经济数学微积分 第4版 教案 第3、4章 一元函数积分学、多元函数微积分学

第3章一元函数积分学第3章不定积分、定积分及其应用本章知识结构导图一、教学要求1、理解不定积分的概念及性质.2、掌握不定积分的基本公式.3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.4、理解定积分的概念和性质.5、掌握变限积分的求导公式，熟练掌握定积分的N-L公式.6、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.7、了解反常积分和函数的定义，会计算反常积分.8、掌握利用元素法解决定积分的几何应用.9、掌握定积分在经济学中的简单应用.二、教学重、难点1、教学重点：不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、定积分的几何应用、定积分在经济学中的简单应用.2、教学难点：换元积分法、定积分的概念、反常积分和函数、定积分的几何应用.三、教学内容及课时划分3.1不定积分的概念与性质3课时3.2不定积分的换元积分法4课时3.3不定积分的分部积分法2课时3.4定积分的概念和性质3课时3.5微积分基本定理2课时3.6定积分的换元积分法与分部积分法2课时3.7反常积分2课时3.8定积分的几何应用与经济应用4课时习题课4课时计26课时§3.1不定积分的概念与性质教学目的：1、了解原函数与不定积分的概念2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式.教学重难点：1、重点：原函数与不定积分的概念.2、难点：原函数的求法.教学课时：3教学过程：一、问题的引入我们有时需要解决与求导数（或微分）相反的问题,即已知函数的导数（或微分）,求其函数本身．例如，已知曲线在处切线的斜率是函数在该点的导数值,即．但是,如果已知某曲线在处的切线斜率为,求该曲线的方程,就是一个与求导数相反的问题．二、原函数与不定积分的概念【定义1】设函数定义在区间上,如果存在一个函数，对任意的,都有或那么称为在上的一个原函数.例如:,故是在上的一个原函数;而,故是在上的一个原函数．然而,,等都是的原函数,于是,需要考虑以下两个问题:已知函数应具备什么条件才能保证它存在原函数？如果存在原函数,那么它的原函数有几个？相互之间有什么关系？【定理1】（原函数存在定理）如果函数在某区间上连续,则在上一定存在原函数．如果函数是的一个原函数,则有无限多个原函数,且就是的所有原函数（称为原函数族）.【定义2】若函数是的一个原函数,则把的全体原函数称为的不定积分,记作,即．其中叫积分号,叫被积函数,叫被积表达式,叫积分变量．【例1】求．【解】由于,所以,是的一个原函数,因此．【例2】计算不定积分．【解】因为,所以.【例3】求不定积分．【解】当时,,所以;当时,,所以,由绝对值的性质有:,从而．【例4】求在平面上经过点,且在任一点处的斜率为其横坐标的三倍的曲线方程．【解】设曲线方程为,由于在任一点处的切线斜率,则有,即．又由于曲线经过点,得,所以【例5】某工厂生产某产品,每日生产的总成本的变化率（边际成本）是,已知固定成本为元,求总成本．【解】因为,所以．又已知固定成本为万,即当时,,因此有,从而有．即总成本是．三、不定积分的性质【性质1】或.【性质2】或.【性质3】（其中,即非零常系数可以移到积分号之前）.【性质4】（即若干个函数代数和的不定积分,等于若干个函数不定积分的代数和）.四、不定积分的基本公式由于不定积分是导数的逆运算,由第二章的导数公式,我们得到以下基本积分公式:（1）（2）（3）（）（4）（5）（且）特别（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）【例6】求.【解】【例7】求.【解】有些函数看上去不能利用基本公式和性质进行直接积分,但经过化简或恒等变形,也可以直接进行积分.【例8】求.【解】.【例9】求.【解】.【例10】求．【解】原式.【例11】求.【解】因为,所以.【例12】求．【解】因为,所以,原式.在以上函数的变形中,三角函数的恒等变换是比较灵活的,一定要先掌握好一些常用的三角恒等变换公式.【例13】求.【解】.有兴趣的同学还可考虑:,等.五、小结本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用.六、作业习题3.1，1（1）（3）（5）（7）、2、3、4§3.2不定积分的换元积分法教学目的：1、理解换元积分法的基本思想；2、掌握不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法，有理函数积分方法教学重、难点：1、重点：不定积分的第一类换元积分法、第二类换元积分法,有理函数的积分2、难点：有理函数的部分分式，不定积分的第二类换元积分法.教学课时：4教学过程：利用积分基本公式和性质可以计算的不定积分只是一小部分,更多的需要用变量代换的思想，将不能利用基本积分公式的不定积分转化为可以利用基本积分公式的形式，这种方法称为换元积分法.具体有两种类型：第一类换元积分法和第二类换元积分法.一、第一类换元积分法（凑微分法）【定理】若,则有,其中有连续的导数.【证明】由于,则．令,原式=．运用该定理时，主要化为,所以这种换元积分法也称为凑微分法．【例1】求（为常数）．【解】联想公式原式．【例2】求．【解】联想公式,原式．【例3】求．【解】因,原式．【例4】求.【解】因,又由于,原式.【例5】求.【解】因为,原式.【例6】求.【解】已知,原式.请思考:,.【例7】求.【解】因为,所以原式.请思考:,,.【例8】求.【解】因为,原式请思考:,.【例9】求.【解】原式【例10】求.【解】因为,所以原式.请思考:,,,.【例11】求.【解】原式=请考虑:,.【例12】求.【解】类似可得有理函数的积分按照分母中因式的情况，将真分式拆成以的所有因式为分母的简单真分式之和，这种方法就称为部分分式法.部分分式的目的在于方便利用基本积分公式进行积分.根据分母中因式的情况，真分式的部分分式的形式主要有两种:当分母中含有因式时，部分分式所含的对应项为当分母中含有因式，其中时，部分分式所含的对应项为可以看到，部分分式中分母为一次因式的分子为常数，而分母为二次因式的分子为一次因式，其中分子中的待定系数可以通过分式相等求出.【例13】求【解】设，由分式相等，得,,于是所以【例14】求 【解】设由分式相等，得解得所以三、第二类换元法在第一类换元法中,作变换,把积分变成后再直接积分.而有些函数需要作以上相反的变换,令,把化成的形式以后再进行积分运算.【定理】设单调可导,且,又设具有原函数,则有.1.根式代换当被积函数中含有的形式,我们可以直接令或【例15】求.【解】令,则,原式.【例16】求.【解】令（和的最小公倍数）,则,原式2.三角代换当被积函数中含有时,使用根式代换是无效的,为了去根号,我们采用三角代换.【例17】求.【解】令,则,,于是原式为了将变量还原成,按原变换作一辅助三角形则,,,原式一般常用的三角代换有下列三种:(1)被积函数中含有,令（)；(2）被积函数中含有,令（）；(3）被积函数中含有,令（）.【例18】求.【解】令,则,,于是原式,再作辅助三角形,原式．【例19】求【解】当时，令（）,则,原式=,按变换,作辅助三角形原式．当时，令，原式=所以，原式=3.倒代换在被积函数的分母中如果含有，也常利用倒代换（即令）来消去分母中的变量因子.【例20】求.【解】令，则，于是当时，，当时，，所以4.其他代换【例21】求【解】设，则，，于是四、小结本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法，以及有理函数的积分.第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即，与，分别适用于三类函数，与.在利用三角代换进行换元积分将积分变量还原为原积分变量时要借助于辅助三角形.五、作业习题3.22（1）（3）（5）（7）（9）（11）（15）2（18）（20）（23）（25）（30）（31）（32）§3.3不定积分的分部积分法教学目的：1、理解不定积分的分部积分法的思想2、掌握分部积分法方法及类型教学重难点：1、重点：不定积分的分部积分法2、难点：分部积分法中与的选取教学课时：2教学过程：一、分部积分法设具有连续的导数,则由微分法有两边积分得或该方法主要作用是把左边的不定积分转化为右边的不定积分,显然后一个积分较前一个积分要容易,否则,该转化是无意义的．如果被积函数仅为一种函数，可以直接运用分部积分公式计算.【例1】求【解】选，由公式【例2】求【解】选,由公式当被积函数是两个不同类型函数的乘积时，需要将某个函数看成，而将另一个函数与自变量的微分结合成为，然后利用公式计算.使用分部积分法的常见题型中和的选取方法：(1)，，等，选；(2)，，等，选；(3)，等，和的选取任意.【例3】求．【解】选,,原式＝(利用上式结果)＝.【例4】求.【解】选,原式.【例5】求.【解】因为,所以选,原式【例6】求.【解】选,原式.【例7】求.【解】选,原式,同理,所以,移项后得,于是有.本题在运算过程中又出现待求的算式，称这种方法为还原法.【例8】求【解】选，得移项得，所以有些不定积分运用单一的积分方法还不行，有时需要运用几种积分方法.【例9】【解】设，则二、作业习题3.31（1）（3）（5）（7）（10）（15）(16)2§3.4定积分的概念和性质教学目的：1、理解定积分的定义，掌握定积分的几何意义和经济意义2、掌握定积分的性质教学重、难点：1、重点：定积分的概念的形成和定积分的几何意义，定积分的性质2、难点：用定积分定义求定积分，定积分大小的估计、比较、定积分中值定理教学课时：3教学过程：在上一章,我们研究了积分学的第一类问题,即求原函数的问题．本章,我们将研究积分学中的第二类问题——定积分．定积分的概念最早是在研究平面图形的面积、变速直线运动物体的运动距离以及变力做功等问题中产生的．一、问题的引入问题1:曲边梯形的面积设在上连续,我们称由直线及曲线所围的图形为曲边梯形的面积A（如图）下面我们研究曲边梯形面积的计算方法.（1）分割：将区间分割成个小区间并作垂线,把整个曲边梯形分成几个小的曲边梯形（如图）（2）近似：在上任取一点,用第个小矩形的面积近似表示第个小曲边梯形的面积（3）求和：求曲边梯形面积的近似值．当个区间分割都很细时,把个小矩形的面积之和作为的近似值:（3）取极限，求的实际值．取，当时,和式的极限存在,且与的取法及区间的分割无关,则称此极限值为曲边梯形的面积,即问题2：总产量的变化率为变化时的总产量．当总产量对时间的变化率（即边际产量）为常量时,总产量等于变化率乘以时间.现在设总产量的变化率是时间的函数,求时间从到的总产量．（1）分割：将时间区间分成几个小区间,记其长度为,在上任取一点,则为时间段的生产量的近似值.（2）近似、求和：当分割越细,上式的近似程度就越好．（3）取极限：取，当时,上式的极限存在,且与区间的分割和的取法无关,我们就称该极限值为中的总产量,即从上面两个问题看出,虽然它们是两个截然不同的问题,但解决问题的方法和计算形式都是想同的,即都是一个和式的极限．二、定积分的定义【定义】设函数在上有界,在之间任意插入个分点,把分成个小区间,即记为第个小区间的长度,在小区间上任取一点,作和式．记,若当时,极限存在,且与分点及的取法无关,我们就称在区间上是可积的,并把该极限值称为在上的定积分,记作．即:其中,称为被积函数,称为积分变量,称为被积表达式,为积分区间,为积分下限,为积分上限,称为积分号．【注】1.定积分的结果是一个数值,这个数值的大小只与被积函数及区间有关,与区间的分法及的取法无关.2.定积分与积分变量用什么字母也无关,即3.定积分定义中，积分下限总是小于积分上限.从数学的角度看，这种限制没有必要.为了以后计算的方便，现对和两种情况作如下补充规定：1）当时，；2）当时，.这样，无论的大小关系如何，都有意义.3.定积分存在的条件设在上有定义,若下列条件之一成立,则在上可积:（1）在上连续;（2）在上只有有限间断点,且有界;三、定积分的几何意义与经济意义1.定积分的几何意义由定义,在上当非负时,在几何上表示曲线与直线、及轴所围曲边梯形的面积．而在上,当时,在上与轴围的图形在轴的下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．在上当要变号时,定积分的几何意义为:介于轴,曲线及直线之间的各部分面积的代数和．2.定积分的经济意义如果已知某一经济量的变化率为,则其定积分表示的是在这一阶段的经济总量的变化量．如设总收入关于产量的变化率为,则的意义是:当产量从变化到时的总收入的变化量．【例1】求由曲线所围成平面图形的面积.【解】由定积分的几何意义知只需计算即可因为在上连续,由定理2,在上可积.将分成等份,于是各分点为,各小区间的长度为,取,从而.此时,所以,由定义1四、定积分的性质假设函数在所考虑的区间上可积．【性质1】,特别地有.【性质2】被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即【性质3】两个函数代数和的定积分,等于它们定积分的代数和,即【性质4】设,则有该性质称之为对积分区间的可加性．利用性质1,可以证明:无论的位置如何,上式都成立．【性质5】若在上,,则．【推论1】若在上,恒有,则.【性质6】设在上有最大值和最小值,则有．上式称之为定积分的估值不等式．【性质7】（定积分中值定理）若在上连续,则在上至少有一点,使得下式成立:【例2】比较积分值和的大小.【解】设，，，在[0,1]上单调递增，，所以，∴【例3】估计的值.【解】在上单调递增，最大值，最小值即【例4】估计的值.【解】分析：先求最大、最小值——求驻点（）二、小结1.重述定积分的定义；注意定义的两个“任意”；涉及对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分.2.掌握定积分的几何意义.3.熟练掌握定积分的性质及其应用.三、作业习题3.42（1）（3）、3、5（1）（3）（5）、6（1）（3）§3.5微积分基本定理教学目的：1、掌握积分上限的函数及其导数2、掌握微积分基本公式及其应用教学重点、难点：1、重点：微积分基本公式的应用2、难点：积分上限函数的导数教学课时：2教学过程：一、变上限的定积分与原函数存在定理【定义】设在上可积,则对任意的,在上可积,于是,存在,由于任意给定一个,有一个积分值与之对应,该值是积分上限的函数,所以,可以记，称为积分上限函数积分上限函数的几何意义如图：【定理】（原函数存在定理）若在上连续,则.【证明】略.二、牛顿——莱布尼兹公式【定理】（定积分的基本定理）设在上连续,是在上的任一个原函数,则有.【证明】略.这个定理将积分学中的两个重要概念不定积分与定积分联系到了一起,并把求定积分的过程大大简化了,所以,称之为微积分基本定理.同时,它是由牛顿和莱布尼兹各自单独创立的,故又称牛顿—莱布尼兹公式．【例1】求．【解】因在上连续,且是它的一个原函数,所以【例2】求【解】因为所以,原式=在利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分时,一定要注意被积函数在积分区间中是否满足可积条件．【例3】计算曲线在上与轴所围图形的面积．【解】由定积分的几何意义,有【例4】求．【解】原式【例5】设，求在内的表达式.【解】当时，当时，当时，所以积分上限函数的性质根据复合函数的求导法则，可得（1）（2）【例6】求．【解】因为在上连续,由定理有．【例7】求极限.【解】此式为的未确定型,利用洛必达法则:原式【例8】求关于的导数．【解】因为=,有三、小结1、积分上限函数的导数2、N-L公式四、作业习题3.51（1）（4）（7）、2（1）（3）（5）、3（2）、5§3.6定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：1、掌握定积分的换元积分法2、掌握定积分的分部积分法教学重、难点：重点：熟练运用换元积分法和分部积分法难点：灵活运用换元法和分部积分法教学课时：2教学过程：计算定积分的关健是要找一个原函数,而原函数问题在上一章已解决,为今后计算上的方便,在此,进一步介绍定积分的换元法和分部积分法.一、换元积分法【例1】求．【解】令,有,且当时,当时,于是．【例2】求．【解】令,有与,且当时,当时,所以．【例3】求．【解】令,即,,且当时,当时,所以．请读者体会以上各种解法的步骤,并比较它们的优劣,在计算中采用何种方法,完全按函数的特点和解题的习性而定．请思考:,.【例4】设在对称区间上连续，证明=1\*GB3①如果为奇函数，则;=2\*GB3②如果为偶函数，则.【证明】对于,令,则,且当时,当时,所以当为奇函数,则有当为偶函数,则【例5】求．【解】因为和都是奇函数,所以原式．【例6】若在连续,证明．【证明】设,则,且当时,当时,所以左边右边．二、分部积分法【定理】设函数,在上有连续的导数,则有定积分的分部积分公式:.引导观察书中图示进行证明.【例7】求．【解】原式【例8】求．【解】（取）【例9】设,求.【解】.由已知条件得,,即.因,从而有,即.【例10】证明定积分公式【证】由此可得递推公式，继续使用递推公式，可得当为偶数时，当为奇数时，而所以三、小结1、定积分的换元积分法2、定积分的分部积分公式四、作业习题3.61（1）（3）（5）（7）（9（11）、2（1）（3）、3（1）§3.7反常积分教学目的：1、理解无穷区间上的反常积分的定义及计算2、理解无界函数反常积分的定义及计算3、了解函数的定义与计算教学重、难点：1、重点：利用反常积分的定义计算2、难点：无界函数的反常积分、函数的计算教学课时：2教学过程：一、无穷限反常积分【定义】设函数在区间上连续，取，在上可积，则称为函数在无穷区间上的反常积分.如果极限存在,那么称反常积分收敛；否则，称反常积分发散.类似地,可以定义函数在无穷区间上的反常积分.设函数在区间上连续，称为函数在无穷区间上的反常积分（其中为任一常数，常取），当且仅当和都收敛时，反常积分收敛.否则，就称反常积分发散.=+=+这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散。【例1】计算反常积分,【解】【例2】计算广义积分.【解】【例3】证明广义积分当时收敛；当时发散。【证明】当时，=当，故命题得证。二、无界函数的广义积分如果函数在点的任一邻域内都无界，那么点称为函数的瑕点，无界函数的反常积分又称为瑕积分。【定义】设函数在上连续，且，取，称为函数在上的反常积分.如果极限存在，则称反常积分收敛.否则，称反常积分发散.类似地，可以定义函数在上的反常积分.设函数在上除点外连续，而在点的邻域内无界，即当且仅当反常积分与都收敛时，反常积分收敛.否则，就称广义积分发散。【例4】计算广义积分（）【解】====【例5】讨论广义积分的收敛性【解】===故所求广义积分发散。【例6】证明广义积分当时收敛；当时发散。【证明】当，发散当=故命题得证。三、函数下面讨论一个在概率论中要用到的积分区间无限且含有参变量的积分。【定义】含参变量()的反常积分，称为函数.可以证明这个积分是收敛的。函数的性质（1）()；（2）（3）（).证（1）这是一个递推公式。利用此公式，计算函数的任意一个函数值可化为求函数在上的函数值。例特别地，当为正整数时可得 这是因为 而所以【例7】计算下列各值：(1)(2)【解】(1)(2)【例8】计算下列积分：(1)(2)【解】(1)(2)令于是而（【注】这个结果将在第四章中进行验证）所以四、小结1、无穷限反常积分的定义及求法2、无界函数反常积分的定义及求法3、函数的性质及计算五、作业习题3.71（1）（3）（4）（8）、2（2）、3§3.8定积分的几何应用与经济应用教学目的：1、理解和掌握定积分的元素法，2、会用元素法计算平面图形的面积、立体的体积.3、会用定积分解决经济学中的应用问题.教学重点、难点：1、重点：元素法的思想，直角坐标系下平面图形面积计算、定积分在经济学中的应用2、难点：立体体积的计算教学课时：6教学过程：一、元素法1．写出计算的定积分表达式步骤(1)根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；(2)设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，求出它所对应的部分量的近似值(为上一连续函数)则称为量的元素，且记作。(3)以的元素作被积表达式，以为积分区间，得这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式称此法为微元法。2．能用定积分计算的量，应满足下列三个条件(1)与变量的变化区间有关；(2)对于区间具有可加性；(3)部分量可近似地表示成。二、平面图形的面积问题1：设平面图形是由曲线和直线所围成（），且在上，求它的面积.（型）取为积分变量，其变化区间，在中任取小区间[]，该区间上的图形面积近似等于高为、底为的矩形面积，因此面积元素，所求围成图形的面积：.两个特例更一般的情况：问题2：设平面图形是由曲线和直线所围成且在[c，d]上，求它的面积.（型）所求图形的面积:【例1】求曲线在上与轴所围图形的面积【解法1】．【解法2】．【例2】求曲线及直线,所围图形的面积【解】曲线与直线之间的交点坐标分别是,和,于是通过计算我们可以发现,用定积分求平面区域的面积的主要步骤是:①作图,确定图形的类型②确定变量的上下限，列出面积表示式;③求定积分的值.【例3】求所围平面区域的面积【解】在区域中,的最小和最大取值分别是0和1,在上任作一条平行于轴的直线,该直线与区域边界上、下交点分别在直线和曲线上,所以【例4】求及直线所围平面图形的面积【解】曲线之间交点坐标分别是和,如果在中,作平行于轴的直线,则下边界有两条曲线和,我们采用两种分法求解．方法一、（型——关于求积分）用直线把原域分成左、右两块,则由情况（1）的讨论,有;方法二、（型——关于求积分）我们可以把边界曲线表示成和,在区域上的最小、最大取值分别是和,左、右边界函数分别是和,于是．可以让学生比较两种解法的优劣,得出结论：将图形看成型或型对计算的繁简有影响。并考虑:由曲线所围图形的面积.三、立体的体积1、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积.取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积.即：体积元素为，所求的旋转体的体积为【例5】一喇叭可视为由曲线，直线以及轴所围成的图形绕轴旋转所成的旋转体，求此旋转体的体积.【解】取为积分变量，则【例6】求由曲线所围成的图形绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积.【解】草图求交点得两顶点绕轴：绕轴：2、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法) 由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.取定轴为轴，且设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内，以表示过点且垂直于轴的截面面积.取为积分变量，它的变化区间为.立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积.即：体积元素为，于是，该立体的体积为【例7】计算椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积.【解】这个旋转体可看作是由上半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体.在处，用垂直于轴的平面去截立体所得截面积为可考虑若由右半椭圆绕轴旋转所得旋转体的体积.三、定积分在经济中的应用由定积分的经济意义知道,已知某一经济量的边际函数为,则定积分是关于在区间上的该经济的总量．1.由边际函数求原函数【例8】某企业生产一种产品,每天生产吨的边际成本为（万元）,固定成本5万元,求总成本函数及产量从开始到10吨时的总成本．【解】总成本函数,由于固定成本为5万元,即,所以,（万元）;当产量从开始到10吨时的总成本为:（万元）．由变化率求变化区间上的增量【例9】已知生产某产品单位总收入的变化率为（万元／单位）,试求（1）生产单位时的总收入及平均单位收入;（2）求生产2000个单位时的总收入和平均单位收入．【解】（1）总收入函数,由于,所以,此时的平均单位收入;（2）当生产2000个单位产品时的总收入为:（万元）,此时平均单位收入为:（万元）．3.由边际函数求最大利润【例10】设生产某产品的固定成本为,而当产量为时的边际成本,边际收入,试求:（1）总利润函数;（2）总利润最大的产量．【解】（1）设总利润函数为,则,且,于是,总利润函数,由于时,（固定成本）,所以,．令,得到且,所以,当产量为个单位时,利润最大,此时,最大利润为．4.资本现值与投资问题在第1章1.7节中介绍过复利问题和贴现问题.设有元货币，若按年利率作连续复利计算，则年后的价值为元；反之，若年后要有货币元，则按连续复利计算，现在应有元，称为资本现值（或现值）.现设在时间区间内时刻的收益率（表示单位时间的收益）为，若按年利率作连续复利计算，求在内获得的总收益的现值.用微元法.在时间区间内任取时间区间，由资本现值的概念，在内的收益现值近似等于，于是，总收益现值微元为所以在内获得的总收益的现值为【例11】某投资公司向一企业投资800万元，年利率为5%，在20年中每年将获得收益200万元，求总收益的现值，投资所得的净收入和投资回收期.【解】总收益的现值（万元）投资所得的净收入（万元）由，得解得（年）5.消费者剩余和生产者剩余在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋于平衡价格和平衡数量，分别用和表示，平衡点是供给曲线与需求曲线的交点.消费者剩余和生产者剩余都是经济学中的重要概念.消费者剩余（ConsumerSurplus），简记为CS,是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额.图3.30生产者剩余（ProducerSurplus），简记为PS，是指卖者出售一种物品或服务得到的价格减去卖者的成本.从图3.30可以看出，平衡点处的消费者剩余为平衡点处的生产者剩余为【例12】已知需求函数，供给函数，求供需平衡点；（2）平衡点处的消费者剩余和生产者剩余；（3）当价格为16时的消费者剩余.【解】（1）由解得，代入得求得平衡点为.(2)平衡点处的消费者剩余平衡点处的生产者剩余当时，,此时的消费者剩余四、小结本节主要内容是元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质），应用微元法分别求出平面图形的面积、立体的体积及其定积分在经济学中的简单应用.五、作业习题3.81（1）（3）（5）（7）、2（1）（3）、3、7、8、10习题课(4课时）一、知识总结1、不定积分的概念(1)原函数:若为的一个原函数（即）,则有无限多个原函数,且就是的所有原函数.（2）不定积分:的不定积分就是的全体原函数即．2、不定积分的基本公式与性质（1）（2）（3）（）（4）（5）（且）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）【性质1】或.【性质2】或.【性质3】（其中,即非零常系数可以移到积分号之前）.【性质4】3、几种求不定积分的方法:（1）直接积分法:最多只要对被积函数进行化简或适当地恒等变形,然后利用基本公式和性质可以求出不定积分的方法．(2)第一类换元积分法,也叫凑微分法:设,则有.（3）有理函数的积分，有理函数的部分分式(4)第二类换元积分法:主要针对形式有两种与、、,换元的目的是去根号,即.(5)分部积分法:这种方法求解的被积函数主要有三种形式,此方法关键是要正确选择和,即.4、定积分的概念、意义与性质（1）概念:定积分源自于求曲边梯形的面积,,结果是一个数值,其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．（2）几何意义:是曲线之间与轴所围的面积的代数和;（3）经济意义:若是某经济量关于的变化率（边际问题）,则是在区间中的该经济总量．（4）性质:本章共列了定积分的八条性质,其中以下几条在计算定积分中经常用到.1）;2）;3）;4）;5）.5、定积分的计算（1）牛顿—莱布尼兹公式:若在上连续,是的一个原函数,则.（2）换元法:积分上下限作相应变化（3）分部积分法:若与在上有连续的导数,则有.6、定积分的应用（1）求平面区域的面积,一般有两类公式:型，关于积分:型，关于积分:（2）定积分的经济应用,重点是已知某经济量（如成本、收益、利润）的变化率,求在生产阶段的经济总量的增量．二、习题讲解【例1】【解】原式【例2】【解】原式===【例3】【解】原式=【例4】【解】原式【例5】【解】令，，原式==【例6】已知的一个原函数为，求.【解】由题意知，，所以，于是【例7】计算极限其中连续且【解】原式=【例8】求下列函数的导数：（1）（2）【解】（1）（2）【例9】计算下列定积分（2）（3）（4）【解】（1）（2）（3）这里计算用的是凑微分法，还可以用定积分的换元积分法.（4）=【例10】已知，求【解】若若【例11】求【解】设原式＝【例12】求【解】原式＝【例13】求【解】【例14】求【解】原式＝故原式＝【例15】求【解】原式＝＝1【例16】求由曲线【解】【例17】求由【解】，【例18】某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为（百万元/年）,试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？【解】有极值存在的必要条件，即可解得故时是最佳终止时间，此时的利润为因此最大利润为18.4百万元三、作业复习题A3(3)(5)(8)(9)、4（1）（3）（5）（7）（9）6、8、10、12、13、14多元函数微积分学本章知识结构导图多元函数微积分多元函数微积分空间曲面、曲线多元微分学二重积分多元函数概念偏导数与全微分复合函数、隐函数的偏导数多元微分学的应用概念与性质计算方法直角坐标极坐标一、教学要求1、理解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离；理解常见曲面方程的表达式；理解平面区域的相关概念.2、理解二元函数的概念及几何意义；了解多元函数的概念.3、了解二元函数的极限与连续的概念；了解有界闭区域上二元连续函数的性质.4、理解二元函数偏导数与全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件，掌握求偏导数和全微分的方法；理解偏导数在经济分析中的应用.5、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导（对抽象复合函数的二阶偏导数，只做简单训练）.6、会求由一个方程确定的隐函数的一阶偏导数.7、理解二元函数极值与条件极值概念；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求解比较简单的最大值和最小值问题.8、理解二重积分的概念及几何意义；了解二重积分性质；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；会计算无界区域上的较简单的反常二重积分.9、会用多元函数的微积分知识解决一些简单的经济问题.二、教学重点、难点1、教学重点：偏导数；全微分及其应用；多元复合函数和隐函数的求导公式；二元函数极值；二重积分的计算方法.2、教学难点：二次曲面的方程；偏导数在经济分析中的应用；多元复合函数和隐函数的求导法则；二元函数极值的必要条件和充分条件；条件极值；二重积分的计算及应用.教学内容及课时划分4.1空间解析几何基础知识3课时4.2多元函数的概念3课时4.3偏导数及其应用4课时4.4全微分及其应用2课时4.5多元复合函数与隐函数的求导公式3课时4.6多元函数的极值及其应用3课时4.7二重积分的概念和性质2课时4.8直角坐标下二重积分2课时4.9极坐标下二重积分的计算2课时习题课4课时计28课时4.1空间解析几何基础知识教学要求：1、了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离；2、了解常见曲面的方程及其图形；3、了解空间曲线的一般方程及在坐标面上的投影曲线的方程.教学重难点：教学重点：两点间的距离公式；平面方程的表达式及其图形.教学难点：常见曲面的方程及其图形；空间曲线的一般方程及在坐标面上的投影曲线的方程.教学课时：3教学过程：一、空间直角坐标系1、空间点的坐标2、空间两点间的距离特别地，如果两点分别为，，那么【例1】求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。【证明】 由于，原结论成立。【例2】设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标。【解】因为在轴上，设P点坐标为所求点为：，【例3】已知：，求与等距离的点。【解】设所求的动点为化简得：= 到空间两点等距离的点的轨迹是这两点连成线段的垂直平分面，这里就是空间线段的垂直平分面的方程.【例4】建立球心在、半径为R的球面方程.【解】设是球面上的任一点，那么即 或 特别地，如果球心在原点，那么球面方程为二、常见的空间曲面及其方程定义4.1如果曲面与三元方程 有下述关系：（1）曲面上任一点的坐标都满足方程；（2）满足方程的点都在曲面上.那么，方程称为曲面的方程，而曲面称为方程的图形.下面介绍几种常见曲面及其方程.1.平面空间平面方程的一般形式为其中均为常数，且不全为零.考虑一些特殊情况，例如，当时，表示通过原点的平面；当，不为零，表示一个平行于轴的平面；当，不为零，方程为，表示一个平行于面的平面.2.柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的轨迹称为柱面，其中定曲线称为该柱面的准线，动直线称为该柱面的母线（如图4.4）.图4.4图4.5这里我们只讨论母线平行于坐标轴的柱面（如图4.5）.一般地，如果曲面方程中只含而不含，那么表示母线平行于轴的柱面，面上的曲线是柱面的一条准线.例如，表示母线平行于轴的椭圆柱面（如图4.6），当时，表示母线平行于轴的圆柱面；表示母线平行于轴抛物柱面（如图4.7）；表示母线平行于轴的双曲柱面（如图4.8）.图4.6图4.7图4.83.二次曲面三元二次方程所表示的空间曲面称为二次曲面.这里主要讨论几个常用的二次曲面及其方程.（1）椭球面其图形如图4.9所示，分别为椭球面的三个半轴的长度，其中任意两个半轴的长度相等时，称为旋转椭球面，当三个半轴都相等时，即为球面.（2）椭圆抛物面 其中时，开口向上，其图形如图4.10所示；时，开口向下.当时，称为旋转抛物面.（3）双曲抛物面（又称马鞍面） 时的图形如图4.11所示.图4.9图4.10图4.11（4）单叶双曲面其图形如图4.12所示，当时，称为旋转单叶双曲面.（5）双叶双曲面其图形如图4.13所示，当时，称为旋转双叶双曲面.（6）二次锥面其图形如图4.14所示，当时，称为圆锥面.图4.12图4.13图4.14三、空间曲线及其在坐标面上的投影曲线空间曲线可以看出空间两个曲面的交线，曲面与的交线可以用方程组来表示，该方程组称为曲线的一般方程.如方程组图4.15中第一个方程表示母线平行于轴的椭圆柱面，第二个方程表示平行于轴的平面.方程组则表示上述椭圆柱面与平面的交线，如图4.15所示.该曲线在平面上的投影曲线就是其图形就是平面上的椭圆.四、作业：习题4.14、7（2）（3）（4）、9（2）§4.2多元函数的概念教学要求：1、了解平面区域的相关概念.2、了解二元函数的概念及几何意义,了解多元函数的概念；3、了解二元函数的极限与连续的概念；4、了解有界闭区域上二元连续函数的性质.教学重难点：教学重点：二元函数的概念；二元函数的极限.教学难点：二元函数的极限与连续性.教学课时：3教学过程：一、平面区域的相关概念1.平面点集2.邻域3.内点、外点和边界点4.开集、开区域与闭区域5.有界区域和无界区域二、多元函数的概念定义4.2设是平面上的一个非空点集，如果对于内的任一点，按照某对应法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称变量为的二元函数，通常记为，其中点集称为该函数的定义域，,称为自变量，称为因变量.数集称为该函数的值域.是,的函数也可记为，等等.在定义4.2中，由于自变量构成的有序数组与平面上的点一一对应，因此又可以看成是点的函数，记为，类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数.当时，元函数就统称为多元函数.与一元函数类似，关于多元函数的定义域，我们作如下约定：当用某个算式表达多元函数时，凡能使这个算式有意义的自变量的值所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域.例如，函数的定义域为（如图4.21）.【例1】求函数的定义域.【解】自变量应满足下列不等式所以，函数的定义域为（如图4.22）图4.22图4.23设函数的定义域为.对于任意取定的内的一点，对应的函数值为，在空间就确定一点.当遍取上的一切点时，得到一个空间点集这个点集也即点的轨迹，称为二元函数的图形.通常，二元函数的图形是空间的一张曲面（如图4.23），而定义域就是该曲面在平面上的投影.例如，二元函数表示以原点为球心，半径为2的上半球面，其定义域为.三、二元函数的极限定义4.3设二元函数在点的某一去心邻域内有定义.如果当点无限趋于点时，函数无限趋于一个常数，则称为函数当时的极限，记作或（）也记作或（）二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.为了区别于一元函数的极限，称二元函数的极限为二重极限.【例2】设函数，证明当时，的极限不存在.【证】当点沿轴趋于点时，又当点沿轴趋于点时，再找一条更为一般的路径，当点沿着直线趋于点时，有因此，在的极限不存在.【例3】求【解】这里的定义域为.由极限运算法则得【例4】求【解】由于，而由无穷小的性质，可得四、二元函数的连续性定义4.4设函数在点的某个邻域内有定义，如果则称函数在点连续.如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数.在区域上连续的二元函数的图形是区域上的一张连续曲面.设函数在点的某个邻域内有定义，分别给增量，并使得在该邻域内，这时的相应增量为称为函数在点的全增量，记为.如果那么称函数在点连续.实际上，与是等价的.如果函数在点不连续，那么称为函数的间断点.前面例2中讨论过的函数当时的极限不存在，所以点是该函数的一个间断点.二元函数的间断点还可以形成一条曲线，称为间断线.例如，函数在整个圆周上没有定义，所以是该函数的间断线.性质1（有界性与最大值最小值定理）定义在有界闭区域上的多元连续函数，在上一定有界，且能取到最大值和最小值.性质2（介值定理）定义在有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元初等函数的连续性，如果要求函数在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则其极限值就是函数在该点的函数值，即【例5】求【解】【例6】求【解】函数在处无定义，所以在处间断，但并不影响在处极限的存在，而经变形后的函数在处连续，因此直接将代入求其函数值即可.五、作业：习题4.21（3）、2（2）、3（3）（4）、4（1）4.3偏导数及其应用教学要求：1、了解二元函数偏导数的概念和几何意义；2、掌握求偏导数的方法；3、掌握求二阶偏导数的方法；了解二阶以上的高阶偏导数的概念.4、理解偏导数的经济意义，会进行偏弹性分析；教学重难点：1、教学重点：偏导数的计算.2、教学难点：高阶偏导数的计算;偏导数的经济意义.教学课时：4教学过程：一、偏导数1.偏导数的概念定义4.5设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，在该邻域内,函数有相应的增量，称为函数在处对的偏增量.记为.如果 存在，那么称此极限为函数在点处对的偏导数，记为，，或即类似地，函数在点处对的偏导数为 记作，，或如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是,的函数，称为函数对自变量的偏导函数，简称为偏导数，记为，，或类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记为，，或【注】偏导数的记号也记为，后面高阶偏导数也有类似的情况.【例1】求在点处的偏导数.【解】将代入上面的结果，就得，【例2】设，求，的偏数.【解】故又于是【例3】设，求证：.【证】因为，所以【例4】求的偏导数.【解】对求偏导数，把和都看作常量，得由所给函数关于自变量的对称性，得，2.偏导数的几何意义3.偏导存在与连续例如，函数在点对的偏导数为同样有但是在上节例4.6中我们已经知道该函数在点并不连续.二、高阶偏导数【例5】设，求，，，.【解】，， ，定理4.1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即【例6】验证函数满足方程.【证】因为，所以，于是 因此三、偏导数在经济分析中的应用1.常见经济函数偏边际分析(1)需求函数的边际分析【例7】设两种商品彼此相关，它们的需求函数分别为试确定两种商品的关系.【解】可以求出四个偏导数：因为所以说明两种商品是替代品.(2)科布——道格拉斯生产函数的边际分析科布——道格拉斯生产函数是经济学中一个著名的生产模型：，其中为产量,为参数，分别为人力和资本的投入量.偏导数和表示在另一个投入要素不变时，该单位要素对产量的贡献，分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力.【例8】设某商品的生产函数为，求和时的边际生产力.【解】当和时，【思考】这里计算的结果288，6分别表示怎样的经济意义？2.偏弹性分析【例9】某种数码相机的销售量,除与其自身价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，满足关系求时，（1）对的弹性；（2）对的交叉弹性；（3）判断这种数码相机是奢侈品还是必需品，并判断与彩色喷墨打印机的关系.【解】（1）对的弹性当时，(2)对的交叉弹性当时，（3）由,可知这种数码相机是必需品；由,可知这种数码相机与彩色喷墨打印机是互补品的关系.四、作业:习题4.31.(2)(4)(7)(8)、4、6.(1)、84.4全微分及其应用教学要求：1、了解二元函数全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件.2、会求全微分；3、了解全微分在近似计算中的应用.教学重难点：1、教学重点：全微分的计算.2、教学难点：全微分的近似计算.教学课时：2教学过程：一、全微分1.全微分的概念定义4.6如果函数在点的全增量可表示为其中,与无关，而仅与点有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即如果函数在区域内每一点处都可微分，则称函数在区域内可微分.函数在内任意点处的全微分记作2.多元函数可微分与连续如果函数在点可微分，那么函数在该点必定连续.事实上，如果在点可微分，由可得从而即因此函数在点处连续. 3.函数在点可微分的条件定理4.2（必要条件）如果函数在点可微分，那么该函数在点的偏导数，必定存在，且有【证】设函数在点可微分.于是，对于点的某个邻域的任意一点，总有若令，,则两边同除以，当时,有从而偏导数存在，且等于.同样可证.证毕.由定理4.2可得又当时，，当时，因此全微分可以写成例如，函数在点处有及，所以而由例4.6可知，该极限不存在.说明不能表示为的高阶无穷小，因此函数在点处的全微分并不存在，即函数在点处不可微.定理4.3（充分条件）如果函数的偏导数,在点连续，则函数在该点可微分.证明略.综上讨论，在多元函数微分学中，可微、偏导存在、连续之间的关系是：偏导数存在偏导数存在且连续可微连续但反之均不成立.以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以类似地推广到三元和三元以上的多元函数.如果三元函数可微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即.【例1】计算函数在点处的全微分.【解】因为，，所以【例2】计算函数的全微分.【解】因为所以二、全微分在近似计算中的应用如果函数在点处可微分，并且当都较小时那么有近似公式(1)(2)【例3】有一圆柱体受压后发生形变它的半径由20cm增大到20.05cm高度由100cm减少到99cm求此圆柱体体积变化的近似值【解】设圆柱体的半径、高和体积依次为和则有已知根据近似公式(1)有即此圆柱体在受压后体积约减少了.【例4】计算的近似值【解】设函数显然要计算的值就是函数在时的函数值取由近似公式(2),得所以.三、作业：习题4.41.（1）、3、4.(2)、54.5多元复合函数与隐函数的求导公式教学要求：1、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求简单复合函数的二阶偏导；2、会求由一个方程确定的隐函数的一阶、二阶偏导数；3、了解抽象复合函数偏导数的求法.教学重难点：1、教学重点：多元复合函数的求导法则；隐函数求导公式.2、教学难点：多元复合函数的求导法则；抽象函数和隐函数的高阶导数求法；.教学课时：3教学过程：一、多元复合函数的求导公式图4.26定理4.4设函数,在点处对的偏导数存在，函数在对应点处可微分，则复合函数在点处的两个偏导数存在，且,该公式称为多元复合函数求导的链式法则.【证】令，则有两边同除以()，并取时的极限，有当，时，，有即所以类似可证明定理4.4中的第二个公式.多元函数求导的链式法则还可以推广到其他特殊的情形：情形Ⅰ（中间变量为一元）设函数在对应点可微，函数及都在点可导，则复合函数在点可导，且其导数其中称为全导数.该公式称为全导数公式.该公式可以推广到三个或三个以上中间变量均为一元函数的情形.情形Ⅱ（中间变量既有一元又有多元）设函数可微，而具有偏导数，可导，则对函数有，其函数复合结构如图4.28图4.28情形Ⅲ（中间变量同时又是自变量）设函数可微，而，具有偏导数，则对函数有，其函数复合结构如图4.29图4.29【例1】设而，，求和.【解】根据的对称性，只要把互换，就可得，故【例2】设，而，，求全导数. 【解】【例3】设，而。求和。【解】。【例4】设，具有二阶连续偏导数，求及.【解】这里的外函数是抽象函数，其求偏导数的方法与情形Ⅲ有些类似令，，则其函数复合结构如图4.30图4.30而所以设函数可微，则有全微分如果,又是,的函数,，且这两个函数在点都可微，那么复合函数的全微分为其中和分别由定理4.4公式给出，并代入上式，得由此可见，无论,是自变量还是中间变量，函数的全微分形式是一样的，这个性质称为全微分形式不变性.【例5】已知可微，利用全微分形式不变性求全微分，并由此求.【解】设，则，由全微分形式不变性，得而得所以二、隐函数的求导公式定理4.5设方程确定了隐函数，函数可微，则当时，有【证】由方程确定了隐函数，则上式左端是关于的复合函数，由于函数可微，其对的全导数存在.于是在等式两端对求导，得由于，所以关于多元隐函数有类似的定理.定理4.6方程确定了二元隐函数，函数可微，则当时，有，【思考】仿照定理4.5证明定理4.6.【例6】设，求.【解】（方法一）方程两边同时对求导（方法二）设【注意】在方法一中，是将看成的函数；在方法二中，由对一个变量求偏导时，是将另一个变量看成常数.【例7】设是由方程所确定的二元函数，求【解】设【例8】设，求.【解】设，则再对求偏导数，得【注意】在本题求解中，是关于的函数，故在求中还需对求偏导.三、作业：习题4.51（2）、2（1）（5）、3（1）、4（2）、5（2）、84.6多元函数的极值及其应用教学要求：1、了解二元函数极值与条件极值概念；2、掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件；3、会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；4、会求解比较简单的最大值和最小值问题.教学重难点：1、教学重点：多元函数极值判定；多元函数最值的求法.2、教学难点：条件极值中拉格朗日乘子法.教学课时：3教学过程：一、多元函数的极值定义4.7设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式则称函数在点取得极大值.如果都适合不等式则称函数在点取得极小值.极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.【例1】函数在点处有极小值.因为对于点的任一邻域内异于的点，函数值都为正，而在点处的函数值为零.从几何上看这是显然的，因为点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点（如图4.31）.【例2】函数在点处有极大值.因为在点处函数值为零，而对于点的任一邻域内异于的点，函数值都为负，点是位于平面下方的圆锥面的顶点（如图4.32）.【例3】函数在点处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点处的函数值为零，而在点的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点（如图4.33）.图4.31图4.32图4.33定理4.7（极值存在的必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处取得极值，则，类似地，如果三元函数在点处具有偏导数，则函数在点处取得极值的必要条件是，，定理4.8（极值存在的充分条件）设函数在点的某邻域内具有直到二阶的连续偏导数，又，，记，，则（1）当时取得极值，且当（或)时取得极大值，当（或)时取得极小值；（2）当时不取得极值；（3）当时可能取得极值，也可能不取得极值，还需另作讨论.（证明略）根据定理4.7和定理4.8，可以把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求解步骤总结如下：（1）解方程组，求出的所有驻点.（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值、和.（3）确定的符号，根据定理4.8的结论判定在处是否取得极值，是极大值还是极小值.如取得极值，求出.【例4】求函数的极值.【解】由极值存在的必要条件，有求得驻点为,,,.再求出二阶偏导数，，在点处，又，所以函数在处取得极大值；在点处，，所以在点处不取得极值；在点处，，所以在点处不取得极值；在点处，，又，所以函数在处有极小值.二、条件极值拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法的具体步骤：（1)构造辅助函数（2）令，得 由方程组解出,及，则就是函数在附加条件下的可能的极值点.（3)判断求出的是否为极值点.一般实际问题中由问题的实际意义判定.拉格朗日乘数法可以推广到在个约束条件下求元函数极值的情形.例如，要求函数在附加条件，下的极值.可以先构造拉格朗日函数其中,为参数，求其对所有自变量和参数的一阶偏导数，并使之为零构成方程组，求解得出的,,,就是函数在两个附加条件下的可能极值点的坐标.三、多元函数的最值有界闭区域上连续函数的最值求最值的步骤如下：（1）求出的内部的所有驻点和不可导点的函数值.（2）求出边界上的最大值和最小值.（3）将这些函数值进行比较，找出最大值和最小值，即为在上的最大值和最小值.【例5】求函数在有界闭区域上的最大值和最小值，其中.【解】先求函数在内的驻点，解方程组求得驻点为，所以的内部只有一个驻点，由极值存在的充分条件判断可知，在点取得极大值且.再求在的边界上的最大值和最小值.该问题就是求在条件下的极值.用拉格朗日乘数法.设，令解得，所以有四个可能的极值点，，，所以在的边界上的最大值是，最小值是.综上讨论，在上的最大值是，最小值是.2.实际问题中的最值【例6】某工厂用钢板制造一个体积为的无盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省.【解】设水箱的长为，宽为，高为，此水箱所用材料的面积为且解得，由于求得的驻点只有一个，而问题的最值一定存在，所以求得的极值点就是最值点.因此，当长、宽、高分别为，，时其表面积为最小，即用料最省.【思考】本例是否可以看成条件极值问题来解决？【例7】求表面积为而体积为最大的长方体的体积.【解】设长方体的三棱长为,,，则问题就是在条件下，求目标函数的最大值.构造拉格朗日函数求其对,,,的偏导数，并令之为零，得到前三个式子可化为解得将此代入方程组中最后一式即约束条件，得这是唯一可