2024届江苏省高一数学第二学期期末联考试题含解析

2024届江苏省淮海中学高一数学第二学期期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.已知点4（2,—3）,B（—3,—2）,直线/的方程为丘一＞一%+1=0,且与线段48相

交，则直线/的斜率上的取值范围为（）

3133

A.（-oo,-4]u[_,+oo）B.（田，一/31+8）C.[-4,-]

D.£书

2.已知力都是实数，那么“2。＞2户’是“。2〉匕2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列说法隼堡的是（）

A.若样本的平均数为5，标准差为1,则样本

2\+1,2%2+1,25+1,・一,2\+1的平均数为U,标准差为2

B.身高和体重具有相关关系

C.现有高一学生30名，高二学生40名，高三学生30名，若按分层抽样从中抽取20

名学生，则抽取高三学生6名

D.两个变量间的线性相关性越强，则相关系数的值越大

4.4ABe的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,分别根据下列条件解三角形，其中有

两解的是（）

A.a=2*=4,A=120。

B.a=3,Z?=2,A=45。

C.b=6,c=C=60°

D.Z?=4,c=3,C=30。

5.设/G）,g（x）是定义在R上的两个周期函数，/（X）的周期为4,gG）的周期

为2,且/（X）是奇函数.当xe（0,2]时，/（x）=Jl—（1）2,

左(x+2),0<A:<1

1,c,其中左〉0.若在区间(0,91上，函数/i(x)=/(%)-g(x)

g(x)=<

--,1<x<2

[2

有8个不同的零点，贝火的取值范围是（）

A.B；'用CH]0M

6.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体

均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是

()

A._LB.C.D.

27

7.已知函数/（%）=注抽11（%-1）|,若存在5£&[a,b],且qex2,使/（\）之/（卜）成

立，则以下对实数。力的推述正确的是（）

A.a<lB.a>lC.b<lD.b>l

.r10、

8.sin---71J的值等于（）

A书RW11

CD

2222

9.已知点4（2,—3）,6（—3,—2）,直线/过点且与线段AB相交，则直线/的

斜率左满足（）

3333

A.左2—或左W-4B.kN—或kW-lC.-4<k<-D.-<^<4

4444

10.已知数列益｝的前"项和为S,且满足2s=a+2,则a=（）

nnnn2016

A.1B.-1C.-2D.2016

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知数列3｝满足Q-a—3）Q-2a）=0,若a=3,则a的所有可能值

nn+1nn+1n14

的和为;

12.正方体ABCD—A1VCR中，Ej分别是B/Cq的中点，则AE,即所成的角

的余弦值是.

13.已知。是qA5c内的一点，ZAOB=ZAOC=150°,

\0A=1,OB=X_,6>C=2,贝+；若元=优9+〃。5,则

m+n=,

jrJr

14.已知--<a〈一，若tana=-l,则。=.

22

15.适合条件lsina|=-sina的角a的取值范围是.

兀1

16.用列举法表不集合cos（x——­）=--,XE.[0,7l]>=.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知直线I：2x+3y—1=0与直线/,:3x—2y—8=0的交点为p,点Q是圆

举+、2—2x—4y+3=0上的动点.

（1）求点P的坐标；

（2）求直线PQ的斜率的取值范围.

（\（2x-a,x<\,

18.已知r函数彳°。，，其中aeR.

（1）当a=l时，求f（x）的最小值；

（2）设函数/G）恰有两个零点\，",且凡一\>2,求。的取值范围.

19.如图，平行四边形ABC。中，E是CD的中点，AE交5。于点”.设A月=£,

AD=b.

⑴分别用£,石表示向量AF,DM;

⑵若忖=2忖=4,ZBAD=1,求愈.9.

20.已知向量。=（3,—1）,方=（2,1）.

求：⑴\a+b\.

(2)a与b的夹角的余弦值；

(3)求工的值使xa+3〃与3a—2方为平行向量.

21.已知AABC的角4、8、。所对的边分别是a、6、。，设向量历=(。/)，〃=(sin8,

sinA),p=(b-2,4-2).

(1)若优〃“，求证：AABC为等腰三角形；

兀

(2)若罐，P,边长c=2,角。=^，求的面积.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

直线/过定点P,利用直线的斜率公式分别计算出直线,和PB的斜率，根据斜率

的单调性即可求斜率的取值范围.

【题目详解】

解：直线/：丘一〉一%+1=0整理为左(x-D—(广1)=。即可知道直线/过定点

作出直线和点对应的图象如图：•••4(2,—3),5(-3,-2),尸(1,1),

,-3-1“,-2-13

k=-----=-4,k=------------二—,

尸A2-1PB-3-14

要使直线/与线段A3相交，则直线/的斜率左满足左或左Wk”，

PBPA

3

k«-4或左2—

4

3

即直线/的斜率的取值范围是(—8，-4］。匚,+8),

故选A.

【题目点拨】

本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题.

2、D

【解题分析】

p:2a>2b=a>b；q:。2>。2O网>口|,0>6与眄〉码没有包含关系，故为“既

不充分也不必要条件”.

3、D

【解题分析】

利用平均数和方差的定义,根据线性回归的有关知识和分层抽样原理，即可判断出答案.

【题目详解】

对于A：若样本\，c…,0的平均数为5,标准差为1,

则样本2丁1,2彳2+1,2&+1,i,2\°+1的平均数〃用=11,标准差为2x1=2,

故正确

对于B：身高和体重具有相关关系，故正确

303

对于C：高三学生占总人数的比例为：——-^7=77；

30+40+3010

3

所以抽取20名学生中高三学生有20xm=6名，故正确

对于D：两个变量间的线性相关性越强，应是相关系数的绝对值越大，故错误

故选：D

【题目点拨】

本题考查了线性回归的有关知识，以及平均数和方差、分层抽样原理的应用问题，是基

础题.

4、D

【解题分析】

运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大

角对大边”进行合理排除.

【题目详解】

A.。=2,。=4,4=120。，由。<0,=>4<8所以不存在这样的三角形.

B.。=3/=2,A=45°,由a=bnsin6=正且。所以只有一个角3

sinAsinB3

C.8=6,c=4乔,。=60°中，同理也只有一个三角形.

一cb2

D.匕=4,c=3,C=30°中:）=r^nsin6=K此时b>c,所以出现两个角符

sinCsmB3

合题意，即存在两个三角形.

所以选择D

【题目点拨】

在直接用正弦定理求另外一角中，求出sin0后，记得一定要去判断是否会出现两个角.

5、B

【解题分析】

根据题意可知，函数y=/G）和y=gG）在（0,91上的图象有8个不同的交点，作出

两函数图象，即可数形结合求出.

【题目详解】

作出两函数的图象，如图所示：

由图可知，函数y=/Q）和y=g（x）=一］在（。,91上的图象有2个不同的交点，

故函数y=/（x）和y=g（x）=k（x+2）在xe（0,l］上的图象有2个不同的交点，才可

以满足题意.所以，圆心（1,0）到直线/一y+2/=0的距离为2=JI<1,解得

72+1

0<左<配，因为两点（一2,0）,（1,1）连线斜率为（，所以，1〈人〈之.

4334

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象

之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题.

6、C

【解题分析】

先求出基本事件总数〃=27,在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个

小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的

小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任

取一个其两面涂有油漆的概率.

【题目详解】

二,一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，

基本事件总数〃=27,

在得到的27个小正方体中，

若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，

且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，

则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油

漆的概率p=生

~27

故选：C

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空

间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题.

7、A

【解题分析】

先根据/(x)=|arctanx|的图象性质，推得函数/(x)=1arctan(x—l)I的单调区间，再

依据条件分析求解.

【题目详解】

解：/(x)=|arctanx|是把/(x)=arctanx的图象中％轴下方的部分对称到了轴上方，

二函数在(-00,。)上递减；在上递增.

函数fM=1arctan(x-l)l的图象可由f(x)=|arctanx|的图象向右平移1个单位而

得,

二在（一%1]上递减，在口,+8）上递增,

•.•若存在x,xe[a,b],x<x,使/（%）对（%）成立，；.a<l

121212

故选：A.

【题目点拨】

本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移./（x+a）图象

可由/（x）的图象向左伍〉0）、向右3<0）平移个单位得到，属于基础题.

8、A

【解题分析】

9、A

【解题分析】

画出A,乱尸三点的图像，根据PA,PB的斜率，求得直线/斜率上的取值范围.

【题目详解】

如图所示，过点P作直线PC轴交线段48于点C,作由直线尸4尸3①直线/与

线段的交点在线段AC（除去点C）上时，直线/的倾斜角为钝角，斜率左的范围是

左（左..②直线/与线段A3的交点在线段5c（除去点C）上时，直线/的倾斜角为锐

-3-1-2-13

角，斜率上的范围是女因为左=kr=_4,左=_^=所以直线/的

PBPA2—1PB—3—14

3

斜率左满足左27或左WT.

4

故选:A.

【题目点拨】

本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于基础题.

10、c

【解题分析】

利用S和。关系得到数列｛a｝通项公式，代入数据得到答案.

nnn

【题目详解】

已知数列｛a｝的前"项和为S,且满足2s=<7+2,2S=a+2

nnnnn-1n-1

相减：2a=a-aa=-a（n>2）

nn-1nn-1

取〃2s=〃+2na=2

iii

-

a=2

2016

答案选c

【题目点拨】

本题考查了s和a关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.

nn

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、36

【解题分析】

根据条件得到%｝的递推关系，从而判断出%｝的类型求解出勿｝可能的通项公式,

nnn

即可计算出令的所有可能值，并完成求和.

4

【题目详解】

因为（〃-a-3）Q-2a）=0,所以a=a+3或〃=la,

n+lnn+1nn+1nn+1n

当。=a+3时，｛a｝是等差数列，a=3+3（九一1）=3〃，所以。=3x4=12；

n+1nnn4

当a=2a时，3｝是等比数列，a=3-25，所以a=3-8=24,

n+1nnn4

所以巴的所有可能值之和为：12+24=36.

4

故答案为：36.

【题目点拨】

本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足

a-a=d（d为常数），则3｝是公差为d的等差数列；已知数列满足

n+1nn

乙=q（a产0）,则｛a｝是公比为夕的等比数列.

CL1n

n

1

12、5

【解题分析】

取的中点G,由G4〃8F得出异面直线AE与5歹所成的角为/G4E,然后在

AG4E由余弦定理计算出cosZGAE,可得出结果.

【题目详解】

取。q的中点G,由G4〃8F且G4=B/可得NG4E为所成的角,

设正方体棱长为1,AG4。中利用勾股定理可得AE=AG=一无

2，

又EG=,由余弦定理可得2=2+2-2x史xYEcosNEAG,cosZEAG=

44225

1

故答案为—.

【题目点拨】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合

适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属

于中等题.

131」01

'2一丁

【解题分析】

对式子+°耳两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子反=机。X+“加两

边分别与向量。4,。月进行数量积运算，得到关于机，〃的方程组，解方程组即可得答

案.

【题目详解】

+阿=Q^2++204-05=1+|+2-2^-（-2^）=1

+0B\=-.

•/0C=mOA+nOB,

12（一号）=m.l+〃g.（-号）,

OA-OC=mOA2+nOA•OB,

3

OBOC=mOA-OB+nOB-,1_乃（_#、

z9,—,——in'—>（—）十〃,

解得：m=—2事,〃=_至,•m+n=-1。小

「33

故答案为：；；—上£

乙3

【题目点拨】

本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能

力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.

【解题分析】

由条件利用正切函数的单调性直接求出a的值.

【题目详解】

解：•.•函数yntanx在—<a<—,若tana=—l,则

ct——

71

故答案为：-7.

【题目点拨】

本题主要考查正切函数的单调性，根据三角函数的值求角，属于基础题.

15、{aI2上兀一兀<a<2k兀，keZ}

【解题分析】

根据三角函数的符号法则，得sinaWO,从而求出a的取值范围.

【题目详解】

v|sina|=-sina；.-.sina<0

...a的取值范围的解集为{al2k7i—兀<a<2左兀，keZ}.

故答案为：｛a12k兀一兀<a<2k7i,keZ｝

【题目点拨】

本题主要考查了三角函数符号法则的应用问题，是基础题.

2

16、｛0,§兀｝

【解题分析】

先将工的表示形式求解出来，然后根据范围求出工的可取值.

【题目详解】

兀17171

因为cos(x—至)=],所以x—3■=士耳+2左兀，左£Z,又因为XE[O,兀],所以左=。，

2兀2

此时尤=。或则可得集合：｛°，w兀｝・

【题目点拨】

本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17,(1)(2,-1)；(2)(-<»,-l]u[7,+co).

【解题分析】

2x+3y—1=0

(1)联立方程"。0八求解即可；(2)设直线PQ的斜率为左，得直线PQ的

3x-2y-8=0

\k-2-2k-W广

方程为依—y—2左—1=0,由题意，直线PQ与圆有公共点得——7====—V#求

也2+1

解即可

【题目详解】

2x+3y-l=0[x=2

(1)由〃。Q八得41・,.P的坐标为(2,—1)

3x-2y-6=0[y=-1

.•.P的坐标为⑵―1).

(2)由％2+,2_2%_4,+3=0得(％_1)2+(,_2)2=2

二圆心的坐标为(12),半径为,/2

设直线PQ的斜率为左，

则直线PQ的方程为丘一y—2左一1=0

由题意可知，直线PQ与圆有公共点

Ik—2—211

即——/——工3.,.左W—1或左27

〃2+1

二直线PQ的斜率的取值范围为(T»，—1]D[7,+QO).

【题目点拨】

本题考查直线交点坐标，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，是基础题

18、(1)-14；(2)(0,2]

【解题分析】

(1)当4=1时，利用指数函数和二次函数的图象与性质，得到函数的单调性，即可求

(2)分段讨论讨论函数在相应的区间内的根的个数，函数g(x)=2x-a在xWl时,

至多有一个零点，函数//(x)=ax2—8x+2。在》>1时，可能仅有一个零点，可能有

两个零点，分别求出。的取值范围，可得解.

【题目详解】

(1)当a=l时，函数/G)=<2x—1,x<1

%2-8x+2,x>1

当时，y(x)=2x—1,由指数函数的性质，可得函数/(X)在(—8,1]上为增函

数，且/(x)e(_l,l］；

当x〉l时，f(x)=x2-8x+2,由二次函数的性质，可得函数/(X)在(1,41上为减

函数，在[4,+8)上为增函数,

又由函数/G)=X2—8x+2=(x—41—14,当x=4时，函数/G)取得最小值为

-14；

故当a=1时，/(X)最小值为—14.

(2)因为函数/(X)恰有两个零点卜，所以

(i)当xWl时，函数g(x)=2x—。有一个零点，令g(x)=O得口=2工,

因为时，0<2xW2,所以0<aW2时，函数g(x)=2*—a有一个零点，设零点

为A,且\<1,

此时需函数〃(%)=以2—8x+2。在％>1时也恰有一个零点,

令//(x)=0,即ax2—8x+2a=0,得4二,*二,令加(%)=,8二

X2+2X2+2

8x8(x-x)(2-xx)

m(x)-m(x)=(；+；)(2+A)，

设1<q<［，--4.

34%2+2X2+2

3434

因为1<X<X,所以X2+2〉O,X2+2>0,X-X<0,

343434

当l<x<x时，2-xx>0,所以根(x)—根(x)<0,即根(x)〈根(x),

34343434

所以租G）在（，G）

上单调递增;

当<x时，2-xx<0,所以m(x)-m(x)>0,即根（%3）>根（［）,所

343434

以加+00上单调递减;

8x8z

而当X=1时，----,又%>1时，m（x）>0,所以要使。=----------^在％>1时恰

X2+23%2+2

8

有一个零点，则需0<aV?,

要使函数/（X）恰有两个零点了,，\,且匕一了,〉2,设a=_J在x>l时的零点

1221X2+2

为3,

。c8%24c

则需匕〉3,而当x=3时，=>2,

所以当0<aW2时，函数/G）恰有两个零点二，并且满足了2一\〉2；

（ii）若当时，函数g（x）=2x—a没有零点，函数〃（x）=ax2—8x+2a在1>1

恰有两个零点二，且满足乜一£〉2,也符合题意，

而由（i）可得，要使当XVI时，函数g（x）=2x—a没有零点，则avo,

要使函数〃（x）=G2_8x+2a在x>l恰有两个零点x,%,则:<。<2近，但不

123

能满足二一5〉2,

所以没有。的范围满足当时，函数g（x）=2x—a没有零点,

函数/?（x）=ax2-8x+2a在x>l恰有两个零点x,%,且满足%一%〉2,

1221

综上可得：实数a的取值范围为（0,21.

故得解.

【题目点拨】

本题主要考查了指数函数与二次函数的图象与性质的应用，以及函数与方程，函数的零

点问题的综合应用，属于难度题，关键在于分析分段函数在相应的区间内的单调性，以

及其图像趋势，可运用数形结合方便求解，注意在讨论二次函数的根的情况时的定义域

对其的影响.

—*]___ci—h

19、(1)