五年级寒假奥数培优讲义-5-05-不定方程4-讲义-教师

第5讲不定方程【学习目标】1、熟悉不定方程的概念；2、掌握不定方程的常用解法；3、会解不定方程应用题。【知识梳理】未知数的个数多于方程的个数的方程(或方程组)就叫做不定方程(或方程组)。不定方程(组)，就是方程(组)的解不确定，有的方程(组)有无数多组解，有的方程(组)没有解，有的方程(组)有有限组解。我们经常关心这类方程(组)的整数解，正整数解或有理数解。【典例精析】【例1】求方程11x+15y=63的自然数解。【趁热打铁-1】求方程3x+5y=54的自然数解。【例2】某国硬币有5分和7分两种，用这两种硬币支付142分的货币，有多少种不同的方法？解：设5分硬币有x个，7分硬币有y个，5x+7y=142【趁热打铁-2】有大、小两种房间，大的能住7人，小的能住4人，41个同学全部入住，问需要大、小房间分别是间。解：设大房间有x间，小房间有y间。7x+4y=41【例3】某地按下列规定收取电费，每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年7月,甲用户比用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数取整数）解：由题意可知，甲超过了50度，乙没有超过50度，设甲超过了x度，乙还差y度到50.8角=80分，4角5分=45分，3元3角=330分。80x＋45y=330∴甲：50+3=53（度）乙：50-2=48（度）【趁热打铁-3】某地按下列规定收取电费，如果每月用电不超过24度，就按每度电9角钱收取；如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中甲家比乙家多交的电费9元6角（电的度数取整数），甲乙两家各交多少电费？解：由题意可知，甲超过了24度，乙没有超过24度，设甲超过了x度，乙还差y度到24.20x＋9y=96∴甲：24×0.9+2×3=27.6（元）乙：（24-4）×0.9=18（元）【例4】把1000拆成两个自然数的和一个是7的倍数，并且要使这个数尽可能大，一个数是11的倍数，并且尽可能使这个数小。这两个数分别是多少？解：设拆成7的x倍和11的y倍。7x+11y=10007×135=94511×5=55【趁热打铁-4】把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9的倍数，并且使这个数尽可能小，这两个数分别是多少？解：设拆成11的x倍和9的y倍。11x+9y=100011×86=9469×6=54【例5】今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场）,计分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，所踢平场数是所踢负场数的整数倍，则小虎足球队负场数的情况有3种。

解：设负x场，平xy场，胜（17-xy-x)场(17-xy-x)×3+xy=1651-3xy-3x+xy=162xy+3x=35x(2y+3)=35【趁热打铁-5】有一座山里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，而平均每个和尚每天恰好吃一个馒头，那么这座山里至少有多少和尚？解：设有x个大和尚，y个小和尚，63+493=556（个）【例6】一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于19,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过5个。解：设有x个红球，y个黄球，（10-x-y）个蓝球。x+2y+3(10-x-y)=192x+y=11【趁热打铁-6】某单位职工到郊外植树，其中的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？解：设男职工有x人，女职工y人。13x+10y+(x+y)×6=2165x+4y=72∴女职工有3人。【例7】公鸡1只5元，母鸡1只3元，小鸡3只1元，今有钱100元，买鸡100只，问公鸡母鸡，小鸡各买多少只？解：设公鸡x只，母鸡y只，小鸡(100-x-y)只。5x+3y+=100小鸡：100-25=75（只）或100-4-18=78（只）或100-8-11=81（只）或100-12-4=84（只）【趁热打铁-7】每只羊价值40元，每头牛价值65元，每只鸡价值2元，如果一农民购买这些动物共100只，共消费3279元，问他购买羊、牛、鸡各多少只？解：设羊有x只，牛有y只，鸡有（100-x-y）只，40x+65y+2(100-x-y)=3279100-23-35=42（只）∴羊23只，牛35只，鸡42只。【过关精炼】求方程的整数解。参加围棋比赛的八段、九段选手有若干个，他们的段位数字加在一起正好是100段，问八段、九段选手各有多少人？解：设八段有x人，九段y人。8x+9y=100东东和九妹各自用了6.4元买了若干支铅笔，他们买来的铅笔都是0.5元一支和0.7元一只的两种，且东东买来的铅笔比九妹多，东东