安徽省合肥市庐江第三中学2025届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

安徽省合肥市庐江第三中学2025届高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项2．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．若,,则的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若，，则()A． B． C． D．5．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为A．8 B．12 C．16 D．206．变量满足，目标函数，则的最小值是（）A． B．0 C．1 D．-17．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则D．若a2>b2且ab>0，则8．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：显然与之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为()A． B．C． D．9．若圆心坐标为的圆,被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．10．已知角的终边经过点，则（）A． B． C．-2 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列的前项和为，且，，则；12．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．13．若圆弧长度等于圆内接正六边形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为________.14．如图所示，已知，用表示.15．函数的最大值为．16．如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则______，_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点、、（），且.（1）求函数的解析式；（2）如果当时，两个函数与的图象有两个交点，求的取值范围.18．已知圆：和点，，，.(1)若点是圆上任意一点，求；(2)过圆上任意一点与点的直线，交圆于另一点,连接，，求证：.19．正项数列：，满足：是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列.（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．设等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列的前项和.21．高二数学期中测试中，为了了解学生的考试情况，从中抽取了个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60),[90,100]的数据）.(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90,100]内的概率．.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（不合题意），所以是数列的第8项，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2、D【解析】

因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D．3、B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的终边所在的象限为第二象限，故选B.考点：三角函数4、D【解析】

利用集合的补集的定义求出的补集；利用子集的定义判断出．【详解】解：，，，，故选：．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．5、B【解析】

先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.【详解】由题得侧面三角形的斜高为，所以该四棱锥的全面积为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、D【解析】

先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，

平移直线，显然直线过点时，最小，

由，解得：

∴最小值，

故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．7、C【解析】

根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．【详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．故选：C．【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.8、D【解析】

求出样本数据的中心，代入选项可得D是正确的.【详解】，所以这组数据的中心为，对选项逐个验证，可知只有过样本点中心.【点睛】本题没有提供最小二乘法的公式，所以试题的意图不是考查公式计算，而是要考查回归直线过样本点中心这一概念.9、B【解析】

设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案．【详解】由题意，设圆的方程为，则圆心到直线的距离为，又由被直线截得的弦长为，则，所以所求圆的方程为，故选B．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、B【解析】按三角函数的定义，有.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=1．故答案为1．12、【解析】

根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为，高为则球的半径:正四棱柱的侧面积：球的表面积：当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.13、1【解析】

根据圆的内接正六边形的边长得出弧长，利用弧长公式即可得到圆心角.【详解】因为圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，所以圆弧长所对圆心角的弧度数为1.故答案为：1【点睛】此题考查弧长公式，根据弧长求圆心角的大小，关键在于熟记圆的内接正六边形的边长.14、【解析】

可采用向量加法和减法公式的线性运算进行求解【详解】由，整理得【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键在于将所有向量通过向量的加法和减法公式转化成基底向量，属于中档题15、【解析】略16、3.5.【解析】

根据茎叶图,将两组数据按照从小到大顺序排列,由中位数和平均数相等,即可解得的值.【详解】甲乙两组数据的中位数相等,平均数也相等对于甲组将数据按照从小到大顺序排列后可知,中位数为65.所以乙组中位数也为65.根据乙组数据可得则由两组的平均数相等,可知两组的总数也相等,即解得故答案为:;【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用,由茎叶图求中位数和平均数,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据向量坐标以及向量的数量积公式求出，利用辅助角公式即可求的解析式；（2），求出的范围，令，，则画函数图象，由两个函数与的图象有两个交点，建立不等关系即可求的值．【详解】解：（1），，，，，则，即；（2）因为，，令，，则画函数图象如下所示：，要使两个函数与的图象有两个交点，则，，解得解得．【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的数量积公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．18、(1)2(2)见证明【解析】

（1）设点的坐标为，得出，利用两点间的距离公式以及将关系式代入可求出的值；（2）对直线的斜率是否存在分类讨论。①直线的斜率不存在时，由点、的对称性证明结论；②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，通过计算直线和的斜率之和为零来证明结论成立。【详解】（1）证明：设，因为点是圆上任意一点，所以，所以，（2）①当直线的倾斜角为时，因为点、关于轴对称，所以.②当直线的倾斜角不等于时，设直线的斜率为，则直线的方程为.设、，则，.，，.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查两点间的距离公式、韦达定理在直线与圆的综合问题的处理，本题的关键在于将角的关系转化为斜率之间的关系来处理，另外，利用韦达定理求解直线与圆的综合问题时，其基本步骤如下：（1）设直线的方程以及直线与圆的两交点坐标、；（2）将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理；（3）将问题对象利用代数式或等式表示，并进行化简；（4）将韦达定理代入（3）中的代数式或等式进行化简计算。19、（1）84；（2）1033；（3）存在，【解析】

（1）由题意可得：，即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；可得的值；（2）由题意可得，故有；即，即必是2的整数幂，要最大，必需最大，，可得出的最大值；（3）由是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，可得与，可得k与m的方程，一一验算k的值可得答案.【详解】解：（1）由已知，故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；此时（2）是首项为2，公差为2的等差数列，故，从而，而首项为2，公比为2的等比数列且，故有；即，即必是2的整数幂又，要最大，必需最大，，故的最大值为，所以，即的最大值为1033（3）由数列是公差为的等差数列知，，而是公比为2的等比数列，则，故，即，又，，则，即，则，即显然，则，所以，将，代入验证知，当时，上式右端为8，等式成立，此时，综上可得：当且仅当时，存在满足等式【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列、等比数列前n项的和，属于难题，注意灵活运用各公式解题与运算准确.20、（1）（2）【解析】

（1）求出公差，由公式得通项公式；（2）由（1）求出，计算公比，再由等比数列前项和公式得和．【详解】（1）在等差数列中，，故设的公差为，则，即，所以，所以.（2）设数列的公比为，则，所以.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项和公差（或公比），则数列的通项公式与前项和随之而定．