函数性质的灵活应用（模拟+真题）-2024高考数学总复习压轴题（解析版）

专题2函数性质的灵活应用

一最新模拟精练

1.(2023•安徽池州•池州市第一中学校联考模拟预测)关于函数，(x)=x-sinx,下列说法错误的是()

A.“X)是奇函数B.是周期函数

C.x=0是〃x)的唯一零点D.“X)在(-g+8)上单调递增

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，求得r(x)=l-cosx'O,得到函数/(x)为R

上单调递增函数，且/(。)=0,可得判定C、D正确；由函数f(x)函数，结合函数周期性的定义，可判定B

错误.

【详解】对于A中，函数〃x)=x-sinx的定义域为R,

J!L/(-^)=-x-sin(-x)=-(x-sinr)=-f(x),所以〃尤)为奇函数，所以A正确；

对于B中，由函数〃x)=x-sinx,可得/'(x)=l-8SxN0,

则/(X)为单调递增函数，所以不存在实数T，使得/(x+T)=/(x),

所以函数一定不时周期函数，所以B错误；

对于C中，由/'(尤)=1-8次“，得到为单调递增函数，

又由〃0)=0,所以函数〃x)有唯一的零点尤=0,所以C正确；

对于D中，由7•'(x)=l-cosxNO,得到为R上单调递增函数，所以D正确.

故选：B.

2.(2016下•湖南•高二统考期末)下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是

A.y=tanxB.y=/C.y=lgxD.y=3，

【答案】B

【详解】试题分析：A选项y=tanx为奇函数，但不能说在定义域内为增函数，A错；B正确；C选项y=lgx

非奇非偶函数；D选项非奇非偶函数.

考点：函数的性质.

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3.(2016•江西南昌•高三专题练习)下列函数中，既是奇函数又上单调递增的是

A.y=x+—B.y=ex-ex

x

C.y=x3-xD.y=xlnx

【答案】B

【详解】试题分析：选项A、C在区间(0,+S)非单调函数，选项D为非奇非偶函数，故选B.

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.

4.(2023•上海杨浦•统考一模)函数y=满足：对于任意xeR都有〃尤)=/("),(常数。>0,"1).

给出以下两个命题：①无论。取何值，函数y=/(x)不是(。,+8)上的严格增函数；②当。<。<1时，存在

无穷多个开区间/J，4,-，使得Ln/2n=>Z„=>，且集合{引y=/(x),尤w/"}={y|y=/(x),无€*]}

对任意正整数”都成立，则()

A.①②都正确B.①正确②不正确C.①不正确②正确D.①②都不正确

【答案】A

【分析】对于①，由题得"1)=/⑷，然后反证法推出矛盾即可;对于②令4=(0,1),然后根据〃尤)=/⑷)

分别得出小…，/.，…,判断为正确.

【详解】对于①：由题得"1)=〃。)，若函数y=是(0,+8)上的严格增函数，因为a>0,aRl,则

当0>1时，/⑴<〃a),当0<°<1时，/⑴>/(。)，均与41)=/(。)矛盾，所以无论。取何值，函数y=

不是(0,+8)上的严格增函数，故①正确；

对于②：因为对于任意xeR都有/■(x)=/(，)，令，=(0,1),当xe/|=(0,l)时，/e(a,l)=/?u(0,1),

且{MJ=/W,xeZ1}={y|y=f(x),xel2},

xa

当xe/?=(a,l)时，ae(a,a)=l3czl2,且{y|y=/(x),xe/2}={y|y=/(x),xe/3},

当xw/3=(a,a")时，a*e(i,a")=/4u4，且

{yly=f(x),x^I3}={y\y=f(x),xel4},

以此类推，故当0<“<l时，存在无穷多个开区间人右，-，/“，，使得4=)/?=)n/“n,且集合

{yly=/(x),x，,}={N尸/(幻,无€/用}对任意正整数〃都成立，故②正确，

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故选：A.

5.（2023・全国模拟预测）"屋2"是"函数〃%）=1082（）24（尤2-2皿+1）在区间（2,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.

【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：

要满足函数〃X）=log2°24（/一2初％+1）在区间（2,+8）上单调递增，

fm<25

需要<,

[292-2/77x2+1>04

因为：<2,所以"mV2"是"函数〃苫）=1082必1-2尔+1）在区间（2,+8）上单调递增”的必要不充分条件.

故选：B.

/、13〃一羽％〈2

6.（2023•陕西汉中•校联考模拟预测）已知0>0,且函数〃尤（尤C2在R上单调，

则。的取值范围是（）

\「12]「2八「1八

A.（1,+⑹C.[剖D.[刊

【答案】D

【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减，建立不等关系解出即可.

【详解】因为函数/'（X）在R上单调，

由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，

故在R上单调递减，

0＜。＜1

所以

3a-22loga1-1

解得：

故选：D.

7.（2023•四川泸州•四川省叙永第一中学校校考一模）若函数=g以2_26一Inx在区间（3,4）上不单调,

则。的取值范围是（）

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【答案】c

【分析】求导，对a分类讨论，分a=0与aw0两种情况，结合零点存在性定理可得。的取值范围.

【详解】f'(x\=ax-2a--=axl~2aX~X,xe(3,4),

XX

当a=0时，尸(同=一：<0在(3,4)上恒成立，

此时了(无)在(3,4)上单调递减，不合要求，舍去;

当awO时,则要求/z(x)=办之_2编;一1的零点在(3,4)内,

/Z(X)=G?—2依一1的对称轴为工=1,由零点存在性定理可得:

/z(3)-/z(4)<0,故(9a-6a-l)(16a-8〃-1)<0,

解得：%》

故。的取值范围

故选：C

8.(2022•安徽•统考模拟预测)已知〃x)=log/历士一同是奇函数，若/(加+国+〃依+。)<0恒成

立，则实数6的取值范围是()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)D.(-9,9)

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义〃-x)=-〃x)n〃r)+〃x)=0,结合对数运算公式得到9/+1-=1,又

知对数底数a>0且可得a=3；利用复合函数的单调性判断和奇函数的性质可得/(x)在R上单调递

减，再将/(3尤2+bx)+〃3x+3)<0恒成立问题转化为一元二次不等式31+(b+3)x+3>0恒成立，联立二次函

数图像的性质得A=("3)、4x3x3<0恒成立，求解即可.

【详解】/(X)是奇函数，.•"(T)=_f(x)n〃x)+〃T)=0恒成立,

即log“("炉+1-ar)+loga=0恒成立，

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2

化简得，logn(9x+1-〃%2)=0,即9炉+1_々2尤2=1=(9-a2b2=0,

贝!)9—Q2=0,解得a=±3,又a>0且awl,:.a=3f

(1)

+1+3x/

由复合函数的单调性判断得，函数/（X）在[0,+8）上单调递减，又/'（X）为奇函数,

所以在R上单调递减；由/（62+法）+〃依+。）＜0恒成立得,

f(3犬+bx^<—f(3x+3)=>/(3/+bx^<f(—3]-3)恒成立,

贝U3炉+法＞一3%—3=3/+仅+3）%+3〉0,恒成立，

所以A=U+3）2—4x3x3＜0恒成立，解得—9＜b＜3.

故选：B.

9.（2003•上海•高考真题）关于函数/（x）=（sinx）2-\J'+g,有下面四个结论:

①/⑺是奇函数；②当尤＞2003时，/（尤）＞：恒成立；

Q1

③了（X）的最大值是：；④"X）的最小值是-;.

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据奇偶性的定义判断①；通过代特值可以判断②；将函数化为/（x）=l-gcos2x-1|J,进而

结合函数的有界性判断③；容易判断当x=0时，cos2x]£|"同时取到最大值1和1,进而判断④.

【详解】对①，xeR,/(-%)=sin2(-x)-+1=sin2%-1=/(x),则为偶函数，故①错

误；

,、2003%|r\2003舛

2

对②，itx=2003^-,/(2003^-)=sin(2003^-)--+i=--+^<1,故②错误；

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对③，/(无)1+g=i_gcos2x—1g[1,M-1<COS2X<1,则gVI—gcosZxW^，又|gj'>0，

于是y(x)<；,故③错误；

对④，/(x)=-~~c；2x_D+；=i一gcos2x-(g),当x=0时，cos2x,(g)同时取到最大值1和1,

则〃X)的最小值是1=-1,故④正确.

故选：A.

1—Y

10.(2021•全国•统考高考真题)设函数—,则下列函数中为奇函数的是()

1+无

A.f(x—1)—1B.了(龙一1)+1C.f(x+1)—1D.f(x+l)+l

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

1—X2

【详解】由题意可得/（%）=；」=-1+;—，

1+X1+X

2

对于A,〃尤一1）-1=提一2不是奇函数；

2

对于B,+是奇函数；

对于C,/（x+l）-l=-^-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数;

对于D,/（x+l）+l==，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

11.（2011・全国•高考真题）下列函数中，既是偶函数又区间（0」，）上单调递增的是

A.y=VB.y=|x|+lC.y=-x2+lD.y=2%

【答案】B

【详解】试题分析：因为A项是奇函数，故错，C,D两项项是偶函数，但在（。,+◎上是减函数，故错，只

有B项既满足是偶函数，又满足在区间（。,+◎上是增函数，故选B.

考点：函数的奇偶性，单调性.

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12.(2015・天津・高考真题)已知函数〃幻=25-1为偶函数,记。=〃108053)"=〃10825),c=f(2m),

则4,6,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【详解】试题分析：因为“X)为偶函数，所以/(—x)=/(x),.•."*"-1=25-1.•卜X-制=归一用；.加=0

;J⑺=2忖一1二〃力在[0,+⑹上单调递增，并且a=/(|log0.53|)=f(log23)^=f(log25),c="0),因为

0<log23<log25,;.c<a<b,故选C.

考点：函数的单调性

【思路点睛】本题考查的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法

和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数加的值，所以我们采用单调性法，

经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，

然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小.

13.(2015•湖南•高考真题)设函数/(x)=ln(l+尤)-ln(l-x),则〃幻是

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

【答案】A

l+x>0

【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为(八，解得

l-x>0

又f(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=-[ln(l+x)-ln(l-切=一/(无)，所以函数的奇函数，

1_1_Y1丫

由/(%)=ln(l+%)—ln(l—%)=In，令g(x)=------>又由。<玉<%2<1，贝U

1-x1-x

=片=2(%]占)，即以痴五弟Nil；,所以函数g(x)=产为单调递增函数,

]_入21_X1(1一12乂1一玉)…■1—X

根据复合函数的单调性可知函数/(x)=ln(l+x)-ln(l-x)在(0,1)上增函数，故选A.

考点：函数的单调性与奇偶性的应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函

数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解

答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.

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【答案】A

【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.

l°-2l2

【详解】因为"0)=1e_4=e--4<0,故C错误;

''(0-2)24

|-x+4-2|-^-4

又因为〃…4)=1斤一4=-4=/(x)，

(-x+2)2

故函数的图象关于x=2对称，故B错误；

|x-2|

当X趋近2时，趋近1，(x-2)2趋近0,所以〃x)=r-7-4趋近正无穷，故D错误.

(X—2)

故选：A.

15.(2023•四川德阳•统考一模)〃尤卜金工是神经网络中重要的激活函数，又称陇加泡函数.则下列对

该函数图象和情质的描述中正确的是()

A.『⑺的值域是(05

B.〃尤)的图象不是中心对称图形

C.f(x)在R上不单调

D.r(x)=/(x)[l-f(x)](其中/⑺是外力的导函数

【答案】D

【分析】求出给定函数的导数，结合单调性，对称性，再逐项分析、计算并判断作答.

【详解】由函数〃尤)=[三，定义域为R,

e~xe(0,+oo),l+e-xe(l,+oo),J®/(A:)=1e(0,1),A错误；

1+e

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因为/(一九)=Jv，l-/(%)=，

1+e1+e

所以〃-x)+/(x)=l,所以Sigm。/雨数的图象的对称中心为(o,£|,B错误；

e-x

求导得：小)=「…，

(1+e)

VxeR,/(%)二匕一)〉0,则Sig根由d函数是单调增函数，C错误；

e

/(.r)[l-/(x)]=-^-r-[l--^T?]='2=f'(x),D正确.

L」1+e1+e(1+e)

故选：D

16.(2023,全国模拟预测)已知定义在R上的函数〃x)满足对任意实数x有/(x+2)=/(x+l)-/(x),若

123

y=〃2x)的图象关于直线x=：对称，/⑴=2,则£/(幻=()

2k=\

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【分析】由题意

/(x+2)=/(x+l)-/(x)^>/(x+3)=f(%+2)-/(x+l)=>f(%+3)=-/(%)^>/(x+6)=f(x),从而

是周期函数，又y=f(2x)的图象关于直线x对称，从而函数〃尤)的图象关于直线x=l对称，由

/(1)=2=>/(2),/(3),/(4),/(5),/(6),从而即可求解.

【详解】因为〃x+2)=/(x+l)—“X),所以〃x+3)=/(x+2)_/(x+l),

从而可得〃尤+3)=-〃x),所以〃x+6)=〃x),所以函数f(x)的一个周期为6.

因为y=/(2x)的图象关于直线x=g对称，

所以〃1-2尤)=〃l+2x),即函数的图象关于直线x=l对称.

又/⑴=2,/(2)=/(1)-/(0),

所以八2)=〃0)=1,所以〃3)=-〃0)=—1,〃4)=一/'⑴=一2"(5)=-/⑵=—1"⑹=/(0)=1,

所以7(1)+/(2)+…+/(6)=0.由于23除以6余5,

23

所以2f*)=/(1)+/(2)+-■-+〃5)=-/(6)=-1,

k=l

故选：C.

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【点睛】易错点点睛：对于"系数不为['的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型/("+6),涉

及奇偶性(图象的对称性)时处理方法有：①利用奇偶性(图象的对称性)直接替换题中对应的变量；(2)

类比三角函数；③引入新函数，如令g(x)=/(辰+6),贝(-尤)=/9(一可+6).本题中，y=/(2x)的图

象关于直线尤=：对称，令g(x)=/(2x),贝重971=89+力，从而一元)="2猿+”],即

/(l-2x)=/(l+2x),函数的图象关于直线x=l对称，不能误认为函数的图象关于直线x对

称.

17.(2023・福建三明•统考三模)己知函数〃x)=log2(4'+4)-无一1,设4=/(上|,6=/"，)，

c=/(ln,1,则。，b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】首先分析函数“X)的单调性和对称性，根据函数〃尤)的性质，再研究QanL，吟与对称轴X=1

的距离即可求解.

/。+%)=〃1-尤),二尤=1是/(%)的对称轴；

设和超6。收)，g(x)=g+京，并且%>不，贝ug(x2)-g(xj=g+^-^■-^-=(2%2,

显然y=2"是增函数，xx+x2>2,

2为+*>4，2苞>2为，，8伍)-g&)>。，即当x>l时,g(x)是增函数，f(x)=log2g(x),根据复合函

数单调性规则：同增异减，f(x)在x>l时是增函数，

根据对称性,当x<l时,/(X)是减函数；

下面分析自变量彳=当,tan±,ln工时与x=l的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，

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19i9

-----1二—;

1010

x

设/z(x)=tanx-x,则〃(%)=-L——1=>0・・/(x)是增函数，又M0)=0,所以当％>0时,

cosxcosx

h(x)>0,Bptanx>x,—<tan—<tan—=1,

v710104

，一aJ1&

1010

1_丫

设p(x)=ln(x+l)-x,贝Up,aN:j------1=-——,当尤20时，p(x)是减函数，又p(0)=0,所以无>0时,

p(x)<0,

1+11J19

即ln(x+l)<x,,又历>0,1>1-ln—〉—

10101011010

:.c>a>b；

故选：C.

【点睛】本题难度较大，分析问题的出发点是函数/(X)的图像，然后要运用缩放法对自变量X与对称轴X=1

的距离做出比较，其中Mx),p(x)是对正切函数和对数函数的一个常用的缩放，需要掌握.

18.(2023•全国•校联考模拟预测)已知偶函数〃x)的图像关于直线x=2对称，f(2)=2,且对任意

e[0,l],均有/(玉+%2)=/(%)+/(%2)成立,若“7)+/■图+/(.++/]看卜对任意"eN*恒

成立，贝打的最小值为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】先得到函数的周期，赋值法得到"1)=1,从而得到"7)==

进而得到当"22时，从而利用求和得到+(g]=5-占，从而得

到t的最小值.

【详解】因为函数〃x)的图象关于直线x=0和x=2对称，所以其周期T=2x(2-0)=4,

/(玉+々)=/(不)+〃々)中，令占=%=1得，/(2)=2/(1),

又42)=2,解得"1)=1,同理可得/

所以〃7)=〃3)=〃1)=1„=心>；，

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心]=0壮卜。解得偈卜:.

依次类推，可得当〃上2时，=

7__7_

所以〃7)+/[3+[([++/[1]=l+g+4^=5-：,

2

又/⑺+/[]+/[：■]++/■]1)〈/对任意”eN*恒成立，

故此5.

故选：B

19.(2023•四川攀枝花•统考三模)定义在R上的连续可导函数/(尤)的导函数为尸(x),/(尤)满足

/(l-x)=/(x+l),且y=〃4x+2)为奇函数.当xe(2,3］时，〃尤)=(*-2丫一3(无一2),则

/,（2022）+/（2023）=（）

A.-5B.-2C.-1D.1

【答案】A

【分析】推导出函数/■(》)、:(x)均为周期函数，确定这两个函数的周期，结合周期性可求得

广(2022)+“2023)的值.

【详解】因为函数y=/(4x+2)为奇函数，则/(Tx+2)=—〃4x+2),

gp/(2-x)+/(2+x)=0,可得〃4—x)+/(x)=0,

又因为〃lr)=〃x+l),则"4-x)=〃x-2),

所以，f(x)+/(x-2)=0,可得〃x)+/(x+2)=0,贝U〃x+2)=〃x-2),

BP/(x+4)=/(x),

所以，/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=l-3xl=-2,

在等式“x+4)=两边求导得r(x+4)=f\x),

故函数尸(x)也为周期函数，且该函数的周期为4,

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因为〃4—x)+〃尤)=0,令x=2时，则有"(2)=0,所以，"2)=0,

所以,"2)=0满足〃X)=(X-2)3-3(X—2),

即当xe[2,3]时，/(x)=(x-2)3-3(x-2),止匕时1(x)=3(x-2)2-3,

所以，(2022)=f(4x505+2)=/'(2)=—3,

因此，r(2022)+/(2023)=-3-2=-5.

故选：A.

20.(2018,河南,校联考二模)已知函数“xNG+sinG-R,则实数的值是()

A.4036B.2018C.1009D.1007

【答案】C

Y1

【详解】分析：分别令冢%)=；7±7,h(x)=sin(x--),求得函数的对称中心，从而计算

2x-l2

2018卜2018女

苧%才】。。9曾引才。，进而求得结果•

X1

详解：由题意，函数，(x)=71+sin(龙-:)，

令丫、_上.；(21)+g1I>则g(x)的对称中心为([1)，

gW-2^T"2x-l"22^122

2018n1

所以g(x)+g(D=l,则2>(而下=2018x3=1009,

k=i19L

令〃(x)=sin(x-1),则//(x)的对称中心为(1+左乃,0)(左eZ),

22

I警k

所以q,0)为函数无(X)的对称中心，则Mx)+/z(l—x)=0,所以»(而不)=。,

2k=i2U19

2018女2018卜2018n

所以自丐丽)=¥(而/称，历)=1°°T故选U

点睛：本题考查了函数的对称性的应用，解得中分别令g(尤)=7三Y，h(x)=sin(x1-M,求得函数g(x),/<龙)

Zx—12

的对称中心是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一

定的难度，属于中档试题.

21.(2022•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)已知定义在R上的偶函数Ax)满足/(-X)+/(尤-2)=0,

当一iWxWO时，/(x)=(l+x)e",贝I]()

A./(tan等卜/(2022)</卜£|B./(2022)<[tan答(inJ

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C.小A<7(2022)<[tan守D./(2022)<小gj<[tan等j

【答案】B

【分析】根据所给函数的条件，分别推算出xe(O,l]和xe(l,2]区间的解析式，

311

并计算出函数的周期，将自变量x=2022,x=tan二万，尤=ln：转换到相应的区间，

242

利用函数的单调性即可比较大小.

【详解】由已知条件可知/(—x)=/(x),/(-x)+/(x-2)=/(x)+/(2-x)=0,/(x)=-/(2-x),

0/(x)关于直线x=0和点(1,0)对称,

回/(x)的周期为1x4=4,

当xe(O,l]时，-xe[-l,0),由于是偶函数，〃,=/(-幼=(1)1，

当xw(l,2]时，2_x«0,l],/(x)=-/(2-x)=-[1-(2-x)]e42^=(1-x)e^2,

/(彳)=-廿<0,即〃x)在无«1,2]时是减函数；

函数图像如下：

/1tan五%J=/(-tan五"卜/1tan五万J,右)</[tan万万卜了⑴，

/(V3)>/(2),

/^ln^=/(-In2)=/(in2),In1<In2<Ine,0<In2<1,/(in2)=(1-In2)e-ln2=^.(l-ln2)>0,

/(2022)=/(505x4+2)=/(2)=(l-2)e2-2=-l,

第14页共33页

1

.■./ln|>/tan|l^>/（2022）；

2

故选：B.

22.（2022•新疆喀什•统考一模）设函数〃x）的定义域为R,〃x+l）为奇函数，“x+2）为偶函数，当xe［l,2］

9

时，f(x)=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,则/)

9375

A.——B.C.一D.-

4242

【答案】D

【分析】通过/（x+1）是奇函数和“x+2）是偶函数条件，可以确定出函数解析式〃％）=-2*2+2,进而利

用定义或周期性结论，即可得到答案.

【详解】［方法一］：

因为/（x+1）是奇函数，所以/（一%+1）=-/（尤+1）①;

因为/（x+2）是偶函数,所以/（x+2）=/（f+2）②.

令x=l,由①得：/（0）=-/（2）=-（4«+^）,由②得：f（3）=/（l）=«+^,

因为〃。)+/(3)=6,所以—(4a+6)+a+b=6=a=—2,

令尤=0,由①得：/(l)=-/(l)n/(l)=On人=2,所以/(x)=_2d+2.

思路一：从定义入手.

IJ41+2(|+27

_13

2II

935

所以/

［方法二］:

因为/（X+1）是奇函数，所以/（—x+l）=—/（X+1）①;

因为/（x+2）是偶函数，所以〃x+2）=/（-x+2）②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4«+^)>由②得：/(3)=/(1)=«+&,

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因为/（。）+/（3）=6,所以一（4a+/?）+a+b=6=a=-2,

令x=0,由①得：/(1)=一/(1)=/(1)=0=6=2,所以/(元)=—2f+2.

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(x)的周期7=4.

故选：D.

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计

算的效果.

f(l—a)x—2a,x<0

23.(2023・辽宁抚顺•校考一模)已知函数/(无)=，在R为单调函数，则实数。的取值范围

为.

【答案】J，1

【分析】由x»0,得/(x)=31为单调递增函数，从而得Ax)在R为单调递增函数，列出不等式组求解即

可.

【详解】解：因为当尤20时，〃x)=3i,单调递增，

又因为Ax)在R为单调函数，

所以AM在R为单调递增函数，

一一Jl-Q>0

所以j(l—Q)X0—2aW3g'

解得-

6

所以实数4的取值范围为：-1,11

故答案为：一

fV+1y>o

24.(2023上•四川成都•高三校考阶段练习)若函数/(幻=:一八在(-8,+8)上单调递增，则机的

取值范围是—

【答案】(0,3]

【分析】先分析每段函数是增函数时加的取值范围，然后考虑在分段点x=0处两段函数值的大小关系.

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2%+1r>0

【详解】回函数/(')=:"八在(-8,+8)上单调递增，

[mc+m-l,x<Q

回函数y=g+m-l在区间(-oo,0)上为增函数，

fm>0

%*2。+1=2,解得°<根<3，

回实数加的取值范围是(0,3].

故答案为(0,3].

【点睛】求解分段函数的单调性，不仅要考虑到每段函数的单调性，还需要分析在分段点处两段函数的函

数值的大小比较.

25.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃尤)=log2(x+7?7T)+e-eT+2,则不等式f(2x+5)+/(3—x”4

的解集为.

【答案】[-8,+8)

【分析】设函数8(元)=1。82(元+7^)+。'—「，得到关于函数g(x)的不等式，判断函数g(x)的性质，利

用函数性质得到简单的一元一次不等式，解不等式，得结果.

【详解】设函数g(x)=log2(x+777T)+e,-eT,贝iJf(x)=g(x)+2,/(2x+5)=g(2x+5)+2,

/(3-x)=g(3-x)+2,

所以/(2x+5)+/(3—尤)=g(2x+5)+2+g(3—尤)+224,

化简得g(2x+5)+g(3-x)N0.

因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，

22x

且g(—x)+g(尤)=log2(—x+yjx+1)+e-“-e*+log2(尤+Jx+1)+e*—e~,

=log>]-x+J尤2+l)(x+Jx?+1)]=lnl=0,

所以g(x)为奇函数，

当XNO时，函数y=%+777T单调递增，又函数y=Iog2X在其定义域上单调递增，所以y=log2(x+7771)

单调递增，又函数、=以『-6-*单调递增，故函数g(x)单调递增，又g(x)为奇函数，

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所以g(尤Nlogzk+TZZj+eX-eT在R上单调递增,

^g(2x+5)>-g(3-x)=g(x-3),得2x+52x—3,

解得:xN-8,即原不等式的解集为卜&田).

故答案为：[-8,+Q0).

26.(2021・四川遂宁•统考模拟预测)己知函数f(x)=log2(A/?W-x),若对任意的正数〃，b,满足

/(a)+/(3匕-2)=0,则±3+；I的最小值为____.

ab

【答案】6

【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根/(。)+/(36-1)=。得。+36=1,最后根据基本不等式"1"的妙用

求最值.

【详解】因为病了1一了>0恒成立，所以函数Ax)的定义域为R,

/(X)+/(-X)=log-+log,(JY+1+X)=0,

2/-j-

V.r+l+x''

所以/(x)为奇函数，

又./(x)=log2—,当x>0时，“x)=log2f在(0,+8)上单调递增，t=-j==—在(。,+8)上单调

Vx+l+xM+1+x

递减，

/(x)=l°g2/---在(0,+oo)上单调递减，

，尤/+1+X

则/(x)=log2(7771-x)在(-8,0)上单调递减，又f{x}在X=o处连续，

所以Ax)在R上单调递减，

f(a)+f(3b-2)=0,/(a)=/(2-36),

a=2—3b,BPtz+3Z?=2,

/々八a、[9b―a

(Q+3Z?)=----1---F6>——x—F3=3+3=6

2\ab)\ab

当且仅当9吆b=ag即a=l,匕=1:时，等号成立，所以3义+1：的最小值为6.

ab3ab

故答案为：6.

27.(2022•全国•统考高考真题)若/(x)=lna+3+b是奇函数，则。=___，b=_____

1—X

【答案】-；；In2.

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【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】［方法一］:奇函数定义域的对称性

若〃=0,则了⑺的定义域为{xlxwl},不关于原点对称

若奇函数的/（%）=历1。+1+匕有意义，则XW1且。+J-wO

1-x1-X

「.XW1且XW1+L

a

函数为奇函数，定义域关于原点对称，

1H■—=—1,解得〃二一二，

a2

由/（。）=。得，加g+b=O,

:.b=ln2,

故答案为:Ini.

2

［方法二］:函数的奇偶性求参

a-ax+l\,Iax-a-1

f(x)=lna+----\+b=ln\--------\+b7=ln\+b

1-x111-x

ax+a+\

/(—%)=In+b

1+x

•.・函数"%）为奇函数

，/、c/、7ax-a-l\JIax+a+1_„

f(x)+jf(-x)=In--------\+ln\---------b2Z7?=0

1-x111+x

a2%2—(〃_|_1)2

In+2b=0

x2-1

/3+1)21

——=-----=>2。+1=0=>。=—

112

—2b=In—=—2ln2nb=ln2

4

17c

a=——,b7=InZ

2

［方法三］:

因为函数/（x）=lna+J—+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

1—X

由4可得，。一耳（。+1一依）20,所以x=q±l=-l,解得：«=-1即函数的定义域为

1-xa2

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(^,-l)u(-l,l)u(l,^>),再由"0)=0可得，b=ln2.即/(x)=ln-:+「-+ln2=ln产，在定义域

内满足〃-司=-〃可，符合题意.

故答案为：-3；ln2.

28.(2018•全国•高考真题)已知函数〃无)=ln(7i7，T+l,%)=4,则/'(-力.

【答案】-2

【分析】发现f(x)+f(-x)=2,计算可得结果.

【详解】因为f(x)+f(-x)=ln(jl