江苏省无锡市东湖塘中学2024届十校联考最后数学试题含解析

江苏省无锡市东湖塘中学2024学年十校联考最后数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零

件.设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）

240200240200

A.---二B.—

Xx—8x+8X

240200240200

C.---二D.—

Xx+8x—8X

2.下列计算正确的是（）

422222

A.-ab4-ab=-abB.(aL-b)=a-b

C.a2*a3=a6D.-3a2+2a2=-a2

3.如图是测量一物体体积的过程:

步骤一：将180mL的水装进一个容量为300mL的杯子中;

步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；

步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

步骤一步骤二步骤三

根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？（1mL=lcm3）（）.

A.10cm3以上，20cm3以下B.20cm3以上，30cm3以下

C.30cm3以上，40cm3以下D.40cm3以上，50cm3以下

4.如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）

A-V=X2+1B-v=x-1C-V=（x+I）2D-V=（x-1）2

5.如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置.如果△ABC的面积为10,且sinA

=好，那么点C的位置可以在（）

5

A.点Ci处B.点C2处C.点C3处D.点C4处

6.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,n）与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包

含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-iWaW，；③对于任意实数m,a+b>am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-l

有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，在AABC中，NC=90°,AC=4,=3,将AABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段A6上的点E处，点B

落在点。处，则5。两点间的距离为（）

A.V10B.2夜C.3D.75

8.关于x的方程x2+(k2-4)x+k+l=0的两个根互为相反数，则k值是()

A.-1B.±2C.2D.-2

9.下列各式中计算正确的是()

A.x3»x3=2x6B.(xy2)3=xy6C.(a3)2=a5D.t10-rt9=t

10.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为()

9898

A.m>—B.m—C.m=—D.m=—

8989

11.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A.x2+6x+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.(x-1)2+l=0

一x-6W1-x

12.对于不等式组3—3,下列说法正确的是()

3(x—1)<5x—1

A.此不等式组的正整数解为1,2,3

7

B.此不等式组的解集为

C.此不等式组有5个整数解

D.此不等式组无解

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.若一个棱柱有7个面，则它是棱柱.

14.分解因式:a3-4a=.

15.正五边形的内角和等于___度.

16.与直线y=2x平行的直线可以是（写出一个即可）.

17.二次函数y=ax?+bx+c（aw0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:

_2£3_

X・・・-101・・・

~2~222

_5__9_57_

y・・・-2-20・・・

一1~4-44

则ax2+bx+c=0的解为

18.已知正比例函数的图像经过点M（_2/）、如果x/<X2，那么力y>2'（填“>"、"="、

“V”）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）（1）计算：-sin61°+（y）-2-（n-布）L

x-3（x-l）<7®

（2）解不等式组2-5x_，并把它的解集在数轴上表示出来.

1------------追

L3

20.（6分）如图1,定义：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作ctana,即ctana

=鬻酷卷根据上述角的余切定义，解下列问题：

（1）如图1,若BC=3,AB=5,贝！JctanB=；

(2)ctan60°-；

(3)如图2,已知：△ABC中，NB是锐角，ctanC=2,AB=10,BC=20,试求NB的余弦cosB的值.

21.(6分)定义：对于给定的二次函数y=a(x-h)2+k(ar0),其伴生一次函数为y=a(x-h)+k,例如：二次函

数y=2(x+1)2-3的伴生一次函数为y=2(x+1)-3,即y=2x-1.

(1)已知二次函数y=(x-1)2-4,则其伴生一次函数的表达式为；

(2)试说明二次函数丫=(x-1)2-4的顶点在其伴生一次函数的图象上；

(3)如图，二次函数y=m(x-1)2-4m(m/0)的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A,且两函数图

象的交点的横坐标分别为1和2,在NAOB内部的二次函数y=m(x-1)2-4m的图象上有一动点P,过点P作x轴

3

的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q,设点P的横坐标为n,直接写出线段PQ的长为5时n的值.

22.(8分)如图，抛物线y=ax?—2ax+c(a/0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,

4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

PM的长；在(2)的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.

23.（8分）如图，AB、CD是。O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE,求证：ND=NB.

24.（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF,求证：AE=CF.

25.（10分）如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成,

底座短，直线L且AE=25a〃，手臂AB=5。=60。〃，末端操作器CD=35m,AF直线乙当机器人运作时，

ZZMF=45°,ZABC=75°,ZBCD=60°,求末端操作器节点。到地面直线L的距离.（结果保留根号）

26.（12分）如图，在AABC中，AB^AC,AE是边上的高线，平分NABC交AE于点M,经过3,M

两点的）。交8C于点G,交AB于点F,EB为）。的直径.

（1）求证：是。的切线；

2

（2）当BE=3,cosC=1时，求。。的半径.

27.（12分）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和8型两行环保节能公交

车共10辆，若购买A型公交车1辆，8型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，3型公交车1辆，

共需350万元，求购买A型和5型公交车每辆各需多少万元？预计在该条线路上A型和3型公交车每辆年均载客量

分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和3型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车

在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用

是多少？

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解题分析】

根据题意设出未知数，根据甲所用的时间=乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.

【题目详解】

设乙每天完成x个零件，则甲每天完成(x+8)个.

2402003止

即得，-----=——，故选B.

x+8x

【题目点拨】

找出甲所用的时间=乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.

2、D

【解题分析】

根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【题目详解】

-a4b+ab=-a2,故选项A错误，

(a-b)2=a2-2ab+b2,故选项B错误，

1,/=/,故选项c错误，

-3a+2a=-a,故选项D正确，

故选：D.

【题目点拨】

考查整式的除法，完全平方公式，同底数塞相乘以及合并同类项，比较基础，难度不大.

3、C

【解题分析】

分析：本题可设玻璃球的体积为X,再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可.

"3%<300-180

详解：设玻璃球的体积为X,则有

4%>300-180

解得30<x<l.

故一颗玻璃球的体积在30cm3以上，1cm3以下.

故选C.

点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x的取值范围.

4、D

【解题分析】

本题主要考查二次函数的解析式

【题目详解】

解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式为丫=2仅-11产+匕由原抛物线解析式

Y=*2可得a=L且原抛物线的顶点坐标为(0,0)，向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0)，故平移后的解析式为丫=仅」产

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.

5、D

【解题分析】

如图：

•••AB=5,S&ABC=10,.IDC4=4,YsinA=，，如=匹=3,，AC=4下,

55ACAC

22

在RTAAD。4中，D=4,AD=8,:.AC4=78+4=4逐，故答案为D.

6、D

【解题分析】

利用抛物线开口方向得到a<0,再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a,贝！|3a+b=a,于是可对①进行判断；利用把处3

和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-l有两个交点可

对④进行判断.

【题目详解】

•••抛物线开口向下，

/.a<0,

而抛物线的对称轴为直线x=-5=l,即b=-2a,

/.3a+b=3a-2a=a<0,所以①正确；

V2<c<3,

而c=-3a,

.\2<-3a<3,

•,.-l<a<-p所以②正确；

\•抛物线的顶点坐标（1,n）,

，x=l时，二次函数值有最大值n,

a+b+c>am2+bm+c,

即a+b>am2+bm,所以③正确；

•••抛物线的顶点坐标（1,n）,

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-l有两个交点，

二关于x的方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，所以④正确.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，抛物线向上开口;

当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y

轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）.抛物线与

x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;

△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

7、A

【解题分析】

先利用勾股定理计算出AB,再在RtABDE中，求出BD即可；

【题目详解】

解：,.,ZC=90°,AC=4,BC=3,

；.AB=5,

「△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，

AAE=AC=4,DE=BC=3,

.\BE=AB-AE=5-4=1,

在RSDBE中，BD=.32+]2=回,

故选A.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.

8、D

【解题分析】

根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可.

【题目详解】

设方程的两根分别为XI,XI,

•••一+(k!-4)x+k-l=O的两实数根互为相反数，

xi+xi,=-(kx-4)=0,解得k=±l,

当k=L方程变为：xi+l=0,△=-4<0,方程没有实数根，所以k=l舍去；

当k=-L方程变为：尺-3=0,A=U>0,方程有两个不相等的实数根；

k=-l.

故选D.

【题目点拨】

hr

本题考查的是根与系数的关系.XI,XI是一元二次方程axi+bx+c=0(a/0)的两根时，xi+x尸-一，x1x尸一，反过来

aa

也成立.

9、D

【解题分析】

试题解析：A、丁.%3=%6,原式计算错误，故本选项错误；

B、(盯2)3=13,6,原式计算错误，故本选项错误；

C、(/)2=。6,原式计算错误，故本选项错误；

D、严+/=/,原式计算正确，故本选项正确；

故选D.

点睛：同底数塞相除，底数不变，指数相减.

10、c

【解题分析】

试题解析：•••一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，

△=32-4x2m=9-8m=0,

9

解得：m=-.

8

故选C.

11、B

【解题分析】

分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可.

详解：A、X2+6X+9=0.

△=62-4x9=36-36=0,

方程有两个相等实数根；

B、x2=x.

x2-x=0.

△=(-1)2-4xlx0=l>0.

方程有两个不相等实数根；

C、x2+3=2x.

X2-2X+3=0.

△=(-2)2-4xlx3=-8<0,

方程无实根；

D、(x-1)2+l=0.

(x-1)2=-1,

则方程无实根；

故选B.

点睛:本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a,0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当

△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当A=0时，方程有两个相等的实数根；③当AV0时，方程无实数根.

12、A

【解题分析】

—x-6<1--77

解：33解①得烂不，解②得%>-1,所以不等式组的解集为-1〈亡一，所以不等式组的整数解

3(x-l)<5x-l(D

为1,2,1.故选A.

点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）.解决此类问题的关键在于正确

解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而

求得不等式组的整数解.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、5

【解题分析】

分析：根据n棱柱的特点，由n个侧面和两个底面构成，可判断.

详解：由题意可知：7-2=5.

故答案为5.

点睛：此题主要考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键.

14、a（a+2）（a-2）

【解题分析】

o'-4-a

—a^ci~-4）

=a（a+2）（a-2）

15、540

【解题分析】

过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成3个三角形

二正五边形的内角和=3x180=540°

16、y=-2x+5（答案不唯一）

【解题分析】

根据两条直线平行的条件：k相等，b不相等解答即可.

【题目详解】

解：如y=2x+l（只要k=2,b和即可,答案不唯一）.

故答案为y=2x+l.（提示：满足y=2x+b的形式，且b/0）

【题目点拨】

本题考查了两条直线相交或平行问题.直线y=kx+b,（k/0,且k,b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；

当k不同，且b相等，图象相交；当k,b都相同时，两条直线重合.

17、x=—2或1

【解题分析】

由二次函数y=ax?+bx+c(a/0)过点(-1,-2),(0,-2),可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点(1,0),即

可求得此抛物线与x轴的另一个交点.继而求得答案.

【题目详解】

解：•二次函数y=ax'+bx+c(a#0)过点(-1,-2),(0,-2),

...此抛物线的对称轴为：直线x=-4，

2

•.•此抛物线过点(1,0),

,此抛物线与x轴的另一个交点为：(-2,0),

•*.ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1.

故答案为x=-2或1.

【题目点拨】

此题考查了抛物线与x轴的交点问题.此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键.

18、>

【解题分析】

分析：根据正比例函数的图象经过点M(-1,1)可以求得该函数的解析式，然后根据正比例函数的性质即可解答本

题.

详解：设该正比例函数的解析式为片质，则1=-1左，得：仁-0.5,.R=-0.5%.•.•正比例函数的图象经过点A(xi,

71)、B(xi,ji),xi<xi,

故答案为〉.

点睛：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)5；(2)-2<x<-

2

【解题分析】

(1)原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值以及二次根式的乘法计算，第三项利用负整数

指数塞法则计算，最后一项利用零指数塞法则计算，然后根据实数的运算法则计算即可得到结果；

(2)先求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可.

【题目详解】

(1)原式=-l+2gx@+4-1,

2

=—1+3+4—1,

（2）解不等式①得，x>-2,

解不等式②得，x<-1，

2

所以不等式组的解集是-2Vx<-4.

2

用数轴表示为：

-^51iT^OTO12*

【题目点拨】

本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，零指数幕，不等式组的解法，是综合题，但难度

不大，计算时要注意运算符号的处理以及解集公共部分的确定.

【解题分析】

试题分析：（1）先利用勾股定理计算出AC=4,然后根据余切的定义求解;

（2）根据余切的定义得到ctan60*—/,然后把tan6（r=«代入计算即可;

tan60

LTf

（3）作AH1BC于H,如图2,先在RtAACH中利用余切的定义得到ctanC=—=2,则可设AH=x,CH=2x,BH=BC

222

-CH=20-2x,接着再在RtAABH中利用勾股定理得到（20-2x）+x=10,解得xi=6,x2=10（舍去），所以BH=8,

然后根据余弦的定义求解.

解：⑴VBC=3,AB=5,

AC=\/52-3，

.•.c,tanRB=——BC=—3；

AC4_

(2)ctan60°=-

tan60V33

(3)作AHJ_BC于H,如图2,

ur

在RtAACH中，ctanC=—=2,

AH

设AH=x,则CH=2x,

；.BH=BC-CH=20-2x,

在RtAABH中，VBH2+AH2=AB2,

**.(20-2x)2+x2=102,解得xi=6,X2=10(舍去),

.\BH=20-2x6=8,

图2

考点：解直角三角形.

21、y=x-5

【解题分析】

分析：(1)根据定义，直接变形得到伴生一次函数的解析式；

(2)求出顶点，代入伴生函数解析式即可求解；

(3)根据题意得到伴生函数解析式，根据P点的坐标，坐标表示出纵坐标，然后通过PQ与x轴的平行关系，求得Q

点的坐标，由PQ的长列方程求解即可.

详解：(1)•.•二次函数y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函数的表达式为y=(x-1)-4=x-5,

故答案为y=x-5；

(2)•.•二次函数y=(x-1)2-4,

，顶点坐标为(1,-4),

•.,二次函数y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函数的表达式为y=x-5,

当x=l时，y=l-5=-4,

二(1,-4)在直线y=x-5上，

即：二次函数丫=(x-1)2-4的顶点在其伴生一次函数的图象上；

(3),二次函数y=m(x-1)2-4m,

•••其伴生一次函数为y=m(x-1)-4m=mx-5m,

•••P点的横坐标为n,(n>2),

.*.P的纵坐标为m(n-1)2-4m,

即：P(n,m(n-1)2-4m),

；PQ〃x轴,

/.Q((n-1)2+l,m(n-1)2-4m),

PQ=(n-1)2+l-n,

3

・・•线段PQ的长为5,

3

(n-1)2+1-n=—,

2

点睛：此题主要考查了新定义下的函数关系式，关键是理解新定义的特点构造伴生函数解析式.

484

22、(1)抛物线的解析式为y=—§x-9+§x+4；(2)PM=--m9-+4m(0<m<3)；(3)存在这样的点P使APFC

23

与AAEM相似.此时m的值为一或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.

16

【解题分析】

(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax?-2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点

P、点M的坐标，即可得到PM的长.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况

进行讨论：①△PFCsaAEM,②△CFPs^AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据

相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判

断出△PCM的形状.

【题目详解】

解：(1)\•抛物线丫=即2一2ax+c(a邦)经过点A(3,0),点C(0,4),

.4

/产解得「二一7

c=4

48

・•・抛物线的解析式为y=--x29+jx+4.

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

VA(3,0),点C(0,4),

,解得卜=-i

3k+b=0

b=4

b=4

4

二直线AC的解析式为y=--x+4.

:点M的横坐标为m,点M在AC上,

一4

・，・M点的坐标为(m,—m+4).

3

48

:点P的横坐标为m,点P在抛物线y=—§x29+：x+4上，

_4O8

，点P的坐标为(m,----m~H—m+4).

33

4,844,

,*.PM=PE—ME=(——n:+—m+4)—(——m+4)=——m+4m.

3333

4,

，PM=——m2+4m(0<m<3).

3

(3)在(2)的条件下，连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM

相似.理由如下：

-4428428

由题意，可得AE=3-m,EM=一一m+4,CF=m,PF=一一m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

①若APFCsaAEM,贝!|PF：AE=FC：EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

口23

m邦且m彳3,..m=—.

16

VAPFC^AAEM,/.ZPCF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,.*.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，•.•NCMF+NMCF=90°,/.ZPCF+ZMCF=90°,即NPCM=90。.

.,.△PCM为直角三角形.

②若ACFPs/\AEM,贝!|CF：AE=PF：EM,即m：(3-m)=(--m2+-m)：(--m+4),

333

m/0且m彳3,m=1.

,/△CFP^AAEM,.\ZCPF=ZAME.

VZAME=ZCMF,AZCPF=ZCMF./.CP=CM.

.,.△PCM为等腰三角形.

23

综上所述，存在这样的点P使APFC与△AEM相似.此时m的值为一或1,APCM为直角三角形或等腰三角形.

16

23、证明见解析.

【解题分析】

根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是。。的直径，则cn)=AEB，由FD=EB,得，FD=EB，由等量减去

等量仍是等量得：CFD—FD=AEB—EB，即PC=AE，由等弧对的圆周角相等，得/D=NB.

【题目详解】

解：方法（一）

证明：TAB、CD是。O的直径,

・•・CFD=AEB.

VFD=EB,

••FD-EB,

・•・CFD-FD=AEB-EB-

即FC=AE-

/.ZD=ZB.

方法（二）

证明：如图，连接CF,AE.

；AB、CD是。O的直径，

，NF=NE=90。（直径所对的圆周角是直角）.

VAB=CD,DF=BE,

/.RtADFC^RtABEA（HL）.

；.ND=NB.

【题目点拨】

本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解.

24、见解析

【解题分析】

根据平行四边形性质得出AD〃BC,且AD=BC,推出AF〃EC,AF=EC,根据平行四边形的判定推出四边形AECF

是平行四边形，即可得出结论.

【题目详解】

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,且AD=BC,

...AF〃EC,

；BE=DF,

.,.AF=EC,

二四边形AECF是平行四边形，

/.AE=CF.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形

是平行四边形.

25、(30A/2+20)cm.

【解题分析】

作BGLCD,垂足为G,BH±AF,垂足为H,解RtACBG和RtAABH,分别求出CG和BH的长，根据D到L的

距离=+AE-(CD-CG)求解即可.

【题目详解】

如图，作BGLCD,垂足为G,BH±AF,垂足为H,

在RtACBG中,ZBCD=60°,BC=60cm,

CG=BCcos60°=30,

在RfAABH中，ZBAF=45°,AB=60cm,

,BW=AB-sin45°=3O>/2,

/.D至！）L的距离=BH+AE-（CD-CG）=30夜+25-5=（30亚+20）cm.

【题目点拨】

本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段.

26、(1)见解析；(2),。的半径是

【解题分析】

(1)连结易证由于AE是边上的高线，从而可知所以AM是二。的切线.

(2)由于/归=4。，从而可知石。=5石=3,由cosC=—=—，可知：AC=-EC=—,易证AAOM:AABE,

5AC22

所以"=42,再证明