2024年河南省南阳市唐河县九年级中考一模数学试题(含解析)

2024年中考模拟试卷（一）

数学注意事项：

L本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟.

2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上.答在

试题卷上的答案无效.

3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上.

一、选择题（每小题3分，满分30分）

1.一个数x的相反数的绝对值为3,则这个数是（）

A.3B.-3C.\-x\D.±3

2.原子是化学变化中的最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“千克例如：1

个氧原子的质量是2.657xl0-26kg.如果小数0.000…02657用科学记数法表示为2.657x102,

则这个小数中“0”的个数为（）

A.25个B.26个C.27个D.28个

3.下列运算正确的是（）

A.a2-a3=a4B.（加）2=°为3

222

C.（2a-b）=4a-2ah+hD.7^7TH

4.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视

5.如图，点4、B、尸在。。上，若/408=80。，则乙4PB的度数为（）

C.50°D.40°

6.如图，已知AABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,

则下列选项正确的是（）

7.若关于x的一元二次方程（用-1）/+而=1有两个实数根，则m的取值范围为（）

4

A.〃？>wB.小之0且m工1

4

C.m>0D.〃121且〃？工1

8.如图，若一次函数y=ax+匕的图象经过二、三、四象限，则二次函数y=的图象

可能是（）

x+5>2x+3

9.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

3x-2（x-l）>3

10.如图1,在菱形48co中，动点尸从点力出发，沿边运动到其一点后,再沿直线运

AP

动到点。停止，运动速度是每秒1个单位长度，设点P的运动时间为x（秒）,v=----,y

BP，

关于x的函数关系图象如图2所示，则〃?的值为（）

C.V3D.3

二、填空题（每小题3分，满分15分）

11.要使三有意义，则x的取值范围是—.

x+1

12.“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.若要

从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好

抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是.

13.某快递公司每天上午9:30-10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓

库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量N（件）与时间x（分）之间的函数图

象如图所示，那么从9:30开始，经过分钟时，当两仓库快递件数相同.

14.如图，在"BC中，=/C=6cm,NA4c=50。，以48为直径作半圆，交8c于点

D,交4C于点、E,则弧。E的长为cm.

E

D

15.如图，在矩形中，AB=4y/3,4)=4,取力。的中点已将线段4E绕点4旋转

得到线段NE',在旋转过程中，当时，BE'=

三、解答题(共8小题，满分75分)

16.(1)计算：V12-|l-

a2-2a+\(2〃)

(2)化简:a2-I1"a+lj

17.某公司为了解和提升两个销售小组的服务质量，在每个小组的客户中各随机抽取20人

开展了客户满意度问卷调查，客户满意度共5档，以分数呈现，从低到高依次为1分，2分,

3分，4分，5分，将调查结果进行整理、描述与分析，过程如下:

【数据整理与描述】

第一小组都分母形优汁图

【数据分析】

平均数众数中位数

第一组2.73

第二组3.253b

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表格中的,b=.

(2)若该公司第一小组有100名客户，第二小组有120名客户，请估计该公司客户对销售服

务质量满意度为3分的人数.

(3)对于两个销售小组的服务质量，请给出合理的评价和建议.

18.如图，在直角坐标平面内，函数产二(x>0,m是常数)的图象经过4(1,4),B(a,b),

x

其中过点力作x轴垂线，垂足为C,过点5作y轴垂线，垂足为。，连接40,DC,

CB.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若△48。的面积为4,求点E的坐标；

(3)求证：DCHAB.

19.快舟湖北交广号火箭发射成功(如图1),实现了2024年中国航天发射“开门红”.其发

射过程示意图如图2.火箭从地面4处发射，前10*以44m/s的平均速度竖直上升到达点氏此

时在雷达站P处测得的火箭仰角为6。.火箭再继续上升10s后到达C处，此时在雷达站尸

处测得的火箭仰角为51。.求火箭在段的平均速度.(参考数据：sin6°^0.10,

cos6°«0.99，tan6°»0.11,sin51°«0.78,cos51°«0.63,tan51°«1.235)

20.在。。中，AB=AC,连接SC.

(1)尺规作图：过点力作4O〃8C,交80的延长线于点。(不写作法，保留作图痕迹)；

⑵求证：力。为。。的切线；

(3)若力。=2,NDBC=2NABD,则。。的半径为.

21.为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目.学校

计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球

总数量比打折前多10个.

(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？

(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球.学校决定购买篮球和足球共50个，每个足

球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预

算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至

少需要再添加多少元？

22.掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖

直高度与水平距离一直在相应的发生变化.明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运

动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度歹(单位：米)的数据如表：

水平距离

024568

x/m

竖直高度

23.23.63.53.22

y/m

根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象

是二次函数的一部分.

(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是一米，实心球在空中的最大高度是一米;

(2)求满足条件的抛物线的解析式；

(3)根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距

离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理

由.

23.综合与实践

【问题情境】

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.

如图1,将•：矩形纸片43。沿对角线力C剪开，得到A8C和A/CO.并且量得

AB=2cm,AC=4cm.

【操作发现】

(1)将图1中的△48以点力为旋转中心，按逆时针方向旋转乙使=得到

如图2所示的V4O过点C作NC的平行线，与OC的延长线交于点E,贝加边形4CEC'

的形状是

(2)创新小组将图1中的△NCO以点4为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、/、。三点

在同一条直线上，得到如图3所示的V/CD,连接CC,取CC的中点尸，连接段并延长

至点G,使FG=/E,连接CG、CG,得到四边形4CGC',请你判断四边形4CGC'的形

状，并证明你的结论.

【实践探究】

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将“8C沿着8。方向平移,

使点8与点力重合，此时彳点平移至4点，HC与8c相交于点，，如图4所示，连接

CC,试求tanNC'CH的值.

参考答案与解析

1.D

【分析】本题考查相反数，绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可求解.

【详解】•.•一个数x的相反数的绝对值为3,即卜耳=3,

•••-x=±3,

:.x=±3.

故选：D.

2.B

【分析】根据科学记数法的定义还原出原来的小数，即可得出答案.

【详解】•••小数0.000...02657用科学记数法表示为2.657x10-26,

这个小数中“0”的个数为26个.

故答案是B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，绝对值小于1的数可以表示为±axl（T的形式，其中

〃为原数中第一个不是零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），

表示时关键是要正确确定。和〃的值.

3.D

【分析】A、根据同底数暴的乘法法则计算；B、根据积的乘方法则计算：C、根据完全平方

公式计算；D、根据二次根式性质化简.

【详解】解：A、原式=/,故错误，不符合题意；

B、原式故错误，不符合题意；

C、原式=4/_4"+〃，故错误，不符合题意；

D、原式=1。|,故正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了同底数辕的乘法、积的乘方、完全平方公式、二次根式性质，掌握

这几个知识点的综合应用是解题关键.

4.C

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可.

【详解】

解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”

中能看到侧棱，即看到的图形为口

故选C.

【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关

键.

5.D

【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行计算.

【详解】解：:乙408=80。，

ZJPB=-ZJO5=40°.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了同孤所对的圆周角与圆心角的关系,熟练掌握相关性质定理是解题的关

键.

6.B

【详解】解：.PB+PC=BC,PA+PC=BC,

；.PA=PB,

根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，

故可判断B选项正确.

故选B.

7.D

【分析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式求解即可.

【详解】解：(m—l)x2+y/mx-1=0»

•・•有两个实数根，

A=/>2-4ac=(\fni\-4(/??-1)(-1)>0»

4

解得A

l5-

•・・关于X的一元二次方程,

•••m/1,

4

•••mw且m¥1,

故选D.

【点暗】木题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决木题的关

键.

8.C

【分析】根据一次函数的性质判断出。、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口

方向与对称轴，然后选择即可.

【详解】解：•••y=6+b的图象经过二、三、四象限，

:.a<0,6<0,

••.抛物线开口方向向下，

••・抛物线对称轴为直线x=-3<0,

・•・对称轴在y轴的左边.

纵观各选项，只有C选项符合.

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数

的开口方向与对称轴，确定出。、6的正负情况是解题的关键.

9.C

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集,

进而在数轴上表示即可.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的

原则是解答此题的关键.

【详解】｝一2(1)>3②

解不等式①，移项，合并同类项得，-x>-2

系数化为1得，x<2；

解不等式②，去括号得，3x-2x+2>3

移项，合并同类项得，x>l

故不等式组的解集为：1<X«2.

・•・在数轴上表示为：・一什二I>.

0I2

故选：C.

10.B

【分析］根据图象判断出当切时，点尸在线段的垂直平分饯上运动，结合菱形求

出力。=1,AD=AB=2,然后利用勾股定理求出。0=6即可求解.

【详解】解：由函数图象可知，当iWxWm时，歹=1,此时力P=8尸，即点。在线段18的

垂直平分线上运动，

点尸的运动轨迹是先沿运动到43的中点。，再沿。。运动到点。，QD1AB,

如解图所示.则力。=1,AD=AB=2t

-DQ=>l22-l2=V3»

--AQ+DQ=yf3+\,

・••m的值为6+1.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判断，

判断出当14x4加时，点尸在线段AB的垂直平分线上运动是解答本题的关键.

11.1

【分析1根据分式的性质即可求解.

【详解】解；要使分式一：有意义，

x+1

需满足x+l#).

即对-1.

故答案为：原-1.

【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零.

12.-

6

【分析】根据列表法把可能出现情况列出来，再根据概率的计算公式即可得到答案.

【详解】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用力，B,C,D表示,根据题意,

列表如下.

ABCD

A—伊，⑷S)（。，⑷

B(4B)—(C，B)(O,B)

C(4C)(8,C)—(DC)

D(40（8,。）(G0—

由表，可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果有2种,

21

故P（恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票=-=

126

【点暗】本题考查了用列表法求概率，熟练掌握概率等于想要可能出现的结果数除以可能山

现的总结果数是解题的关键.

13.20

【分析】本题考查了一次函数的应用.利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量y

（件）与时间X（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案.

【详解】解：设甲仓库的快件数量v（件）与时间工（分）之间的函数关系式为

必=k}x+b1,

U=40

根据图象得，

60^+4=400'

勺二6

解得：

体=40'

必=6x4-40,

设乙仓库的快件数量P（件）与时间》（分）之间的函数关系式为必=内彳+a，

b=240

根据图象得,2

6叫+瓦=Q'

七=

解得:

a=240'

:.y2=-4x+240,

P=6x40

联u|y=_4x++240

经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，

故答案为：20.

545

14.—

66

【分析】连接力。，OD,OE,根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理,

弧长公式计算即可.

【详解】解：如图，连接40,OD,OE,

为直径，

•••ADJ.AB,

,AB=AC=6cm,ZBAC=50°,

：.BD=CD,ZBAD=ACAD=-ZBAC=25°,

2

："DOE=2NBAD=500,。£>=L/18=L4C=女m,

22

rnT'r&AI,、150x/TX35用/\

.••弧DE的长为-c=—(cm),

1oUo

故答案为：cm.

6

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一

性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键.

15.26或2M

【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形.

由旋转可得==又/力£0=90。，可得ND4£=6O。.分两种情况讨论①若

点E'在矩形力BC。的内部，过点V作于点F,根据矩形的性质可求得

4E'AB=4DAB—4DAE'=300,从而在RSZE户中，通过解直角三角形得到力f二,进

而得至I」BF=3y/3,因此根据勾股定理在RSBE'F中，即可求解BE，.②若点£在矩形ABCD

的外部，同①即可求解.

【详解】•.,点E是40的中点，

:.AE=—AD=—x4=2,

22

•••由旋转可得力E'=/1E=2

•••AEf±DE',

•••4£。=90。，

•••4£=2,4)=4,

…厂，AE121

.,.cosZ.DAE=,

4042

=60。，

/.AE'AB=NDAB-NDAE，=90°-60°=30°,

过点E'作E'FLAB于点F,

:"FA=/EFB=90。,

：.E,F=-AE,=-x2=\

22t

AF=jr-cosNE/F=2•cos30。=班，

♦：AB=46,

:.BF=AB-AF=46-Q=36,

.•.在RaBEF中，BE=IBF?+E'F?=石丫+f=2币.

②如图，若点£在矩形46co的外部，

过点作E'F工AB于点F,

.•.”=90。，

•••在矩形力SCO中，ZDJ5=90°,

Z.E'AF=180°-NDAB-NO/E'=180°—90°-60°=30°,

：.E,F=-AE,=-x2=\

22t

AF=AE,cosNE'AF=2•cos30。=百，

AB=4>/3,

••.BF=AB+AF=45+6=56

.•.在RaBEP中，BEf=ylBF2+E'F2=#司+12=2M.

综上所述，BE'=2币或2M.

16.(1)-2；(2)1

【分析】(1)先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数暴，特殊角的三角函数值，再合并

即可；

(2)先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果.

【详解】解：(1)疝一|1一6|-(；)-tan60°

=273+1-73-3-73

=—2；

a+\a(a-\)

_1

二7

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的混合运算，掌握以上

基础运算是解本题的关键.

17.(1)3,3

(2)估计该公司客户对销售服务质量满意度为3分的人数为83

(3)要重点提升第一小组的服务质量(答案不唯一)

【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，中位数、众数、平均数，掌握频率=鬻，中

位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提.

(I)根据中位数、众数的定义结合统计图进行计算即可；

(3)用100乘以第一组中3分所占的比例再加上用120乘以第二组3分所占的比例即可，

(4)根据第一组及第二组的相关数据，提出相应的建议即可.

【详解】(1)从扇形统计图可以看出，占比最多的是3分，所以第一组的众数是3,所以

a=3,

从条形统计图可以看出，第10、11位的学生得分均为3分，所以第二组的中位数是3,所

以6=3,

故答案为：3,3；

Q

(2)100x35%+120x—=83(名).

20

答：估计该公司客户对销售服务质量满意度为3分的人数为83.

(3)第二小组抽套的客户中满意度得分为1分的占比5%,而笫一小组抽查的客户中满意

度得分为1分的占比20%,因此要重点提升第一小组的服务质量.(答案不唯一)

44

18.(1)片一；(2)点8的坐标为(3,-)；(3)证明见解析.

x3

【分析】(1)函数y=%的图象经过A(1,4),可求m=4,则答案可求出，

X

I4

(2)由AABD的面积为4,即，(4--)=4,得a=3,则答案可求出；

2a

BEAE

(3)得出===且匕AEB=zCED,证明^AEB〜ACED,得出4ABE=4CDE,则

DECE

DCHAB.

【详解】(1)•.♦函数产”(x>0,阳是常数)图象经过4(1,4),

(2)设5。，AC交于点E,据题意,可得8点的坐标为(m-),。点的坐标为(0,-),E

aa

4

点的坐标为(1,一)，

va>l,

4

•■DB=a,AE=4~—.

,也ABD的面积为4,

亭(4-*

解得：0=3,

4

•••点8的坐标为(3,§)；

(3)据题意，点。的坐标为(1,0),DE=\.

'：a>1,

'-EC=—,BE=a-1,

a

4-1

BEa-\AE

：,=-a-1,=.a-a~1

DE1CE4

DECE

":UEB="ED,

：.MEBfCED,

:.乙ABE=£CDE,

'.DCWAB；

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形的面积，相似三

角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键.

19.火箭在8C段的平均速度为450m/s

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，根

AB440

据三角函数定义求出力尸==4000(m)

tanNBPA

AC=JPtan51°«4000x1.235=4940(m),根据速度公式求出

生=494。-44。=

1010

【详解】解：由题可知48=44x10=440.

设火箭在8C段的平均速度为口则BC=10v,

在RM/BP中，ZBPA=6°,

AR

•••tanZBPA=—

APf

AB440.、

AP=--------»----=40A0A0A(/ml,

tanZBPA0.11''

在RSAC尸中，ZCPA=510,

Ar

vtanZ.CPA=---

AP

^IC=/4P-tan51°«4000x1.235=4940(m),

BC4940-440,、

:.v=---=----------=450(m/s).

1010

答：火箭在5C段的平均速度为450m/s.

20.⑴图见解析

(2)证明见解析

⑶2

【分析】本题考查了圆的综合，作一个角等于已知角，切线的判定和性质及等腰三角形的判

定和性质等，熟悉相关的知识点是解题的关键，

(1)根据题意作NZX4C=NNa,然后连接8。并延长交于点。即可；

(2)连接力。并延长交8。于点“，连接NC,证明力M是线段8c的垂直平分线即可；

(3)证明N4OO=N4OO=45。即可.

【详解】(1)如图所示：即为所求

A

D

（2）如图：连接40并延长交6。于点M,连接0C,

•：AB=AC,OB=OCx

・••AM是线段BC的垂直平分线；

AM1BC；

•••AD//BCi

•••O414D；

.•.力。为。。的切线.

(3)设N/BO=x。，ZDBC=(2x)°；

；OA=OB；

NOAB=NABD=x0；

•••AD//BCx

.•.ZfiJD+ZJBC=180°；

即2x+x+无+90=180；

解得：x=22.5；

••ZDB=NDBC=450；

.•.400=400=45°；

:.AO=AD=2；

故答案为：2.

21.(1)打折前每个篮球的售价是120元

(2)不够用，该学校至少还需要再添加2000元

【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用.

(1)设打折前每个篮球的售价是、元，根据打折后购买的篮球总数量比打折前多10个列出

方程即可;

(2)根据题意列出总费用关于篮球个数的•次函数再求解即可.

【详解】(1)设打折前每个篮球的售价是x元，则打折后每个篮球的包：价是0.6x元,

1800驷;1。

由题意，得解得x=120

0.6x

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意

答：打折前每个篮球的售价是120元;

(2)设购买篮球机个，则购买足球(50-机)个

设购买50个篮球和足球的总费用为w元

由题意，得卬=120x0.6m+100x0.8(50—m)=一8〃?+4000

,/-8<0

•••w随着用的增大而减小

又•:m450xg=25

当m=25时，w取得最小值，最小值为一8x25+4000=3800

•••3800>1800

•••学校预算的1800元不够用

v3800-1800=2000(元)

该学校至少还需要再添加2000元.

22.(1)2,3.6

(2)JV=-0.1(X-4)2+3.6

(3)明明在此次考试中能得到满分，见解析

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系

数法求函数解析式及二次函数的性质解题.

(1)根据图表即可求解；

(2)设抛物线的解析式为y=通过图表求出抛物线的顶点，再代入(0,2)即可

求出解析式；

(3)把，=。代入N=~O.1(X-4)2+3.6,即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结

果.

【详解】(1)解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为％=0时y的值，

通过图表可得当x=0时，y=2,

得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，

由当x=2时，y=3.2；当x=6时，y=3.2,

可得对称轴为直线x=4,

则当x=4时，实心球在空中取得最大高度，

通过图表可得当％=4时，y=3.6f

得实心球在空中的最大高度是3.6米，

故答案为：2,3.6；

(2)解：设抛物线的解析式为

由(1)得抛物线的顶点坐标为(436),

则〃=4,&=3.6,

得抛物线的解析式为y=4)?+3.6,

把(0,2)代入，

得。(0-4)2+3.6=2,

解得4=-0.1,

:.抛物线的解析式为y=-0.1(x-4)2+3.6；

(3)解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：

把…代入y=-0.1(x-4)2+3.6,

W-0.1（x-4）2+3.6=0,

解得芭=10或当=-2（不符合题意，舍去），

V10>9.7,

,明明在此次考试中能得到满分.

23.（1）菱形；（2）四边形4CGC'是正方形，证明