』a%,三月底可使用的自行
4
车达到7752辆,求a的值.
19.(8分)如图,在AABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,
且NCBF=:NCAB.
(1)求证:直线BF是。。的切线;
(2)若AB=5,sin/CBF=g,求BC和BF的长.
R
20.(8分)在WAABC中,ZACB=9Q,CD是AB边的中线,于E,连结CD,点P在射线CB上(与
B,C不重合)
(1)如果NA=3O
①如图1,ZDCB=
②如图2,点P在线段CB上,连结。P,将线段OP绕点。逆时针旋转60,得到线段。咒,连结8尸,补全图2猜
想CP、8尸之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上,且NA=a(0°<a<90°),连结。。,将线段。。绕点逆时针旋转2a
得到线段。产,连结BE,请直接写出。E、BF、三者的数量关系(不需证明)
21.(8分)现有一次函数y=nzx+”和二次函数7=九》:2+“丫+1,其中山邦,若二次函数y=»u:2+“x+i经过点⑵。),
(3,1),试分别求出两个函数的解析式.若一次函数y=mx+"经过点(2,0),且图象经过第一、三象限.二次函数
7=机,+7a+1经过点(a,yD和(a+1,m),且yi>)2,请求出a的取值范围.若二次函数尸点2+收+1的顶点坐标
为A(h,k)(原0),同时二次函数y=/+x+l也经过A点,已知-1<入<1,请求出机的取值范围.
22.(10分)下表中给出了变量x,与丫=2*2,y=ax2+bx+c之间的部分对应值,(表格中的符号“…”表示该项数据已丢
失)
X-101
ax2・・・・・・1
ax2+bx+c72・・・
(1)求抛物线y=ax?+bx+c的表达式
(2)抛物线y=ax?+bx+c的顶点为D,与y轴的交点为A,点M是抛物线对称轴上一点,直线AM交对称轴右侧的抛
物线于点B,当△ADM与ABDM的面积比为2:3时,求B点坐标;
(3)在(2)的条件下,设线段BD与x轴交于点C,试写出NBAD和NDCO的数量关系,并说明理由.•
5-
4-
3-
2-
1-
-5-4-3-2-1012345X
-3
-4
-5
23.(12分)如图,有四张背面相同的卡片A、B、C、D,卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边
形(这些卡片除图案不同外,其余均相同).把这四张卡片背面向上洗匀后,进行下列操作:
(1)若任意抽取其中一张卡片,抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是;
(2)若任意抽出一张不放回,然后再从余下的抽出一张.请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果,求
抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率.
24.如图,AB为。O的直径,点C,D在。O上,且点C是8。的中点,过点C作AD的垂线EF交直线AD于点
E.
(1)求证:EF是。O的切线;
(2)连接BC,若AB=5,BC=3,求线段AE的长.
参考答案
、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、C
【解题分析】
根据三角形高线的定义即可解题.
【题目详解】
解:当AB为△ABC的底时,过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是AABC的高,
故选C.
【题目点拨】
本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.
2、B
【解题分析】
直接利用平行线的性质得出N4的度数,再利用对顶角的性质得出答案.
【题目详解】
解:
;a〃b,Zl=50°,
.,.Z4=50°,
VZ3=120°,
.*.Z2+Z4=120°,
.*.Z2=120°-50o=70°.
故选B.
【题目点拨】
此题主要考查了平行线的性质,正确得出N4的度数是解题关键.
3、A
【解题分析】
如图,0<七<1,1<%<2
且图像与y轴交于点(0,-2),
可知该抛物线的开口向下,即a<0,c=-2
①当尤=2时,y=4a+2b-2<0
4a+2b<22a+b<l
故①错误.
②由图像可知,当%=1时,y>0
:・a+b-2>0
/.a+b>2
故②错误.
③0<XJ<L1<X2<2
/.1<XJ+X2<3,
又
xx+x2=—,
■a<b<-3a,
:.3Q+Z?<0,
故③错误;
@V0<xrx2<2,xxx2=—<2,
又丁c=—29
:•a<—1.
故④正确.
故答案选A.
【题目点拨】
本题考查二次函数y=af+"+。系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.
4、D
【解题分析】
直接利用同底数募的乘法运算法则计算得出答案.
【题目详解】
解:a3•(-a)=-a,,
故选D.
【题目点拨】
此题主要考查了同底数嘉的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键.
5、B
【解题分析】
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.
【题目详解】
锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.
故选B.
【题目点拨】
本题考查三视图的知识,解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图,从上面看到的
图形是俯视图,从左面看到的图形是左视图,能看到的线画实线,被遮挡的线画虚线.
6、A
【解题分析】试题分析:几何体的主视图有2歹!),每列小正方形数目分别为2,1.
故选A.
考点:三视图
»W
7、B
【解题分析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.
【题目详解】
51
解:•.•一Xl=l
2
•••L的倒数是1.
2
故选瓦
【题目点拨】
本题考查了倒数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
8、B
【解题分析】
必然事件就是一定发生的事件,根据定义对各个选项进行判断即可.
【题目详解】
解:A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生,是随机事件,故本选项错误;
B、矩形的对角线相等,所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生,是必然事件,故本选项正确;
C、三角形的内角和为180。,所以任意作一个三角形其内角和为360°是不可能事件,故本选项错误;
D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生,是随机事件,故选项错误,
故选:B.
【题目点拨】
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能
事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事
件.熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键.
9、A
【解题分析】
利用直接开平方法解方程.
【题目详解】
(x+2017)2=1
x+2017=±l,
所以xi=-2018,X2=-l.
故选A.
【题目点拨】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直接开平方的方
法解一元二次方程.
10、A
【解题分析】
设索长为x尺,竿子长为y尺,根据“索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托”,即可得出关于x、y的二
元一次方程组.
【题目详解】
设索长为X尺,竿子长为y尺,
x=v+5
根据题意得:1
—x=y-5
12'
故选A.
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、1
【解题分析】
根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的事的积,然后化简从而得到m=n,再根据任何非零数的零次
幕等于1解答.
【题目详解】
.._154_34?5_54
解:•---济,
m=n,
••.2016mn=2016°=l.
故答案为:1
【题目点拨】
本题考查了同底数幕的除法,积的乘方的性质,难点在于转化m的分母并得到m=n.
12、4a(2a+l)(2a-1)
【解题分析】
首先提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
【题目详解】
原式=4a(4a2-1)=4a(2a+l)(2a-1),
故答案为4a(2a+l)(2a-1)
【题目点拨】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.
13、58
【解题分析】
根据HL证明RtACBF丝RtZkABE,推出NFCB=NEAB,求出NCAB=NACB=45°,
求出NBCF=NBAE=13。,即可求出答案.
【题目详解】
解:,.,ZABC=90°,
.\ZABE=ZCBF=90°,
在RtACBF和RtAABE中
CF=CE
BC=AB,
,*.RtACBF^RtAABE(HL),
/.ZFCB=ZEAB,
VAB=BC,NABC=90。,
/.ZCAB=ZACB=45°.
VZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-32°=13°,
/.ZBCF=ZBAE=13°,
:.ZACF=ZBCF+ZACB=450+13°=58°
故答案为58
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的性质和判定,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的性质
是全等三角形的对应边相等,对应角相等.
14、2
【解题分析】
侧面展开后得到一个半圆,半圆的弧长就是底面圆的周长.依此列出方程即可.
【题目详解】
设母线长为x,根据题意得
2仆+2=2"5,
解得X=l.
故答案为2.
【题目点拨】
本题考查了圆锥的计算,解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长,难度不大.
15、x=-2
【解题分析】
方程-X=Jx+6两边同时平方得:
x2=x+6»解得:%=3,%=—2,
检验:(1)当x=3时,方程左边=-3,右边=3,左边片右边,因此3不是原方程的解;
(2)当x=-2时,方程左边=2,右边=2,左边=右边,因此-2是方程的解.
二原方程的解为:x=-2.
故答案为:-2.
点睛:(1)根号下含有未知数的方程叫无理方程,解无理方程的基本思想是化“无理方程”为“有理方程”;(2)解无理
方程和解分式方程相似,求得未知数的值之后要检验,看所得结果是原方程的解还是增根.
16、la1.
【解题分析】
结合图形,发现:阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积.
【题目详解】
阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积
=(la)^a1--xlax3a
2
=4a1+a1-3a,
=la1.
故答案为:laL
【题目点拨】
此题考查了整式的混合运算,关键是列出求阴影部分面积的式子.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)x<l;(1)x>-1;(3)见解析;(4)-1<X<1.
【解题分析】
先求出不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
【题目详解】
解:(1)解不等式①,得烂1,
(1)解不等式②,得史-1,
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
-5-4-3-2-1012345;
(4)原不等式组的解集为-1<X<1,
故答案为x<l,x>-l,-1<X<1.
【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.
18、(1)7000辆;(2)a的值是1.
【解题分析】
(1)设一月份该公司投入市场的自行车X辆,根据损坏率不低于10%,可得不等量关系:一月初投入的自行车-一月
底可用的自行车之一月损坏的自行车列不等式求解;
(2)根据三月底可使用的自行车达到7752辆,可得等量关系为:(二月份剩余的可用自行车+三月初投入的自行车)
x三月份的损耗率=7752辆列方程求解.
【题目详解】
解:(1)设一月份该公司投入市场的自行车x辆,
x-(7500-110)>10%x,
解得x>7000,
答:一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆;
(2)由题意可得,
[7500x(1-1%)+110(l+4a%)](1-:a%)=7752,
化简,得
a2-250a+4600=0,
解得:ai=230,a2=l,
20%,
4
解得a<80,
:.a=l,
答:a的值是1.
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用,根据一月底的损坏率不低于10%找出不等量关系式解答(D
的关键;根据三月底可使用的自行车达到7752辆找出等量关系是解答(2)的关键.
19、(1)证明见解析;(2)BC=2亚BF=y.
【解题分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到
直角,从而证明NABF=90。.
(2)利用已知条件证得△AGCs^ABF,利用比例式求得线段的长即可.
(1)证明:连接AE,
TAB是。O的直径,
...NAEB=90。,
/.Zl+Z2=90°.
VAB=AC,
AZ1=ZCAB.
VZCBF=ZCAB,
.*.Z1=ZCBF
.,.ZCBF+Z2=90°
BPZABF=90°
;AB是。O的直径,
二直线BF是。O的切线.
(2)解:过点C作CGLAB于G.
VsinZCBF='、,Z1=ZCBF,
5
•.•在RtAAEB中,ZAEB=90°,AB=5,
BE=AB・sinNl=、,,
;AB=AC,ZAEB=90°,
;.BC=2BE=2、5,
在RtZkABE中,由勾股定理得AE=、“J=2、;
;.sinN2='cosZ2=
AB5BCAB5BC
在RtACBG中,可求得GC=4,GB=2,
;.AG=3,
VGC/7BF,
.,.△AGC^AABF,
.GC_AG
GCAB20
/.BF=/(,=3.
20、(1)①60;②CP=BF.理由见解析;(2)BF-BP=2DEtana,理由见解析.
【解题分析】
(1)①根据直角三角形斜边中线的性质,结合NA=30,只要证明ACD3是等边三角形即可;
②根据全等三角形的判定推出ADCP=ADBF,根据全等的性质得出CP=BF,
(2)如图2,求出。。=。6=的>,DEAC,求出NFDB=NCDP=2a+NPDB,DP=DF,根据全等三角
形的判定得出△DCPwADBP,求出CP=5b,推出彼—解直角三角形求出CEuDEtan。即可.
【题目详解】
解:(1)①•••/4=30,ZACB=90,
4=60,
,:AD=DB,
:.CD=AD=DB,
...ACDB是等边三角形,
:.ZDCB=60°.
故答案为60.
②如图1,结论:CP=BF.理由如下:
图1
;ZAC3=90,。是AB的中点,DEIBC,ZA=a,
:.DC=DB=AD,DEAC,
:.ZA=ZACD=a,NEDB=ZA=a,BC=2CE,
ZBDC=ZA+ZACD=2a,
VZ.PDF=2a,
:.ZFDB=ZCDP=2a-ZPDB,
•.•线段OP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,
:.DP=DF,
在ADCP和AD5/中
DC=DB
<ZCDP=NBDF,
DP=DF
:.NDCP=NDBF,
:.CP=BF.
(2)结论:BF-BP=2DEtana.
理由:;NAC3=90,。是AB的中点,DEIBC,ZA=a,
:.DC=DB=AD,DEAC,
ZA=ZACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,
:.ZBDC=ZA+ZACD=2a,
':ZPDF=2a,
:.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,
•.•线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,
:.DP=DF,
在ADCP和AD3/中
DC=DB
<ZCDP=ZBDF,
DP=DF
:.ADCP=ADBF,
:.CP=BF,
而。尸=5。+5。,
:.BF—BP=BC,
在RfACDE中,/DEC=90°,
DE
/.tan/DCE=----,
CE
:.CE=DEtan。,
.*•BC—2CE=IDEtanCL,
即BF-BP=2DEtana.
【题目点拨】
本题考查了三角形外角性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形的性质,旋转的性质的应用,能推出
ADCPwADB尸是解此题的关键,综合性比较强,证明过程类似.
131
21、(1)y=x-2,y=x2+—+1;(2)a<—;(3)m<-2或m>l.
222
【解题分析】
(1)直接将点代入函数解析式,用待定系数法即可求解函数解析式;
(2)点(2,1)代入一次函数解析式,得到n=-2m,利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x=L由一次函数
经过一、三象限可得m>L确定二次函数开口向上,此时当yi>y2,只需让a到对称轴的距离比a+1到对称轴的距
离大即可求a的范围.
(3)将A(h,k)分别代入两个二次函数解析式,再结合对称抽得h=-旦,将得到的三个关系联立即可得到
2m
h=———,再由题中已知TVhVL利用h的范围求出m的范围.
m+1
【题目详解】
(1)将点(2,1),(3,1),代入一次函数中,
0=2m+n
V,
l=3m+n
m=l
解得c,
n=-2
・・・一次函数的解析式是y=x-2,
再将点(2,1),(3,1),代入二次函数)=帆,+〃工+1,
0=4根+2〃+1
l=9m+3n+l
1
m二—
2
解得§,
n--
I2
13
二次函数的解析式是y=--x92+-+l.
(2)•.•一次函数经过点(2,1),
:・n=-2m,
•・,二次函数的对称轴是x=一-—,
2m
=
・••对称轴为xl9
又・・,一次函数〃图象经过第一、三象限,
1・m>l,
/•1-。>1+〃-19
.1
:・aV—.
2
(3)•.•y=m:2+〃x+i的顶点坐标为A(居k),
_n
••k—-itih+nh~^~1fa曰.h,
2m
又,二次函数y=x2+x+l也经过A点,
'.k—h2+h+l,
'.mh2+nh+l=h2+h+l,
m+1
又;-l<h<l,
-2或m>l.
【题目点拨】
本题考点:点与函数的关系;二次函数的对称轴与函数值关系;待定系数法求函数解析式;不等式的解法;数形结合
思想是解决二次函数问题的有效方法.
22、(l)y=x2-4x+2;⑵点B的坐标为(5,7);(1)NBAD和NDCO互补,理由详见解析.
【解题分析】
(1)由(1,1)在抛物线产上可求出a值,再由(-1,7)、(0,2)在抛物线产—+打+。上可求出从c的值,此
题得解;
(2)由A4DM和A5OM同底可得出两三角形的面积比等于高的比,结合点A的坐标即可求出点5的横坐标,再利
用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标;
⑴利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、O的坐标,过点A作AN〃》轴,交BD于点、N,则NANO=NZ>CO,
根据点3、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标,
利用两点间的距离公式可求出54、BD、3N的长度,由三者间的关系结合NA3Z>=NNR4,可证出△A5Z>saNR4,
根据相似三角形的性质可得出NAN5=NZM3,再由NANB+NANZ)=120。可得出NZM8+NZ)CO=120。,即N5A。和
NZJCO互补.
【题目详解】
(1)当x=l时,y=ax2=l,
解得:a=l;
将(-1,7)、(0,2)代入y=x?+bx+c,得:
(l-b+c=7解得:仁3
Ic=2
二抛物线的表达式为y=x2-4x+2;
(2),..△ADM和△BDM同底,且△ADM与△BDM的面积比为2:1,
二点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2:1.
抛物线y=x2-4x+2的对称轴为直线x=-U=2,点A的横坐标为0,
...点B到抛物线的距离为1,
点B的横坐标为1+2=5,
...点B的坐标为(5,7).
(1)NBAD和/DCO互补,理由如下:
当x=0时,y=x2-4x+2=2,
点A的坐标为(0,2),
Vy=x2-4x+2=(x-2)2-2,
...点D的坐标为(2,-2).
过点A作AN〃x轴,交BD于点N,贝!|NAND=NDCO,如图所示.
设直线BD的表达式为y=mx+n(m/0),
将B(5,7)、D(2,-2)代入y=mx+n
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