2022届高考数学一轮复习-计数原理【新教材新高考】

【新教材新高考】专题十四计数原理一一2022届高考数学一轮

复习考点剖析精创专题卷

考点39：排列与组合（1,3,5,8,9,11,14,16,17,19,22题）

考点40：二项式定理（2,4,6,7,10,12,13,15,18,20,21题）

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

1.有5名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学不能相

邻，则不同的站法有（）

A.8种B.16种C.32种D.48种

2.已知筮+吃的展开式中的各项系数之和为32,则展开式中的常数项为（）

A.5B.10C.20D.1

3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每

名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

4.若的展开式中，尤4y3的系数为50,则"2=（）

A.-3C.2D.3

5.随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种.为了配合社区对新冠

疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志

愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独

成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（）

A.32B.40C.48D.56

）

6.已知（1-尤5+（l+x）7-ax+a尤2尤3+。尤5尤6彳7,则a+a+a+a的

012345671357

值为（）

A.24B.-48C.-32D.72

7.已知（2+ax）（l+x）5的展开式中位的系数为25,则展开式中所有项的系数和为（）

A.-99B.97C.96D.-98

8.某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工

作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（）

A.2,6B.3,5C.5,3D.6,2

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区若医疗

小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N,则下列能表

示N的算式是（）

A.C5—CiB.C2c3+C3c2+C4cl+C5

C.C5-C1C4-C5D.C2c3

13766711

10.关于二项式（3x-2）6的说法正确的是（）

A.展开式中所有项的系数之和为64B.展开式中二项式系数最大的项为第4项

C.展开式中所有偶数项的二项式系数和为32D.展开式中此项的系数为-448

11.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，则下列选项

中恰有8种不同站法的是（）

A.甲、乙都不与老师相邻B.甲、乙都与老师相邻

C.甲与老师不相邻，乙与老师相邻D.甲、乙相邻

12.已知w为满足S=a+O+C2+C3+…+C27（63）能被9整除的正整数a的最小值，则

27272727

的展开式中，二项式系数最大的项为（）

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.在（2x+1）15的展开式中，含炉的项是展开式的第项.

14.由于受到疫情影响，某校决定实施学生佩戴口罩、间隔而坐的策略.已知一排有9个座位,

每两名同学之间至少间隔1个空位.若一排要坐4名同学，则不同的坐法有种.

的展开式中，常数项为____________.

16.我国是由56个民族组成的统一的多民族国家，每个民族都有自己独特的民俗风情.某校高

二年级的历史研学课，历史老师准备带8个班去湖南的凤凰古城、常德桃花源、通道皇都侗

寨、永顺老司城、芙蓉古镇进行历史与民俗风情研学要求每个景点至少有1个班去，且每

个景点至多有2个班去，则不同的分法种数是.

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（10分）盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.

（1）将它们全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？

（2）若取到一个白球记2分，取到一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分

的取法有多少种？

18.（12分）已知（1+AWX＞。=a+ax+aX2---\-axio,其中加4o,且。+14a=0.

0121063

（1）求实数相的值；

（2）求a+a+a+a+a-

246810

19.（12分）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

（1）当4个舞蹈节目排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来

节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

20.（12分）在［x-—CieN*）的展开式中.

（1）若所有二项式系数之和为64,求展开式中二项式系数最大的项；

（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和

21.（12分）已知二项式（1+J%）〃展开式中所有项的二项式系数和为64.

⑴求〃的值；

（2）若展开式中所有项的系数和为a+6右，其中为有理数，求。和6的值.

22.（12分）6人坐在一排10个座位上，问:

(1)空位不相邻的坐法有多少种？

(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？

(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?

答案以及解析

1.答案：B

解析：首先将甲排在中间，因为乙、丙两名同学不能相邻，所以两人必须站在甲的两侧,

选出一人排在左侧，有CiAi种方法，

22

另外一人排在右侧，有Ai种方法，

2

余下两人排在余下的两个空中，有A2种方法，

2

所以不同的站法有CiAiAiA2=16种.

2222

故选B.

2.答案：A

的展开式中的各项系数之和为32,所以〃=5.又（x2+

解析:的展开式

既。小-小.吟，令1。-1』，解得』，所以展开式的常数项

的通项为T

r+1

为C4=5.

5

3.答案：C

解析：本题考查排列与组合问题.根据题目条件知花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项

目中有1个项目分配2名志愿者,先分组再排列，可知不同的分配方案共有C2•A,=240（种）.

54

4.答案：B

-r

解析：（x2+y）的通项为Tyr=C%10-2ryr.所以XyT=CrXll-2ryr+l,

'r+155r+15

令（无解；一竺^丁=-mCrX^-2ryr+l,令'解得「=2；3T=3CrX10-2rJr,

[厂+1=3.%2r+15[r+1=3,r+15

P10-2r=4

令",解得r=3.所以X4»的系数为-加C2+3C3=-10帆+30=50,所以根=-2.

\r=3,s5

故选B.

5.答案：C

解析：本题考查排列组合的综合应用根据题意，分两种情况讨论：①分为3,3的两组时,

2名女志愿者不单独成组，有1C3种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有Az种

262

情况，此时共有』C3xA2=20种分配方法.②分为2,4的两组时，有C4XC2=15种分组方

26262

法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到

两个社区参加志愿工作，有A2种情况，此时共有14xAi=28种分配方法.故共有20+28=48

22

种分配方法.故选C.

6.答案：B

解析：由题，令％=可得。-a+a-a+a-a+a-a=27=128①，令％=可得

01234567

a+a+a+a+a+a+a+〃=25=32②，(②一①)+2,可得〃+a+a+a=-48,故选

012345671357

B.

7.答案：C

解析：解法一：因为(2+ax)(l+x)5=(2+QX)XC+5X+10X2+10X3+5%4+短)，

所以/的系数为20+5。，由题意得20+5〃=25,解得〃=1.

设(2+x)(l+x)5=+。产+卜〃6九6，令％=1，得(2+1)(1+1)5=“0+qT+〃6=96.

解法二：由乘法分配律知(2+〃x)(l+x)5的展开式中/的系数为2.q+QC；=20+5〃，所以

20+5^=25,解得〃=1,

设(2+x)(l+X)5=+。产+--卜练九6'

令％=1,得(2+1)(1+1)5=〃0+〃广.・+,=96.故选C.

8.答案：B

解析：设男生人数为“，则女生人数为8-〃，其中G</<8,〃eN*),由题意可知

C2clAa=90,即迎二12.(8-")=15，整理得(〃一3)•Q-6〃-10)=0，

n8-〃32

解得〃=3,所以男、女生人数分别为3,5,故选B.

9.答案：BC

解析：13名医生，其中女医生6人，男医生7人.

利用直接法，2男3女：C2c3；3男2女：C3c2；4男1女：C40；5男：C5,所以

7676767

N=C2c3+C3c2+C4cl+C5;

7676767

利用间接法：13名医生，任取5人，有C5种，1男4女：QC4,5女：C5,所以

13766

N=C5—ClC4—C5,

13766

所以能表示N的算式是BC.

10.答案：BC

解析：令x=l,可得展开式中所有项的系数之和为1,故A错误；由〃=6可知，展开式中

二项式系数最大的项为第4项，故B正确；展开式中所有偶数项的二项式系数和为丝=32,

2

故C正确；(3x-2)6的展开式的通项公式为T=C(3x)6一.(-2)「，所以展开式中工2项为

r+l6

C4(3尤)2.(-2)4=2160x2,故D错误.故选BC.

6

11.答案：CD

解析：对于A,甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相邻两边，有2种站

法，所以有2x2=4种站法，不符合；

对于B,同A一样，有4种站法，不符合；

对于C,甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种

站法，所以有2x2x2=8种站法，C符合；

对于D,甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，且甲、乙还可以相互交换，有x2

种站法，丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有2x2x2=8种站法，D符合.

12.答案：AB

解析：S=a+O+C2+C3+...+C27

27272727

=a+Co+G+C2+・・・+C27—1=。+227—1=(9-1>+。-1=

27272727

0)99-C198+C297-C396+C495-C594+C693—C792+C89-C9+a-l

9999999999

=9^8-097+—FC8)+〃一2,

99

心3,二.S能被9整除的正整数a的最小值是2=9,/.〃=11.

M=11,

,其展开式的二项式系数最大的项为第6,7项.

故选AB.

13.答案：11

解析：(2X+1)B的展开式的通项公式为T=G(2x)15-*=0,1,2,…,15),令15-厂=5,得

r+115

r=10,所以含©的项是展开式的第11项.

14.答案：360

解析：本题考查排列组合.先排5张空椅子，然后将4名同学进行插空，共有A,=360种不

6

同的坐法.

15.答案：14

解析：本题考查二项式定理的应用.1曰-4：的展开式的通项

T=c，­(-&»=G(-1>27-14,令L「一14=0,得r=6,贝1]C6x2=14,即常数

r+l7^X2)737

项为14.

16.答案：50400

解析：由题意可知这5个景点中有3个景点各有2个班去，有2个景点各有1个班去.先分

l

组，将8个班分成5组，有4r2c^2r2=420(种)分法再排列，将5组分别排到5个景点中

A3

3

去,有A5=120(种)排法.所以不同的分法种数是420x120=50400.

5

17.答案：(1)首先将5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，贝13个黑球两两不相邻

的排法有A5A3=5x4x3x2xlx6x5x4=14400种.

56

(2)从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3

个白球2个黑球、2个白球3个黑球，故共有C5+C1C4+C2C3+C3C2=56种.

5353535

18.答案：(1)(1+妙)10的展开式的通项为T=Cr(mx)r=CrmrXr,所以。=C3加3,

r+11010310

a=C6侬，

610

依题意得C6机6+14c3m3=0,即210m6+14x120机3=0，整理得nv>Cn3+8)=0，因为mw0,

1010

所以加3=-8,所以用=-2.

(2)由(1)得加=—2,所以(l—2x)io=〃+ax+a+axw.

01210

%=1,a+Q+Q+a+a+Q+a+a+a+a+a—(1—2)io=1.(J)

012345678910

令^x——19a—-a+Q.—u.+u.—a+a—a+a—(1+2)io—31。.②)

012345678910

①+②得2(a+a+Q.+4+U.+〃)=1+3io，

0246810

1+310

即nnQ+〃+〃+〃+〃+〃-------

02468102

又a=Co(-2)0=1，

010

匚广1、।]+3103io_1

所1以Q+〃+〃+〃+“=—1=二29524•

24681022

19.答案：(1)第一步，将4个舞蹈节目“捆绑”起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起

排列，有A7=5040种方法;

7

第二步，“松绑”，给4个舞蹈节目排序，有A4=24种方法.

4

根据分步乘法计数原理，一共有5040x24=120960种安排顺序.

(2)第一步，将6个演唱节目排成一列，有A6=720种方法，排好后形成7个空；

6

第二步，将4个舞蹈节目插入7个空中，有A4=840种方法.

7

根据分步乘法计数原理，一共有720x840=604800种安排顺序.

(3)加入2个节目后共有12个节目，若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有An种排

12

法，但原来的10个节目已定好顺序，所以节目演出的顺序有经■nA?=132种.

A1012

10

20.答案：(1)由已知得Co+Q+…+C”=64,即2〃=64,解得〃=6,

nnn

所以展开式中二项式系数最大的项是第四项，即C3X3--X-3=2OX-1XX0=-2.

<JI2J18)2

(2)〔4--I]