安徽庐江县2024届中考四模数学试题含解析

安徽庐江县2024学年中考四模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在AABC中，过点B作PBJ_BC于B,交AC于P,过点C作CQLAB,交AB延长线于Q,则△ABC的

A.线段PBB.线段BCC.线段CQD.线段AQ

2.如图，直线a,b被直线c所截，若2〃1）,Zl=50°,Z3=120°,则N2的度数为（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（xi,0）、（X2,0）两点，且1<X2<2与y轴交于（0,-2）,下列结论:

①2a+b>l；②a+b<2；③3a+b>0；@a<-l,其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.计算/•（_“）的结果是（）

A.a2B.-a2C.a4D.-a4

5.如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶，它的俯视图是（）

6.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

8.下列事件是必然事件的是（）

A.任意作一个平行四边形其对角线互相垂直

B.任意作一个矩形其对角线相等

C.任意作一个三角形其内角和为360°

D.任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分

9.一元二次方程（x+2017）2=l的解为（）

A.-2016,-2018B.-2016C.-2018D.-2017

10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿,

却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿,

就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）

x=y+5x=y+5

x=y-5

A.{1=B.{1「D。"+5

—x=y-5—x=y+52x=y-5

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知m=g^,n=gy,那么2016m.

12.因式分解：16a3-4a=.

13.如图，在△ABC中，ZABC=90°,AB=CB,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF,若NCAE=32。,

则NACF的度数为_________：

14.若圆锥的底面半径长为10,侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为

15.方程-x=Jx+6的解是.

16.边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为.

三、解答题(共8题，共72分)

2x<2+XD

17.(8分)解不等式组°c「°小，请结合题意填空，完成本题的解答.

[3x-2K5x+2②

(1)解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

IiII!I>

-3-2-10123

(4)原不等式的解集为.

18.(8分)手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行，共

享单车为解决市民出行的“最后一公里，，难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、

加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷•某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一

月底发现损坏率不低于10%,二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆.一月份该公司投入市

场的自行车至少有多少辆？二月份的损坏率为20%,进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%,由

于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为』a%,三月底可使用的自行

4

车达到7752辆，求a的值.

19.(8分)如图，在AABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，

且NCBF=：NCAB.

(1)求证：直线BF是。。的切线；

(2)若AB=5,sin/CBF=g,求BC和BF的长.

R

20.（8分）在WAABC中，ZACB=9Q，CD是AB边的中线，于E,连结CD,点P在射线CB上（与

B,C不重合）

（1）如果NA=3O

①如图1,ZDCB=

②如图2,点P在线段CB上，连结。P,将线段OP绕点。逆时针旋转60，得到线段。咒，连结8尸，补全图2猜

想CP、8尸之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3,若点P在线段CB的延长线上，且NA=a（0°＜a＜90°）,连结。。，将线段。。绕点逆时针旋转2a

得到线段。产，连结BE,请直接写出。E、BF、三者的数量关系（不需证明）

21.（8分）现有一次函数y=nzx+”和二次函数7=九》：2+“丫+1,其中山邦，若二次函数y=»u：2+“x+i经过点⑵。），

（3,1）,试分别求出两个函数的解析式.若一次函数y=mx+"经过点（2,0）,且图象经过第一、三象限.二次函数

7=机，+7a+1经过点（a,yD和（a+1,m），且yi＞）2,请求出a的取值范围.若二次函数尸点2+收+1的顶点坐标

为A（h,k）（原0）,同时二次函数y=/+x+l也经过A点，已知-1＜入＜1,请求出机的取值范围.

22.（10分）下表中给出了变量x,与丫=2*2,y=ax2+bx+c之间的部分对应值，（表格中的符号“…”表示该项数据已丢

失）

X-101

ax2・・・・・・1

ax2+bx+c72・・・

（1）求抛物线y=ax?+bx+c的表达式

（2）抛物线y=ax?+bx+c的顶点为D,与y轴的交点为A,点M是抛物线对称轴上一点，直线AM交对称轴右侧的抛

物线于点B,当△ADM与ABDM的面积比为2：3时，求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，设线段BD与x轴交于点C,试写出NBAD和NDCO的数量关系，并说明理由.•

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345X

-3

-4

-5

23.（12分）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D,卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边

形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）.把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：

（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是;

（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张.请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求

抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率.

24.如图，AB为。O的直径，点C,D在。O上，且点C是8。的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点

E.

（1）求证：EF是。O的切线；

（2）连接BC,若AB=5,BC=3,求线段AE的长.

参考答案

、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

根据三角形高线的定义即可解题.

【题目详解】

解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高，故CQ是AABC的高,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了三角形高线的定义，属于简单题，熟悉高线的作法是解题关键.

2、B

【解题分析】

直接利用平行线的性质得出N4的度数，再利用对顶角的性质得出答案.

【题目详解】

解：

；a〃b,Zl=50°,

.,.Z4=50°,

VZ3=120°,

.*.Z2+Z4=120°,

.*.Z2=120°-50o=70°.

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查了平行线的性质，正确得出N4的度数是解题关键.

3、A

【解题分析】

如图，0<七<1,1<%<2

且图像与y轴交于点（0,-2）,

可知该抛物线的开口向下，即a<0,c=-2

①当尤=2时，y=4a+2b-2<0

4a+2b<22a+b<l

故①错误.

②由图像可知，当％=1时，y>0

：・a+b-2>0

/.a+b>2

故②错误.

③0<XJ<L1<X2<2

/.1<XJ+X2<3,

又

xx+x2=—,

■a<b<-3a,

:.3Q+Z?<0,

故③错误；

@V0<xrx2<2,xxx2=—<2,

又丁c=—29

：•a<—1.

故④正确.

故答案选A.

【题目点拨】

本题考查二次函数y=af+"+。系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.

4、D

【解题分析】

直接利用同底数募的乘法运算法则计算得出答案.

【题目详解】

解：a3•(-a)=-a,,

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了同底数嘉的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

5、B

【解题分析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【题目详解】

锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.

故选B.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

6、A

【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2歹!),每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

考点：三视图

»W

7、B

【解题分析】

根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.

【题目详解】

51

解：•.•一Xl=l

2

•••L的倒数是1.

2

故选瓦

【题目点拨】

本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

8、B

【解题分析】

必然事件就是一定发生的事件，根据定义对各个选项进行判断即可.

【题目详解】

解：A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生，是随机事件，故本选项错误；

B、矩形的对角线相等，所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生，是必然事件，故本选项正确；

C、三角形的内角和为180。，所以任意作一个三角形其内角和为360°是不可能事件，故本选项错误；

D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生，是随机事件，故选项错误，

故选:B.

【题目点拨】

解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能

事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件.熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键.

9、A

【解题分析】

利用直接开平方法解方程.

【题目详解】

(x+2017)2=1

x+2017=±l,

所以xi=-2018,X2=-l.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直接开平方的方

法解一元二次方程.

10、A

【解题分析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二

元一次方程组.

【题目详解】

设索长为X尺，竿子长为y尺，

x=v+5

根据题意得：1

—x=y-5

12'

故选A.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解题分析】

根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的事的积，然后化简从而得到m=n,再根据任何非零数的零次

幕等于1解答.

【题目详解】

.._154_34?5_54

解：•---济，

m=n,

••.2016mn=2016°=l.

故答案为：1

【题目点拨】

本题考查了同底数幕的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m=n.

12、4a(2a+l)(2a-1)

【解题分析】

首先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【题目详解】

原式=4a(4a2-1)=4a(2a+l)(2a-1),

故答案为4a(2a+l)(2a-1)

【题目点拨】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.

13、58

【解题分析】

根据HL证明RtACBF丝RtZkABE,推出NFCB=NEAB,求出NCAB=NACB=45°,

求出NBCF=NBAE=13。，即可求出答案.

【题目详解】

解：,.,ZABC=90°,

.\ZABE=ZCBF=90°,

在RtACBF和RtAABE中

CF=CE

BC=AB,

,*.RtACBF^RtAABE(HL),

/.ZFCB=ZEAB,

VAB=BC,NABC=90。，

/.ZCAB=ZACB=45°.

VZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-32°=13°,

/.ZBCF=ZBAE=13°,

:.ZACF=ZBCF+ZACB=450+13°=58°

故答案为58

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的性质

是全等三角形的对应边相等，对应角相等.

14、2

【解题分析】

侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长.依此列出方程即可.

【题目详解】

设母线长为x,根据题意得

2仆+2=2"5,

解得X=l.

故答案为2.

【题目点拨】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大.

15、x=-2

【解题分析】

方程-X=Jx+6两边同时平方得：

x2=x+6»解得：％=3,%=—2,

检验：(1)当x=3时，方程左边=-3,右边=3,左边片右边，因此3不是原方程的解;

(2)当x=-2时，方程左边=2,右边=2,左边=右边，因此-2是方程的解.

二原方程的解为：x=-2.

故答案为：-2.

点睛：(1)根号下含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的基本思想是化“无理方程”为“有理方程”；(2)解无理

方程和解分式方程相似，求得未知数的值之后要检验，看所得结果是原方程的解还是增根.

16、la1.

【解题分析】

结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积.

【题目详解】

阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积

=(la)^a1--xlax3a

2

=4a1+a1-3a,

=la1.

故答案为：laL

【题目点拨】

此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)x<l；(1)x>-1；(3)见解析；(4)-1<X<1.

【解题分析】

先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【题目详解】

解：(1)解不等式①，得烂1,

(1)解不等式②，得史-1,

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

-5-4-3-2-1012345；

(4)原不等式组的解集为-1<X<1,

故答案为x<l,x>-l,-1<X<1.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

18、(1)7000辆；(2)a的值是1.

【解题分析】

(1)设一月份该公司投入市场的自行车X辆，根据损坏率不低于10%,可得不等量关系：一月初投入的自行车-一月

底可用的自行车之一月损坏的自行车列不等式求解；

(2)根据三月底可使用的自行车达到7752辆，可得等量关系为：(二月份剩余的可用自行车+三月初投入的自行车)

x三月份的损耗率=7752辆列方程求解.

【题目详解】

解：(1)设一月份该公司投入市场的自行车x辆，

x-(7500-110)>10%x,

解得x>7000,

答:一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆；

(2)由题意可得，

[7500x(1-1%)+110(l+4a%)](1-:a%)=7752,

化简，得

a2-250a+4600=0,

解得：ai=230,a2=l,

20%,

4

解得a<80,

:.a=l,

答：a的值是1.

【题目点拨】

本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，根据一月底的损坏率不低于10%找出不等量关系式解答(D

的关键；根据三月底可使用的自行车达到7752辆找出等量关系是解答(2)的关键.

19、(1)证明见解析；(2)BC=2亚BF=y.

【解题分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到

直角，从而证明NABF=90。.

(2)利用已知条件证得△AGCs^ABF,利用比例式求得线段的长即可.

(1)证明：连接AE,

TAB是。O的直径，

...NAEB=90。，

/.Zl+Z2=90°.

VAB=AC,

AZ1=ZCAB.

VZCBF=ZCAB,

.*.Z1=ZCBF

.,.ZCBF+Z2=90°

BPZABF=90°

；AB是。O的直径,

二直线BF是。O的切线.

(2)解：过点C作CGLAB于G.

VsinZCBF='、，Z1=ZCBF,

5

•.•在RtAAEB中,ZAEB=90°,AB=5,

BE=AB・sinNl=、,,

；AB=AC,ZAEB=90°,

；.BC=2BE=2、5,

在RtZkABE中，由勾股定理得AE=、“J=2、;

；.sinN2='cosZ2=

AB5BCAB5BC

在RtACBG中，可求得GC=4,GB=2,

；.AG=3,

VGC/7BF,

.,.△AGC^AABF,

.GC_AG

GCAB20

/.BF=/（，=3.

20、（1）①60；②CP=BF.理由见解析；（2）BF-BP=2DEtana,理由见解析.

【解题分析】

（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合NA=30，只要证明ACD3是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出ADCP=ADBF,根据全等的性质得出CP=BF,

（2）如图2,求出。。=。6=的＞,DEAC,求出NFDB=NCDP=2a+NPDB,DP=DF,根据全等三角

形的判定得出△DCPwADBP,求出CP=5b,推出彼—解直角三角形求出CEuDEtan。即可.

【题目详解】

解：（1）①•••/4=30，ZACB=90，

4=60，

,:AD=DB,

：.CD=AD=DB,

...ACDB是等边三角形，

:.ZDCB=60°.

故答案为60.

②如图1,结论：CP=BF.理由如下：

图1

；ZAC3=90，。是AB的中点，DEIBC,ZA=a,

：.DC=DB=AD,DEAC,

：.ZA=ZACD=a,NEDB=ZA=a,BC=2CE,

ZBDC=ZA+ZACD=2a,

VZ.PDF=2a,

:.ZFDB=ZCDP=2a-ZPDB，

•.•线段OP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF，

：.DP=DF,

在ADCP和AD5/中

DC=DB

<ZCDP=NBDF,

DP=DF

：.NDCP=NDBF,

：.CP=BF.

(2)结论：BF-BP=2DEtana.

理由：；NAC3=90，。是AB的中点，DEIBC,ZA=a,

:.DC=DB=AD,DEAC,

ZA=ZACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,

:.ZBDC=ZA+ZACD=2a,

'：ZPDF=2a,

:.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,

•.•线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,

：.DP=DF,

在ADCP和AD3/中

DC=DB

<ZCDP=ZBDF,

DP=DF

：.ADCP=ADBF,

：.CP=BF,

而。尸=5。+5。，

:.BF—BP=BC,

在RfACDE中，/DEC=90°，

DE

/.tan/DCE=----,

CE

:.CE=DEtan。，

.*•BC—2CE=IDEtanCL,

即BF-BP=2DEtana.

【题目点拨】

本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出

ADCPwADB尸是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似.

131

21、(1)y=x-2,y=x2+—+1；(2)a<—；(3)m<-2或m>l.

222

【解题分析】

(1)直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式；

(2)点(2,1)代入一次函数解析式，得到n=-2m,利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x=L由一次函数

经过一、三象限可得m>L确定二次函数开口向上，此时当yi>y2,只需让a到对称轴的距离比a+1到对称轴的距

离大即可求a的范围.

(3)将A(h,k)分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h=-旦，将得到的三个关系联立即可得到

2m

h=———,再由题中已知TVhVL利用h的范围求出m的范围.

m+1

【题目详解】

(1)将点(2,1),(3,1),代入一次函数中，

0=2m+n

V,

l=3m+n

m=l

解得c，

n=-2

・・・一次函数的解析式是y=x-2,

再将点(2,1),(3,1),代入二次函数)=帆，+〃工+1,

0=4根+2〃+1

l=9m+3n+l

1

m二—

2

解得§,

n--

I2

13

二次函数的解析式是y=--x92+-+l.

(2)•.•一次函数经过点(2,1),

:・n=-2m,

•・,二次函数的对称轴是x=一-—,

2m

=

・••对称轴为xl9

又・・,一次函数〃图象经过第一、三象限，

1・m>l,

/•1-。>1+〃-19

.1

：・aV—.

2

(3)•.•y=m：2+〃x+i的顶点坐标为A(居k),

_n

••k—-itih+nh~^~1fa曰.h,

2m

又,二次函数y=x2+x+l也经过A点，

'.k—h2+h+l,

'.mh2+nh+l=h2+h+l,

m+1

又；-l<h<l,

-2或m>l.

【题目点拨】

本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合

思想是解决二次函数问题的有效方法.

22、(l)y=x2-4x+2；⑵点B的坐标为(5,7)；(1)NBAD和NDCO互补，理由详见解析.

【解题分析】

(1)由(1,1)在抛物线产上可求出a值，再由(-1,7)、(0,2)在抛物线产—+打+。上可求出从c的值，此

题得解；

(2)由A4DM和A5OM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点5的横坐标，再利

用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；

⑴利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、O的坐标，过点A作AN〃》轴，交BD于点、N,则NANO=NZ>CO,

根据点3、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标,

利用两点间的距离公式可求出54、BD、3N的长度，由三者间的关系结合NA3Z>=NNR4,可证出△A5Z>saNR4,

根据相似三角形的性质可得出NAN5=NZM3,再由NANB+NANZ)=120。可得出NZM8+NZ)CO=120。，即N5A。和

NZJCO互补.

【题目详解】

(1)当x=l时，y=ax2=l,

解得：a=l；

将(-1,7)、(0,2)代入y=x?+bx+c,得:

(l-b+c=7解得：仁3

Ic=2

二抛物线的表达式为y=x2-4x+2；

(2),..△ADM和△BDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：1,

二点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：1.

抛物线y=x2-4x+2的对称轴为直线x=-U=2，点A的横坐标为0,

...点B到抛物线的距离为1,

点B的横坐标为1+2=5,

...点B的坐标为(5,7).

(1)NBAD和/DCO互补，理由如下：

当x=0时，y=x2-4x+2=2,

点A的坐标为(0,2),

Vy=x2-4x+2=(x-2)2-2,

...点D的坐标为(2,-2).

过点A作AN〃x轴，交BD于点N,贝!|NAND=NDCO,如图所示.

设直线BD的表达式为y=mx+n(m/0),

将B(5,7)、D(2,-2)代入y=mx+n