数学-河北省邯郸市2024届高三年级下学期5月保温试题和答案

邯郸市2024届高三年级第四次调研监测

数学

注意事项：

1.答题前，考务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

A=-3x-4<0^,B='xy=-

1.已知集合〔J,则(

A.(0,1]B.[0,4]C.(0,4]D.[0,1]

2.已知复数z满足z2=.l,则卜？+2Z|=()

A.1B.V3C.3D.V5

3.已知Q,£是两个平面，掰，〃是两条直线，且a_L万,muU/3,则“加1是“加_L万”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设函数/(x)=x+'■的图像与x轴相交于点尸，则该曲线在点尸处的切线方程为()

Xi，

A.B.y=-x-lC.y=0D.y=x-l

5.由动点P向圆M:(x+2)2+(y+3)2=1引两条切线切点分别为48,若四边形4PBM为正

方形，则动点尸的轨迹方程为()

A.(X+2)2+(J+3)2=4B.(x+2)2+(y+3)2=2

22

C.(x-2>+(y-3)2=4D.(%-2)+(J-3)=2

6.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中,

要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为()

A.12B.18C.20D.60.

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22

7.已知。为坐标原点，分别是双曲线。:餐-2=13>04>0)的左、右焦点，尸是双曲线。上一点,

ab"

3

若直线屏;和OP的倾斜角分别为a和2Q,且tana=—,则双曲线。的离心率为()

4

「7

A.V3B.5C.2D.y

--ra-b7a-b

8.对任意两个非零的平面向量♦和B,定义：°㊉6=门2门2,==.若平面向量2石满足

H+\b\\b\

|«|>|^|>0,且Z㊉石和ZoB都在集合｛£|〃eZ,0<"w4｝中，则£㊉石+ZoB=()

3,7,5

A.1B.—C.1或一D.1或一

244

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=Msin(sx+0)(M>O,s>O,O<0<7i)的部分图像如图所示，A,B为/(x)的图像

与x轴的交点，。为/(x)图像上的最高点，/BC是边长为1的等边三角形，=贝U()

13

B.直线x=2是/(x)图像的一条对称轴

6

/⑴的单调递减区间为(：+2左1+2。(左eZ)

C.

的单调递增区间为(―,+2械Qe1(左二)

D.

10.设抛物线£:*=2m(夕>0)的焦点为尸，过点尸(0,3)的直线与抛物线£相交于点4瓦与x轴相

交于点C|/R|=2,|M|=10,则()

A.E的准线方程为y=—2B.P的值为2

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C.\AB\=A42D.△AFC的面积与△4FC的面积之比为9

11.已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(x),若函数/(2x-3)的图象关于点(2,1)对称，

/(2+x)-/(2-x)=4x,且/(0)=0,贝()

A./(x)的图像关于点(1,1)对称B./(x+4)=/(x)

50

C./'(1026)=2D,£/(z)=2499

Z=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上

12.已知6>0,函数/(#=哼二是奇函数，则。=,b=.

13.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以

为顶点的多边形为正边边形,设NC4D=a，则cosa+cos2a+cos3a+cos4a=,

cosacos2acos3acos4a=.

14.在长方体4SCD—44GA中，AB=5,AD=3,AA1=4,平面a//平面//8与，则a截四面体

ACDXBX所得截面面积的最大值为________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，四棱锥P-45CD的底面是正方形，设平面与平面必。相交于直线/.

(1)证明:IHAD.

⑵若平面「48，平面/5。。,/>/=必=6,48=2,求直线PC与平面尸4D所成角的正弦值.

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16.已知正项数列｛%｝的前〃项和为s”，4=3,且£[=£+店.

(1)求｛%,｝的通项公式；

4s

(2)若r=——求数列帆｝的前〃项和7；.

anan+\

17.假设某同学每次投篮命中的概率均为。.

(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投〃(〃eN+，〃w33)个球，若这〃个球都投进，则训练结束,

否则额外再投100-3〃个.试问〃为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？

18.已知椭圆。的中心为坐标原点，对称轴为x轴、V轴，且过M(2,0),N1,--两点.

I27

(1)求。的方程.

(2)48是。上两个动点，。为。的上顶点，是否存在以。为顶点，48为底边的等腰直角三角形？若

存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.

19.已知函数/(x)=e',-加x,g(x)=x-7〃lnx.

(1)是否存在实数加，使得“X)和g(x)在(0,+。)上的单调区间相同？若存在，求出加的取值范围；

若不存在，请说明理由.

(2)已知不,马是/(X)的零点，是g(x)的零点.

①证明：m>e,

3

②证明：1<X[X2X3<e.

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数学

注意事项：

1.答题前，考务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

A=^x\x2-3x-4<0j,B=xy=■

1.已知集合[J,贝（）

A.（0,1]B.[0,4]C.（0,4]D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.

【详解】由/-3x-4v0得-16W4,即2=打卜16"},

5={x|x>0），所以208=[0,4].

故选：B

2.已知复数z满足z2=_i,贝I“Z2+2Z|=（）

A.1B.V3C.3D.75

【答案】D

【解析】

【分析】设2=。+历（a,beR）,根据条件得到a=0,6=±1,再利用模长的计算公式，即可求出结果.

2—1

【详解】令2=。+4（生人€及），则z?="+2疝—〃=一1,所以《a—b~=,解得。=0/=±1,

2ab=0

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所以z=±i,故卜2+2z|=|-l±2i|=&\

故选：D.

3.已知Q,£是两个平面，掰，〃是两条直线，且a_Luu万，则“加1是“加_L2”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.

【详解】用平面2。也代表平面a,平面45CD代表平面产，

当加1”如图所示时显然m与平面/3不垂直，

反之，当加，万时，又nuB,根据线面垂直的性质有加1n,

所以“加1〃”是“加1/5”的必要不充分条件，

故选：A.

4.设函数/(耳=》+\的图像与x轴相交于点尸，则该曲线在点尸处的切线方程为()

Xi，

A.y~~xB.y=-x-\C.y=0D.y=x-l

【答案】C

【解析】

【分析】令/(x)=0可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.

1

【详解】令X+——=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)92=0,解得x=—1,

x+2

故尸(—1,0),/‘(x)=i—(x+2)则/'(T)=1，(—1二+2亓)=°，

则其切线方程为：j-/(l)=r(-l)(x+l),即y=0.

故选：C.

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5.由动点尸向圆M:(x+2)2+(y+3)2=1引两条切线尸4P8,切点分别为48,若四边形4PBM为正

方形，则动点P的轨迹方程为()

A.(X+2)2+(J+3)2=4B.(X+2)2+(J+3)2=2

22

C.(x-2>+(y-3)2=4D.(x-2)+(y-3)=2

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方形可得动点P的轨迹是以M为圆心，行为半径的圆，求出方程即可.

【详解】因为四边形4P8/为正方形，且叱二九必二匕所以/尸;班,

故动点尸的轨迹是以M为圆心，、石为半径的圆，其方程为(x+2y+(y+3)2=2.

6.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中,

要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为()

A.12B.18C.20D.60.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个,

结合排列数与组合数的计算，即可求解.

【详解】根据题意，可分为两类：

①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有=4x2=8种方法；

②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有Aj=4x3=12种方法，

由分类计数原理得，共有8+12=20种不同的差法.

故选：C.

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22

7.已知。为坐标原点，片，鸟分别是双曲线C：0-A=l（a>0,6>0）的左、右焦点，尸是双曲线。上一点,

ab

3

若直线屏;和OP的倾斜角分别为a和2Q,且tana=—,则双曲线。的离心率为（）

4

「7

A.V3B.5C.2D.y

【答案】B

【解析】

324

【分析】由已知计算可得所以直线产大的斜率为tana直线OP的斜率为设尸（》/）,由

47

V3v247c24c

二^二：,上二一,解得工=生/二J，代入双曲线方程计算即可求得结果.

x+c4x72525

2x-

.c2?tana424

【详解】由题意得tan2。=Jrar?a==亍,

4

324

所以直线平的斜率为tan”“直线。。的斜率为亍

3Z24./白7c24c

设尸（X/）,则有上y>解得x=w，y

x+c4,x~25

（7c丫（生丫

代入双曲线方程，得（25）（25）_

又/=c2-a2

化简可得：（2）c4-2a2c2+a4=0,e=-,

（25Ja

所以（W）e4-2e2+1=0,解得e=5或e=，e>l,舍）.

故选：B

--ra-bTci-b

8.对任意两个非零的平面向量Z和坂，定义：。㊉」=门2门2,可.若平面向量满足

a+bb

|«|>|^|>0,且Z㊉B和ZoB都在集合｛4〃eZ,0<〃中，^\a®b+aQb=()

375

A.1B.-C.I或一D.1或一

244

【答案】D

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【解析】

【分析】根据同>W>0,得到同2+W?>2同W,再利用题设中的定义及向量夹角的范围,得到］㊉3<；,

一一1

aQb>~,再结合条件，即可求出结果.

2

【详解】因为｛夕〃eZ,0<〃w4)=,

设向量Z和B的夹角为e,因为同>归|>0,所以同2+麻>2同阵

得到/㊉B=「二曲*<皿黑=2

同2+W同2+网2\a\-\b\2

又840,兀］,所以包士工，

22

又£㊉B在集合［j〃eZ,0<〃s4］中，所以咨>［，即cosd>L得到Z㊉1=

14J2424

团JBcos。a1

一】a-b---L-L---=—cos^>cos8>—--3

又因为aQb=­y所以a。/?=一或1,

\b\同b24

所以a㊉B+a©B=l或

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=Msin(sx+0)(M>O,G>O,O<0<7i)的部分图像如图所示，A,B为/(x)的图像

与x轴的交点，。为/(x)图像上的最高点，AASC是边长为1的等边三角形，=贝U()

A./（0）=—

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13

B,直线X=一是/（x）图像的一条对称轴

6

C./（x）的单调递减区间为+2左,:+2,（左eZ）

D./（%）的单调递增区间为（—：+2版，!+2E］（左€2）

【答案】BC

【解析】

【分析】由图可得/（#=?5也（欣+三），再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.

27r

【详解】对于A,由图可得：/（x）的最小正周期为2,所以——=2,即切=兀，

3

易得M=,所以/（x）=1^sin（7ix+0）,

因为3|=2|。4所以呜,0），C%字，

由五点作图法可得：巳+0=^，即0=1，所以/（#=55也（m+三），

所以/（O）=W，故A不正确；

对于B,由于/（!!）=与皿£+方=近,为最大值，

62632

1Q

所以直线工=上是/（x）图象的一条对称轴，故B正确;

ijr>rr47T17

对于C,令2阮+—w7EX+—w2E+——（左EZ）,解得；一+2左wxw—+2左（左£Z）

23266

所以单调递减区间为（：+2左,：+2左）（左eZ）,故C正确；

ITTTTT1

对于D,令2kliw7LT+—w2标+—（左£Z）,解得；——+2左wXw—+2左（左£Z

23266

所以/（X）的单调递增区间为「：+2左,1+2/信eZ）,故D不正确，

故选：BC,

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10.设抛物线E：Y=2〃y（p>0）的焦点为尸，过点尸（0,3）的直线与抛物线£相交于点43,与X轴相

交于点C,|N司=2,忸可=10,则（）

A.E的准线方程为y=-2B.P的值为2

C.\AB\=442D.△8RC的面积与△4FC的面积之比为9

【答案】BD

【解析】

【分析】设直线48的方程为^=依+3,/（七,必）,5（X2/2）,利用根与系数的关系及抛物线的性质进行

计算，从而判定各选项.

【详解】设直线48的方程为川=狂+3,4（再,％）,3（%2，%），

y=kx+3c

联立｛2C，可得一—2夕京一60=0,

x=2py

所以再+x2=2pk,xrx2=-6p,

222々度2

E、12X-rXiX3opc

因为x=2py,所以歹二丁，故=7V?=/2=9，

2p4P4p

因为|4F|=2,忸厂|=10,由抛物线定义可得，%=2-，%=10-《，

则（2-^）（10一看）=9,解得夕=2或夕=22,

因为％=2，>0,所以0=2,则E的准线方程为I,故B正确，A错误；

又E的方程为f=4y,Ji=2-1=1,J2=10-1=9,

把％=1代入/=4y可得X；=4%=4,%2=4y2=36,

不妨设，（-2,1）,3（6,9）,则|48|=8五，故C错误;

设厂到直线48的距离为d,

△加心的面积5口0=：8。M，△为?6的面积S"c=；|ZC|d,

S历

则XBFC的面积与AAFC的面积之比衿二=1—4=及=9,故D正确.

S.AFC\AC\必

故选：BD.

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y.

11.已知函数/("的定义域为R,其导函数为/'("，若函数/(2x-3)的图象关于点(2,1)对称，

f[2+x)-f[2-x)=4x,且/⑼=0,则()

A./(X)的图像关于点(1,1)对称B./(X+4)=/(%)

50

C.r(1026)=2D,2/1)=2499

Z=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合/(x)+/(2-x)=2和

〃2+x)-〃2-x)=4x,化简得到/(x)=/(x+4)-8,可判定B不正确;令g(x)=/(x)-2x,得

到g(x)=g(x+4),得到函数g(x)和g'(x)是以4为周期的周期函数，结合

,,

g(1026)=g(2)=/'(2)-2,可判定C正确；结合/⑴=1,/(2)=2,/(3)=5,/(4)=8,得到

50

g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=-4,结合g(x)=-2x是以4为周期的周期函数,进而求得Z/(z)的

i=\

值，即可求解.

【详解】对于A中，设函数y=/(x)的图象关于(m6)对称，

则＞=/(%-3)关于(a+3,Z?)对称，可得y=/(2x—3)关于(一^―,/?)对称，

因为函数/(2x—3)的图像关于点(2,1)对称，可得；—=2,6=1,解得a=1,6=1,

所以函数〉=/("的图象关于(1』)对称，所以A正确；

对于B中，由函数y=/(x)的图象关于(1,1)对称，可得/(x)+/(2—x)=2,

因为/(2+x)-/(2-x)=4x,可得/(x)+/(x+2)=4x+2,

贝i]/(x+2)+/(x+4)=4(x+2)+2=4x+10,

第8页/共20页

两式相减得了(x)-〃x+4)=-8,即/(x)=/(x+4)-8,所以B不正确；

对于C中，令g(x)=/(x)-2x,

可得g(x+4)=/(x+4)-2(x+4)=/(x+4)-2x-8,

因为/(x)=/(x+4)-8,所以g(x)=g(x+4),

所以函数g(x)是以4为周期的周期函数，

由g(x)=/(x)-2x,可得g1x)=/1x)—2,所以g，(1026)=1f(1026)-2,

因为函数g(x)是以4为周期的周期函数，则g'(x)是以4为周期的周期函数，

所以g'(1026)=g'(2)=/'(2)—2,

由/(2+x)_/(2—x)=4x,可得/'(2+x)xl_/'(2_x)x(_l)=4,

即/'(2+x)+/'(2—x)=4,令x=0,可得/'⑵+/'⑵=4,所以/'(2)=2,

所以g'⑵=0,所以/'。026)=/'(1026)+2=八2)+2=2,所以C正确；

对于D中，因为/(0)=0,且函数/⑴关于(1,1)对称，可得/⑴=1,/(2)=2,

又因为/(2+x)—〃2—x)=4x,令x=l,可得/⑶—/⑴=4,所以〃3)=5,

再令x=2,可得〃4)_/(0)=8,所以〃4)=8,

由g(x)=/(x)-2x,可得g(l)=-l,g(2)=—2,g(3)=—l,g(4)=0,

可得g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=-4

又由函数g(x)=/(x)—2x是以4为周期的周期函数，且/(x)=g(x)+2x,

50

所以£/■([•)=_/■⑴+〃2)+…+〃50)=g(l)+g(2)+-+g(50)+2(l+2+-+50)

Z=1

=12-[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+g⑴+g(2)+2(l+2+…+50)

=12x(-4)-l-2+2x50(1^50)=2499,所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论

(1)对于函数N=/(x),若其图象关于直线x=。对称(a=0时，/(x)为偶函数)，

第9页/共20页

则①/(a+x)=/(a—x)；②/(2a+x)=/(—x)；③/(2a—x)=/(x).

(2)对于函数歹=/(x),若其图象关于点(a,0)对称(a=0时，/(x)为奇函数)，

则①/(a+x)=-/("h；②/(2a+x)=—/(—x)；③—=

(3)对于函数>=/(x),若其图象关于点(a,6)对称，

则①/(a+x)+/(a-x)=26；②/(2a+x)+/(-x)=26；③/(2a-x)+/(x)=26.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上

12.已知6>0,函数/(#=哼匕是奇函数，则。=,b=.

【答案】①.-1②.1

【解析】

【分析】由/(O)=a+l=O,可求a,由/(x)=2(2J)X—2一二结合奇函数可求6.

【详解】由/(0)=a+l=0,解得a=-l,所以/(x)==

又因为函数/(x)为奇函数，所以/(x)=—/(x),

所以2（2&T）X_2r=_（2-（2J）X_2-'）,

所以(2.)，『2「2阳卜.(21I2=2阳卜一2工,

所以（2（2Jb.2工-1）（2侬山-2）=0,

所以2所1区2、-1=0或2侬m—2*=0，

所以2b—1=1或26—1=—1,解得6=1,6=0(舍去).

故答案为：①-1；②1.

13.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以

4瓦。,。,£为顶点的多边形为正边边形,设NC4D=q，则cos。+cos2a+cos3a+cos4q=

cosqcos2acos34cos4a=.

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B

【答案】①.0②.—##0.0625

16

【解析】

【分析】由正五角星的性质，求得NC4£>=a=36。，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.

【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形，五个3角形各自角度之和180°

正五边形的内角和180°x（5—2）=180°x3=540°；每个角为邺匚=108°,

5

三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180°-108°=72°,

三角形内角和为180°,那么三角形顶角，即五角星尖角180°-72。x2=36°,

即NC4D=a=36°.

cos(7+cos2q+cos3q+cos4<?=cos36°+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos36°+cos720+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)

=cos36°+cos72°-cos72°-cos36°=0;

cosqcos24cos3qcos4a=cos36°cos72°cosl08°cosl44°=(cos36°cos72°『

m4M2sin36°-cos36°cos72°sin72°-cos72°sin144°1

2sin362sin364sin364

所以COSQCOS24cos3&cos4a=—.

16

故答案为：0；^―.

16

14.在长方体48CO—481GA中，AB=5,AD=3,AA1=4,平面q//平面//夕耳，则4截四面体

ACDXBX所得截面面积的最大值为.

【答案】10

【解析】

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B.TTRTMVNVS

【分析】结合题意画出对应图形后，设及=a，则有一=——=——=—=a，则有

BGTWTUVUVW

S平行四边形=S平行四边形CTW7—"ANVS—"AS领,借助人表不出面积,结合一■次函数的性质即可得.

【详解】平面a截四面体ZCDMi的截面如图所示,

B.TTRTMVNVS

设及=久，则-=—=一=—=九所以四边形NSRM为平行四边形,

B£TWTUVUVW

豆MRI/UW,MN//TV,

在矩形U巾T中，UV=A,VW=5,TM=5A,MU=77?=4儿及/=4(1—/l),

=

则S平行四边形NSRWS平行四边形"F7一为aNVS—"AS叼?

=20—20矛+(1—久)2=20—2020-g)+1<20-20x1=10当且仅当久=4时，等号成立.

2

故答案为：10.

【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的

性质求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，四棱锥P-48CD的底面是正方形，设平面尸4D与平面心。相交于直线/.

(1)证明：IHAD.

(2)若平面「451平面ABCD,PA=PB=45,AB=2,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

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475

⑵

15

【解析】

【分析】(1)利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明；

(2)利用面面平行的性质确定尸。/平面/BCD,建立直角坐标系，利用坐标法结合线面角公式即可求解.

【小问1详解】

因为四棱锥P-48CD的底面是正方形，所以BC//4D,

又BCu平面必C,平面必C,

所以40//平面必C,

因为4Du平面尸40,平面PBCc平面P4D=/,

所以1//AD；

【小问2详解】

因为尸2=尸8,取48的中点。，连接P。，则

因为平面PAB1平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,

则平面48CD,所以以。坐标原点建立如图坐标系，

因为PA=PB=4i,AB=2,45CD是正方形，所以P0=2,

则P(0,0,2),^(1,0,0),C(-l,2,0).r>(l,2,o),

方=(—1,0,2),亚=(0,2,0),PC=(-1,2,-2),

设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),

贝n-AP=-x+2z=0,n-AD=2y=0,

取x=2,y=0,z=l,即万=(2,0,1),

设直线PC与平面PAD所成角为9,

-|cosPCH|-E^-tM.4V5

则sin9T'卜“同一3x厂15

第13页/共20页

所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为

15

16.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，4=3,且

(1)求｛4｝的通项公式；

4s

(2)若〃=--,求数歹U｛〃｝的前〃项和T„.

anan+\

【答案】⑴an=2n-l

17

⑵T=n+-~7

n2〃+1

【解析】

【分析】(D首先求出q=1,可证明数列｛忖｝为首项为1,公差为1的等差数列，得到S“=/,利用

4=S“一Si得到m｝的通项公式;

4S“4〃2化简可得包=1+¥」—二)，利用分组求和以

(2)由(1)知，b“=

44+1(2〃一1)(2〃+1)212〃-12n+\)

及裂项相消即可求出数列｛〃｝的前〃项和Tn.

【小问1详解】

当〃=1时，由#7=+,即Jq+?=2,解得：«i=1,

所以JS1-后=后=1，则数列｛向｝为首项为1,公差为1的等差数列;

所以疯=〃，则5“=/,

2

当“二2时，an=Sn-=n~-｛n-1)=2n-\,

当〃=1时，%=2x1-1=1满足条件,

所以｛4｝的通项公式为an=2〃—1(〃eN*)

【小问2详解】

r,4S“4z?

由(1)知，bn==————，

a„an+x(2n-l)(2n+i)

由皿_4/11_If11

所以“=5---=14--------=1-1--------------=11-1—------------

4n2-14n2-1(2〃-1)(2〃+1)2\2n-l2n+l

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」—――q=〃+#i——

故(=n+—\1—

33――丁…丁2n-l2n+l)2(2n+l)2几+1

n

即北二〃+

2〃+1

17.假设某同学每次投篮命中的概率均为］

(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投〃(〃eN+，〃w33)个球，若这〃个球都投进，则训练结束,

否则额外再投100-3〃个.试问〃为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？

【答案】⑴/3

O

(2)n=5.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得.

(2)该同学投篮的次数为X,求出X的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调

性推理即得.

【小问1详解】

113

依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率夕=C：Q)2(1-彳)2=：

228

【小问2详解】

设该同学投篮的次数为X,贝IJX的可能值为〃,"+100-3"=100-2〃，ne^+,n<33,

于是P(X=〃)=g,P(X=100-2〃)=1-5，

数学期望E(X)=〃•g+(100—2n)-(1--)="”。―2〃+100,

372-100377-97

令/(〃)=——一2〃+100,〃£N+,则/(〃+1)=--271+98,

/(〃+1)-/(«)=103-"2"+2,显然数列｛103—3〃-2m｝是递减的,

当〃54时，103—3〃—2计2>0,/(«+1)>/(«),当“之5时，103-3«-2"+2<0,/(«+!)</(«),

即有/(I)</(2)</(3)</(4)</(5)>/(6)>/(7)>…，因此/(5)最大,

所以当〃=5时，该同学投篮次数的期望值最大.

(也、

18.已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴、V轴，且过M(2,0),NI,"两点.

I2)

(1)求。的方程.

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(2)48是C上两个动点，。为。的上顶点，是否存在以。为顶点，48为底边的等腰直角三角形？若

存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴—+y2=1

4.

(2)存在，3个

【解析】

4m=1

【分析】⑴设椭圆。的方程为加一+町2=i(加>0,”>o,加力〃)，根据条件得到｛3,即可求

m+—n=1

4

出结果;

(2)设直线。2为了=丘+1,直线D8为y=-4》+1,当后=1时，由椭圆的对称性知满足题意；当左2二1

时，联立直线与椭圆方程，求出48的坐标，进而求出48中垂线方程，根据条件中垂线直经过点。(0/),

从而将问题转化成方程左4_7左2+1=0解的个数，即可解决问题.

【小问1详解】

由题设椭圆C的方程为mx1+ny2=l(m>0,”>0,mwn),

因为椭圆过M(2,0),N〔L—方-J两点，

4m=1.

12

所以3得到7〃=—,〃=1,所以椭圆C的方程为土+/=1.

m+—n=l

4

【小问2详解】

由(1)知。(0,1),易知直线的斜率均存在且不为0,

不妨设左.=左(左>0),kDB直线。2为了=丘+1,直线。8为y=-工》+1,

kk

由椭圆的对称性知，当左=1时，显然有，%|=|。冏，满足题意，

y=kx+\

当左2£1时，由，消了得到(一+/)/+26=0,

所以.=-

1+4左2'为一］+412

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-2—41—4-2

（左2—4）（1+4左2）_（后2+4）q_4左2）达一1

同理可得8（为,V）,所以如=晨11拼2

k+4k'+43k+8k（l+4k2+k2+4）―5k

左2+41+4左2