2024年新高考数学一轮复习-数列的概念与表示（学生版）

专题36数列的概念与表示

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

【考点预测】

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列Hn+1@n

递减数列其中〃GN*

项与项间的

常数列3，n+1=3，n

大小关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式

如果数列｛aj的第〃项与它的序号二之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列

的通项公式.

4.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公

式.

【常用结论】

\Si,n—\,

L若数列｛a〃｝的前〃项和为S,通项公式为当,则a产、

⑸一ST,杉2.

fa”》a〃—iWa”—i,

2.在数列｛aj中，若为最大，贝lj若&最小，贝U

1<3/2/&?+1.13-n+1.

【方法技巧】

fSi,72=1,

1.已知S求为的常用方法是利用a=,。转化为关于2的关系式，再求通项公式.

[SnS-1,n--2,

2.S与关系问题的求解思路

方向1：利用劣=5—5一1522)转化为只含$,ST的关系式，再求解.

方向2：利用S—S-i=a.(〃>2)转化为只含4,a〃-i的关系式，再求解.

3.形如afuao+aA)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

4.形如=的递推关系式可化为-的形式，可用累乘法，也可用a〃=

<3/7

―2-,色」....—,2代入求出通项.

3，n—13.n—281

5.形如a〃+i=pa.+g的递推关系式可以化为(a“+i+x)=p(a〃+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式,

求变量x是关键.

Ao

6.形如4+1=五七(4B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

6a7十6

7.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有

关项的值或前〃项和.

8.求数列最大项与最小项的常用方法

(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利

用作差法.

fHz?2Hn-1，fW3，n-1，

(2)利用、(〃22)确定最大项，利用-(〃22)确定最小项.

二、【题型归类】

【题型一】由2与S的关系求通项

【典例1】(多选)设S是数列｛aj的前〃项和，且&=—1,an+i=S„Sn+i,则下列结论正确的是()

,1

A-a-=n(I)

—L77=L

B.<in—<1、

1

C.S=—

nn

D.数列］号是等差数列

【典例2］已知数列｛aj中，S是其前〃项和，且S=2a〃+1,则数列的通项公式z=.

【典例3】设数列｛aj的前〃项和为S,数列｛$｝的前〃项和为乙，满足，=2S—“GN+.

①求31的值；

②求数列｛&｝的通项公式.

【题型二】累加法

【典例1】在数列｛&｝中，@1=2,2+1=2+1!1（1+习，则为等于（）

A.2+lnnB.2+（〃-l）lnn

C.2+xlnnD.l+〃+lnn

【典例2】在数列｛a｝中，包=3,a+i=a+（则通项公式为=.

77（7?+1）

【题型三】累乘法

【典例1】已知数列｛a｝的前刀项和为S,其首项功=1,且满足3s=(刀+2)&,贝1|a=.

【典例2】已知ai=2,a+1=2”4,则数列｛a｝的通项公式an—.

【题型四】数列的单调性

【典例1】已知数列｛aj的通项公式为4若数列｛aj为递减数列，则实数"的取值范围为()

A.(3,+8)B.(2,+8)

C.(1,+8)D.(0,+8)

【典例2】等差数列｛a〃｝的公差d<0,且函=温，则数列｛aj的前〃项和S取得最大值时的项数〃的值为()

A.5B.6

C.5或6D.6或7

【题型五】数列的周期性

1-I-方

【典例1］若数列｛2｝满足国=2,2+1=产£则&侬的值为()

2-3

A.B.

C.1D.1

-2-3-

【典例2】已知数列｛a｝中，飨=1,/=2,且a•为+2=a+1(〃£N+),则<32020的值为()

A.2B.1

11

2-D.4-

三、【培优训练】

【训练一】已知各项均为正数的数列｛aj满足a〃+i—&=13,则低取最小值时，〃=()

A.3B.4C.5D.6

【训练二】(多选)若数列｛&｝满足@1=1,包=3,劣劣―2=4-1(〃23),记数列｛a｝的前刀项积为北，则下列

说法正确的有()

A.北无最大值B.a有最大值

C.72023-1D.a，2023—1

【训练三】设数列｛2｝的前〃项和为S,满足s=(—1)3+^,则S+W+W等于()

17521

A.0B.-C.-D.—

b464b4

【训练四】意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,

13,21,34,55,即F(1)=F(2)=1,/(〃)=尸(〃-1)2)(〃23,〃GN*),此数列在现代物理、

准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列｛aj,则数列｛品｝

的前2020项的和为()

A.672B.673

C.1347D.2020

【训练五】若数列｛&｝满足：对于任意正整数〃，｛a〃+i—aj为单调递减数列，则称数列｛aj为“差递减数

列”.给出下列｛aj(〃eN*),其中是“差递减数列”的有()

=

A.S/?—3z?B.o.n'n+1

C.S/?—A/T?D.5/j--Inj~r

，n+1

n

【训练六】设数列｛a｝的前〃项和为S.已知&=z(aW3),an+i=Sn+3,〃金N*.

(1)设4=S—3〃，求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a+12&,/?£N*,求3的取值范围.

四、【强化测试】

【单选题】

1.数列3,6,12,21,x,48,…中的x=()

A.29B.33

C.34D.28

2.已知数列｛&｝满足：V如N*,都有劣•a=&+〃，且石产看那么戊=()

1111

A.记B-C.-D.-

3.在数列｛&｝中，是"数列｛aj为递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知递增数列｛aj,a会0,ai=0.对于任意的正整数n,不等式廿一点一3t—3aW0恒成立，则正数t

的最大值为()

A.1B.2

C.3D.6

5.数列｛劣｝满足d=1,对任意〃£N*,都有4+1=1+&+〃，则--=()

<318<399

99

A.-B.2

98

9999

r—D—

50100

6.己知数列｛aj满足皿=刍=2,4=20,则刍的最小值为()

nn

A.4小B.4-75-1

C.8D.9

7.在各项均为正数的数列｛aj中，对任意见〃dN*,都有“〃=aja〃.若a=64,则ag等于()

A.256B.510C.512D.1024

8.已知数列｛aj的前〃项和为S,且满足4(〃+1)•(S+l)=5+2)'a.,则数列｛&｝的通项公式为()

A.(2/?+1)2-1B.(2z?+l)2

C.8nD.5+1)3

【多选题】

9.下列四个命题中，正确的有（）

A.数歹”与的第4项为1+"

B.已知数列｛&｝的通项公式为％=—一〃-50,〃GN*,则一8是该数列的第7项

C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为2=2"-1

77

D.数列面｝的通项公式为a-干，〃GN*,则数列｛a.｝是递增数列

10.若数列｛aj满足：对任意正整数〃，匕大一%｝为递减数列，则称数列｛aj为“差递减数列”.给出下列

数列｛d｝（aGN*）,其中是“差递减数列”的有（）

A.a„=3nB.a〃=//+l

n

C.an='\j~nD•cLn~~1nj~~T

n+1

面一9〃+2

11.已知数列｛aj的通项公式为为（〃GN*）,则下列结论正确的是（）

9T72-1

27

A.这个数列的第10项为三

97

B.而是该数列中的项

C.数列中的各项都在区间(，1)内

D.数列｛aj是单调递减数列

12.对于数列｛aj,若存在数列｛4｝满足4=a〃一L(AGN*),则称数列伉｝是｛aj的“倒差数列”，下列关于

a?

“倒差数列”描述正确的是()

A.若数列｛a.｝是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列

B.若品=3〃一1,则其“倒差数列”有最大值

C.若a=3〃一1,则其“倒差数列”有最小值

D.若&=1—1―则其“倒差数列”有最大值

【填空题】

13.已知数列｛2｝的首项a1=1,前刀项和为S,且满足2&+I+S=2(T?£N*),则数列｛a｝的通项公式为=

14.已知数列｛a｝的通项公式为=万7，若为•切..aWa•a2.....为对〃£N*恒成立，则正整数k的值

为.

15.设数列｛a｝的前〃